Prova Optativa Algebra Linear I UFMS - Exercicios Resolvidos e Gabarito

Álgebra Linear I Matemática Licenciatura CPPPUFMS Prova Optativa Sextafeira 01 de dezembro de 2023 1 20 pontos Sejam u e v vetores LI de um Respaço vetorial V Determine um escalar α R tal que os vetores αu 2v e u v sejam LD 2 20 pontos Sejam a1an R não todos nulos Mostre que o subespaço H x1xn Rn Σni1 aixi 0 tem dimensão n 1 3 20 pontos Dê exemplo de um espaço isomorfo a LUV onde U V são espaços vetoriais de dimensão m e n respectivamente 4 20 pontos Seja T U U uma transformação linear Mostre que T2 0 se e somente se TU NucT 5 20 pontos Considere a matriz 1 0 4 0 2 0 0 1 3 real Determine uma matriz P tal que P1AP é uma matriz diagonal Boa Prova 1 Solução 1 Basta tomar α 2 temos que αu 2v 2u 2v 2 u v Isto é αu 2v é u v multiplicado pelo escalar 2 2 I é subespaço De fato se xi 0 i 1n Σni1 xi ai 0 logo 00 H Se v Σni xi ai e w Σnj ai pertencem a H então Σni xi yi ai 0 logo v w H Se v Σni xi ai H e α R então Σni ai α xi 0 αv H II dim H n 1 Suponha sem perda de generalidade de que a1 0 Note que qualquer v H pode ser escrito como v Σni xi ai a2 x2 anxn a1 v1 x2 v2 xn vn x2 v2 a2 a1 v1 xn vn an a1 v1 com v2vn base Rn Ou seja v é combinação linear de wi vi ai a1 v1 i 2n hwi ni2 é base de H Com efeito Σni ai wi 0 Σni ai vi ai a1 v1 0 Σni2 ciai a1 v1 c2 v2 cn vn 0 Como v2vn é LI a eq acima implica que c2 cn 0 Logo dim H n 1 Se U V são K espaços de dimensão m e n sabemos da definição de transformação linear que LU V Mₖn x m ie LU V é isomorfo ao espaço das matrizes n x m com entradas no campo de base λ₃ 3 1 0 4 0 5 0 0 1 0 x y z 0 ① calculamos inicialmente os autovalores e autovetores de A