Laboratorio 8 Controle e Servomecanismos UFMS - Alocacao de Polos e Funcao de Lyapunov

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computação Curso Engenharia de Computação Data 22 de junho de 2022 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Laboratório 8 Alocação de Polos Considere a EDO xdot 100 101 2 90 x 1 1 u a Projete realimentações de estado que posicionem os autovalores nas posições Λ1 20 20 Λ2 10 20 e Λ3 20 j10 b Para cada projeto simule e plote os retratos de fase para xo 1 1 use a função plot c Verifique os sinais de controle em cada caso d Use para todos os casos a função ppol K ppolABPolosDesejados AB Par A B controlável PolosDesejados Vetor de polos desejados para A BK Matriz de Lyapunov A função lyap resolve a equação de Lyapunov 275 P lyapAQDominio A Matriz de estado A Q Matriz da derivada da função de Lyapunov candidata Q Q Domínio Contínuo c ou discreto d a Determine uma função de Lyapunov para cada projeto anteriormente executado b Plote o campo vetorial e algumas hiperfícies de Lyapunov vide comando champ Equação Algébrica de Riccati Para solucionar a Equação Algébrica de Riccati ARE basta usar a função riccati P riccatiAXQDominio A Matriz de estado A X Termo ρ1 BB da ARE Q Matriz da derivada da função de Lyapunov candidata Q Q Domínio Contínuo c ou discreto d Execute projetos de controle ótimo atribua as penalizações Q e ρ O comando supõe realimentação u Kx Logo para nosso estudo devemos trocar o sinal da matriz de realimentação de estado obtida pela função ppol UFMS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL FACOM FACULDADE DE COMPUTAÇÃO Curso Engenharia de Computação Disciplina Controle e Servomecanismos Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Aluno Xxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Data 01 de julho de 2022 Laboratório 8 Alocação de Pólos Para um sistema de controle descrito por A Projeto de controladores O Projeto de controladores por realimentação de estados que posicionem os autovalores de malha fechada nas posições desejadas oi implementado por meio do Scilab conforme Anexo A Para autovalores em Λ1 20 20 o controlador encontrado é K1 k1 k 212974312 10025688 Para autovalores em Λ2 10 20 o controlador encontrado é K2 k1 k 2109 00917 10099083 Para autovalores em Λ3 20 j10 o controlador encontrado é K3k1 k 213066055 9933945 B Retratos de fase Para cada um dos controladores projetados considerando a posição inicial xo1 1 os retratos de fase obtidos pela simulação pelo software Scilab podem ser vistos abaixo Para autovalores em Λ1 20 20 Figura 1 retrato de fase do controlador K1 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ2 10 20 Figura 2 retrato de fase do controlador K2 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ3 20 j10 Figura 3 retrato de fase do controlador K3 Fonte autoria própria 2022 C Sinais de controle Para cada um dos controladores projetados os sinais de controle obtidos pela simulação pelo software Scilab podem ser vistos abaixo Para autovalores em Λ1 20 20 Figura 4 sinal de controle do controlador K1 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ2 10 20 Figura 5 sinal de controle do controlador K2 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ3 20 j10 Figura 6 sinal de controle do controlador K3 Fonte autoria própria 2022 Matriz de Lyapunov A Funções de Lyapunov Para as matrizes de malha fechada dos sistemas com os controladores projetados é possível encontrar uma matriz de Lyapunov P usando Scilab e conseqüentemente uma função de Lyapunov tal que VX T PX Para autovalores em Λ1 20 20 função de Lyapunov é V 1 x1 x2 05257346 01184955 01184955 00401627 x1 x2 V 105257346 x1 202369910 x1x200401627 x2 2 Para autovalores em Λ2 10 20 função de Lyapunov é V 2 x1 x2 29179404 02409909 02409909 00452913 x1 x2 V 229179403 x1 20 4819818 x1 x200452912 x2 2 Para autovalores em Λ3 20 j10 função de Lyapunov é V 3x1 x2 04285191 00982324 00982324 00360707 x1 x2 V 304285190x1 201964647x1 x200360706 x2 2 B Campo vetorial das funções V1V2 e V3 são dadas por F1V 1 x1 i V 1 x2 j F110514 x102369 x2 i02369x100803 x2 j F2V 2 x1 i V 2 x2 j F258358x104819 x2 i04819 x100906x2j F3V 3 x1 i V 3 x2 j F308570 x10 1964 x2 i01964 x100721 x2 j Por meio do Scilab é possível traçar os campos vetoriais F1 F2 e F3 Para autovalores em Λ1 20 20 Figura 7 campo vetorial F1 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ2 10 20 Figura 8 campo vetorial F2 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ3 20 j10 Figura 9 campo vetorial F3 Fonte autoria própria 2022 Por meio do Scilab é possível traçar as superfícies das funções de Lyapunov V1 V2 e V3 Para autovalores em Λ1 20 20 Figura 10 superfície de Lyapunov de V1 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ2 10 20 Figura 11 superfície de Lyapunov de V 2 Fonte autoria própria 2022 Para autovalores em Λ3 20 j10 Figura 12 superfície de Lyapunov de V3 Fonte autoria própria 2022 Equação Algébrica de Riccati Xxxxxxxxxx Anexo A clear clc ALOCAÇÂO DE POLOS Matrizes do sistema A100 1012 90 B11 Projeto dos controladores ji p120 20 p210 10 p320j10 20j10 K1ppolABp1 K2ppolABp2 K3ppolABp3 Simulação em malha fechada A1ABK1 A2ABK2 A3ABK3 B00 Resposta a entrada nula B não influencia a resposta B1B2B3 C1 00 1 Deseja se ter os valores dos dois estados D00 A entrada é nula D não influencia a resposta D1D2D3 S1syslincA1BCD S2syslincA2BCD S3syslincA3BCD N1000 dt001 uzeros1N tdt01N1 x011 y1x1csimutS1x0 y2x2csimutS2x0 y3x3csimutS3x0 Gráficos dos retratos de fase figure1 plotx11x12 xlabelx1t ylabelx2t figure2 plotx21x12 xlabelx1t ylabelx2t figure3 plotx31x12 xlabelx1t ylabelx2t Sinais de controle u1K111x11K112x12 u2K211x21K212x22 u3K311x31K312x32 Gráficos dos sinais de controle figure4 plottu1 xlabelts ylabelu figure5 plottu2 xlabelts ylabelu figure6 plottu3 xlabelts ylabelu FUNÇÂO DE LYAPUNOV Função de Lyapunov C1 00 1 Definindose esse matriz C P1lyapA1Cc P2lyapA2Cc P3lyapA3Cc Campos vetoriais x1011 y1011 X Y ndgridx y fx1 fy110514X02369Y 02369X00803Y figure7 champx y fx1 fy1 gcecolored on colorbar fx2 fy258358X04819Y 04819X00906Y figure8 champx y fx2 fy2 gcecolored on colorbar fx3 fy308570X01964Y 01964X00721Y figure9 champx y fx3 fy3 gcecolored on colorbar figure10 V105257346X2 02369910XY00401627Y2 plot3dxyV1 figure11 V229179403X2 04819818XY00452912Y2 plot3dxyV2 figure12 V304285190X2 01964647XY00360706Y2 plot3dxyV3 EQUAÇÃO ALGÉBRICA DE RICCATI