Prova de Controle e Servomecanismos - Questões e Soluções

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computagao Curso Engenharia de Computacao Data 19072022 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Académico Matricula Prova P3 Solugao Padrao Questao 1 25 pontos Um sistema de controle em realimentagao unitdéria tem planta ks1 Determine k 0 de modo que a margem de fase deste sistema seja de 45 Solucao Devemos calcular a frequéncia wy onde Gjw 0dB Assim jwgk 1 GGw 20 log a 0dB we 1 wk g Por outro lado calculando a fase do sistema temse argGjw 180 arctgwk MF arctgwk Para fazer MF 45 devemos ter wk 1 0 que conduz no primeiro resultado a wy V2 Logo k V2 O Questao 2 25 pontos Projete um compensador que torne o erro estdtico de velocidade inferior a 10 overshoot inferior a 25 e margem de ganho néo inferior a 5dB para a planta com diagramas de Bode ganho em linha sélida e fase em linha tracejada 40 wee al TTT i i i 90 I Ah I l I I rw I I 90 DRE 7 ole OR 5 54 5 4 I I I I O porn nnn eee esse 1 t 20 pone ence edn e benenen 120 a Mi 40FA a4 NR 4H A I I I I 3 Zz TTT rt A ON 135 3 oO I I I 90 I I roy I I a eS a a Ne eet 210 I I I I I 100 h1 55555 4555555 5 455555 5555 RE Ooo r MIL Perse 140 Ts nisl a 180 108 107 107 10 10 10 10 w rads Solugao Observe que ha integrador simples na planta o que garante erro estatico de velocidade finito De fato o cruzamento deste integrador no diagrama de ganho ocorre em w 0lrads o que mostra que K 01 ou equivalentemente 10 o que é completamente inaceitavel A frequencia de cruzamento do integrador deveria no minimo ocorrer em 10rads para garantir erro dentro da faixa tolerdvel Assim a curva de ganho teria de subir 40dB para garantir este cruzamento o que leva a imposicao de ak 100 Nesta situagao o cruzamento de ganho ocorreria em akGjw 3rads e terseia MF 20 Observando 93 e 182 concluise que o overshoot seria superior a 50 o que é inaceitdvel Como se deve corrigir a margem de fase serd empregado um compensador avanco de fase que deve suprir em torno de 25 Por seguranga seré utilizado 35 Observando 203 temse a 022 e observando 204 e 205 temse 1 Gj 10log a 66dB w 4rads T iva 053s Logo o compensador projetado fica 053s 1 Cs 100 s 0125 1 O Questao 3 25 pontos Projete via métodos de controle moderno um compensador que anule o erro estdtico de posigao e garanta tempo de acomodagdo inferior a 50ms critério 5 e overshoot inferior a 10 para o sistema com planta 15 05 0 05 157 fa y 1 0 x Solugao Determinemos primeiro a controlabilidade do sistema O 05 det C det 3 05 Assim é possivel construir um controle baseado em realimentagao de estado Com os resultados da Aula 09 devemos fazer Cw 60 e 06 para atender ao tempo de acomodagao e overshoot Assim um polindmio alocador adequado é 6252 485 2 Ps s 100s 6400 PA ss so Aplicando a férmula de Ackermann K 0 1 CPA 12504 97 O Questao 4 25 pontos Em controle moderno continua importante estabelecer a estabilidade relativa de um sistema Mostre que o SLITC homogéneo x Ax tem todos os seus autovalores a esquerda da reta vertical que passa por s o se e somente se existir uma matriz P positivadefinida tal que AP PA 2o0P seja negativadefinida Solugao Lembrando que se P 0 entao esta matriz deve ser simétrica note que P0ec APPA2cP 0SP0e AolIPPAolI 0 isto 6 um dado autovalor de A aI deve estar no SPE Ainda como AI A oI AoIA isto equivale a dizer que 4 o é autovalor de A Evidentemente ReA 7 o 0 que finaliza a prova O