Prova de Controle e Servomecanismos - UFMS

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computacao Curso Engenharia de Computacao Data 29112021 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Acadˆemico Matrıcula Prova P3 Questao 1 25 pontos Em um projeto de sistema de controle em realimentacao unitaria houve a exigˆencia da constante de erro estatico a um valor Ke 0 O valor atual desta constante e Ke 0 Ke Ke O compensador a ser utilizado e do tipo atraso mantendo erro estatico finito e naonulo cuja FT e Cs αkc Ts 1 αTs 1 α 1 Nestas condicoes determine a contribuicao do compensador a margem de ganho apos sua sintonia para o ajuste de erro estatico supondo a frequˆencia de cruzamento de fase ωf muito superior a frequˆencia do zero do compensador Solucao Observe que para que a exigˆencia de erro estatico seja satisfeita devese fazer αkc Ke Ke Assim na frequˆencia de cruzamento de fase temos Cjωf Ke Ke jωfT 1 jαωfT 1 Como ωf T 1 entao podese desprezar as unidades no quociente acima e fazer a aproximacao Cjωf Ke αKe Cjωf 20 log Ke αKe o qual e o termo adicionado ao ganho em ωf e portanto o termo que afeta a margem de ganho Questao 2 25 pontos Projete um compensador que torne o erro estatico de velocidade inferior a 10 overshoot inferior a 25 e margem de ganho nao inferior a 20dB para a planta com diagramas de Bode ganho em linha solida e fase em linha tracejada 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 Gjω dB 103 102 101 100 101 102 102 103 103 90 105 120 135 150 165 180 ω rads argGjω Solucao Observe que ha integrador simples na planta o que garante erro estatico de posicao finito De fato o cruzamento deste integrador no diagrama de ganho ocorre em w 02rads o que mostra que K 02 ou equivalentemente 5 o que é completamente inaceitavel A frequencia de cruzamento do integrador deveria no minimo ocorrer em 10rads para garantir erro dentro da faixa tolerdvel Assim a curva de ganho teria de subir cerca de 34dB para garantir este cruzamento o que leva a ak 50 Nesta situagao o cruzamento de ganho ocorreria em akGjw 3rads e terseia MF 20 Observando 93 e 192 concluise que o overshoot seria superior a 50 o que é inaceitdvel Como se deve corrigir a margem de fase serd empregado um compensador avanco de fase que deve suprir em torno de 25 Por seguranga seré utilizado 35 Observando 213 temse a 022 e observando 214 e 215 temse 1 Gj 10loga 66dB 4rads T 0538 G4a 100g 664B 4rad sa Logo o compensador projetado fica 0535 1 Cs 50 0125 1 O Questao 3 25 pontos Considere a planta de um sistema de controle e sua representagado no espaco de estado Ri R 1 1 Tt 9 Ty Ti x0 O ff xO0u u Sl SRo doa 0 C C RoC 22 yl 1 4x QQ00 am Iy Determine a Para quais valores dos parémetros do circuito é posstvel realizar um controle via realimentagao de estado b Se é posstvel construir um observador de estado para este circuito apenas valendose da leitura da tensado do capacitor OU Seja COM Ys X3 Solugao a Basta verificar a invertibilidade da matriz de controlabididade Neste caso 1 Ri R 1 Ly Lt Li LIC cB AB A2B0 0 In I2C 0 1 Ry 1 nC I2C Rol C 1 1 1 ys E observamos que devemos ter 4 0 4 0 e 0 para a controlabilidade o que sempre ocorre Ly IC 1120 para Iy La C 0 b Observe que y 0 0 1 x Assim devemos verificar a invertibilidade da matriz de observabilidade para S Cs esta situagao Neste caso 0 0 1 C 1 1 1 OCA C C RoC CA Riko Ly 1 IyL2 Li L2RoC L R2C R2C I L2R3C Ri Como detO Tc 4 0 concluimos que um observador pode ser construido para este sistema 1 O Questao 4 25 pontos Considere o circuito elétrico da figura abaixo com as definigdes dadas para as varidveis de estado Ru bt Ey QQQQ t Ty Determine o critério quadrdtico que minimiza a energia consumida pelo circuito exceto pela carga R em um horizonte de tempo infinito Solugao Observe que as poténcias sao consumidas pelos resistores Excetuando a carga podemos escrever 2 2 1 Pt Rua t Rex t 23 Re Assim o critério quadratico pode ser escrito como oo Run 0 0 i x 0 Ro O xpu dt 0 0 0 Rt O Graficos Uteis ζ Mp ωntp10 β100 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 ζ MF100 Mr5 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 α ϕm 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90