Análise e Simulação de Sistema Dinâmico com Compensador

O sistema proposto está simplificado abaixo Definese a entrada por u e a saída por y conforme representado Além disso os valores de m k e b são 1000 kg 20000 Nm e 200 Nsm respectivamente Ao aplicar a superposição na mola e no amortecedor obtémse Fmola ku y 1 Famortecedor bi y 2 Pela segunda lei de Newton temse F mj 3 Substituindo 1 e 2 em 3 obtémse y bm y km y bm u km u 4 Para a modelagem ser no domínio da velocidade fazemse as seguintes definições y1 x1 csimtimefunc1 t1 sis plott1 y1 blue LineWidth 15 xgrid titleResposta transitoria xlabelts ylabelgt 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t s gt Figura 5 Resposta do sistema a uma entrada constante de 20 ms ii A entrada é uma rampa com módulo 1 ms2 Código 2 Comandos Scilab para simular o sistema com entrada de aceleração igual a 1 ms2 t2 linspace0 10 1001 deffu timefunc2t2 u t2 y2 x2 csimtimefunc2 t2 sis plott2 t2 blue t2 y2 red LineWidth 15 xgrid titleResposta transitoria xlabelts ylabelgt legendsut gt 2 5 opt lr 4 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 t s ut gt Figura 6 Resposta do sistema a uma entrada de 1 ms2 d Como as raízes do sistema não atendem aos requisitos é preciso projetar um compensador onde será realizado via equação diofantina Para tal devese definir o polinômio alocador ˆqs que resolva 135 Neste projeto é preciso tratar o erro estático de posição já que a planta não possui um polo na origem Assim definese a planta artificial ˆgs ˆgss onde ˆgs ˆgs s 200s 20000 1000s3 200s 2 20000s 13 Para garantir a solução da equação diofantina fazse mc ng 1 3 1 2 Logo o compensador tem seguinte equação sˆcs b2s2 b1s b0 a1s a0 14 Os blocos de Sylvester da planta são SD 20000 0 200 20000 1000 200 0 1000 SN 20000 0 200 20000 0 200 0 0 15 A partir do requisito do máximo sobressinal chegase a conclusão que ζ 0 45 aproxi madamente Escolhese para este projeto β 60 no qual implica em ζ 0 5 Para o requisito do tempo de acomodação utilizase o critério 2 Logo σ 48 05 s1 Escolhese para este projeto σ 055 s1 Assim os pares de polos dominantes são igual a sd 0 55 ȷ0 9526 Os polos restantes são alocados a dez vezes da parte real dos dominantes Assim o polinômio alocador é 5 qs s 0 55 j0 9526s 0 55 j0 9526s 5 5² s⁴ 12 1³ 43 563² 46 585s 36 6025 O compensador para este caso é cs 0 0075286s² 0 0041531s 0 029282 f Para a representação em diagrama de blocos do sistema em malha fechada é preciso aplicar a retroalimentação Figura 8 Resposta do sistema a uma entrada degrau de intensidade 20 ms h A seguir o sistema foi simulado para a entrada definida abaixo para o projeto realizado u 4t se t 5 s 20 se t 5 s Código 4 Comandos Scilab para simular o sistema em malha fechada com entrada definida em 26 declaracao da funcao definida por partes function y piecewisefunct t1 tt 5 yfindt 5 4t1 yfindt 5 20 endfunction compensador obtido via equacao diofantina y5 x5 csimpiecewisefunc t3 sisidio plott3 y5 blue LineWidth 15 xgrid titleResposta transitória xlabelts ylabelgt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t s gt Figura 9 Resposta do sistema para a entrada 26 i Foram representados a velocidade do reboque a força aplicada no reboque e variação entre as posições do caminhão e reboque nas figura abaixo para o projeto realizado 0 2 4 6 8 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t s ut vrt frt200 pt15 Figura 10 A velocidade do caminhão em azul a velocidade do reboque em vermelho a força aplicada do reboque em verde e a variação de posição do caminhão e reboque em laranja 10