Prova Optativa Algebra Linear I - UFMS - Vetores LI, Subespacos e Transformacoes Lineares

Álgebra Linear I Matemática Licenciatura CPPPUFMS Prova Optativa Sextafeira 01 de dezembro de 2023 1 20 pontos Sejam u e v vetores LI de um Respaço vetorial V Determine um escalar α R tal que os vetores αu 2v e u v sejam LD 2 20 pontos Sejam a1an R não todos nulos Mostre que o subespaço H x1xn Rn i1n aixi 0 tem dimensão n 1 3 20 pontos Dê exemplo de um espaço isomorfo a LUV onde UV são espaços vetoriais de dimensão m e n respectivamente 4 20 pontos Seja T U U uma transformação linear Mostre que T2 0 se e somente se TU NucT 5 20 pontos Considere a matriz A 1 0 4 0 2 0 0 1 3 real Determine uma matriz P tal que P1AP é uma matriz diagonal Boa Prova Questão 1 αu 2v kuv αku 2kv 0 Então temos um sistema αk0 2k0 Pois u e v são linearmente indepentes Logo αk2 Questão 2 x1a1xnan 0 Sem perda de generalidade seja a10 daí x1 1a1x2a2xnan Tirando x1 do conjunto teremos x2xn n1 vetores linearmente independentes Questão 3 Mmn Questão 4 Demonstração da ida Se T²0 temos TTx0 então Tx Tu temos que TTx0 logo Tu NucT Demonstração da volta Se Tu NucT então para todo Tx Tu temos TTx0 logo T²x0 Então T²0 Questão 5 Achando os autovalores λ1 0 4 0 λ2 0 0 1 λ3 λ1λ2λ30 Para λ1 Autovetor 100 Para λ2 Autovetor 451 Para λ3 Autovetor 101