Algebra Linear - Solução de Exercícios sobre Espaços Vetoriais e Anuladores

5 Considere o Respaço vetorial V PnR e D LVV o operador derivação Determine kerD 2 No Respaço vetorial R4 considere o subespaço W gerado pelos vetores v1 1 0 1 2 e v2 2 3 1 1 Determine uma base do anulador W0 j Seja D PnR PnR o operador derivada Lembremos que vale kerDt Im Do Primeiro passo determinar Im D Im D Di0n ai xi i0n ai xi PnR i1n i ai xi1 ai R Denotando h i1n i ai i1n bi1 xi1 bi R j0n1 bj xj bj R Pn1R Desta forma podemos tomar 1 x xn1 para base de Im D e completar da forma β 1 x xn onde temos uma base de PnR Seja β f0 fn a base dual de Pn com respeito a base β isto é fixj δij Afirmamos que fn é uma base de Im Do De fato seja f Im Do existen α0 αn R tais que f i αi fi Logo 0 fxj αj para j 01 n1 Digitalizado com CamScanner Então f αn fn ou seja fn gera Im D como fn 0 temos que é li logo base de Im D Vamos determinar completamente quem é fn Temos que fni0n ai xi i0n ai fnxi i0n ai δni an f k fn k R fi0n ai xi k an Portanto ker Dt Im D f PnR R fi0n ai xi k an k R 2 v1 1012 v2 2311 Primeiramente devemos completar para virar uma base de R4 Escolhemos v3 0010 e v4 0001 de fato det 1 0 1 2 2 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 det 1 0 det 0 1 3 1 3 0 Logo β v1 v2 v3 v4 é li logo base de R4 Assim podemos definir a base dual de R4 com respeito a base β isto é sejam f1 f2 f3 f4 R4 tal que fivj δij com ij 1234 Afirmamos que f3 f4 é base de W De fato seja f W existem α1 αn R tais que f αi fi dessa forma 0 fv1 α1 0 fv2 α2 Portanto f α3 f3 α4 f4 isto é f3 f4 gera W por outro lado é li uma vez é subconjunto de uma base f3 f4 é base de W Vamos determinar f3 e f4 atuando no vetor xyzw Dado xyzw R4 existem α1 α2 α3 α4 R xyzw α1 1012 α2 2311 α3 0010 α4 0001 x α1 2 α2 y 3 α2 z α1 α2 α3 w 2 α1 α2 α4 α2 y3 x 2 α2 α1 α1 x 2y 3 α3 z α1 α2 α3 z x 2y 3 y 3 z x y α4 w 2 α1 α2 α4 w 2 x 4 y 3 y 3 w 2 x y Então xyzw x 2 y 31012 y32311 z x y0010 w 2x y0001 Aplicando f3 f3xyzw z x y Aplicando f4 f4xyzw w 2x y Portanto f3 f4 é uma base de W