Diagonalizacao de Matrizes e Operadores Lineares - Autovalores e Autovetores

1 Verifique se a matriz C 1 1 2 0 1 3 0 0 1 é diagonalizável 2 Seja T R² R² o operador linear dado por Txy 2x 2y x 3y Determine uma base de R² em relação à qual a matriz do operador T é diagonal 1 Calculando o polinômio característico de C pλ detC λI det1λ 1 2 0 1λ 3 0 0 1λ pλ 1λ1λ1λ 1λ²1λ Logo pλ0 1λ²1λ 0 λ 1 a λ 1 Assim os autovalores de C são 1 com multiplicidade 2 e 1 Portanto C não é diagonalizavel pois tem apenas 2 autovetores LI Essa base sera formada pelos autovetores de T Escrevendo T na forma matricial e calculando seu polinômio característico T 2 2 1 3 pλdet2λ 2 1 3λ 2λ3λ 21 pλ6 2λ 3λ λ² 2 λ² 5λ 4 Calculando os autovalores pλ0 λ² 5λ 40 λ 1λ 40 λ 1 ou λ 4 Encontrando o autovetor de cada autovalor 1 λ1 21 2 3 31xy 00 1 2 1 2xy 0 0 x2y0 x2y0 x 2y 2 1 2 λ4 24 2x0 1 34y0 2 2x0 3 3y0 2x 2y 0 x y 3 x y 0 1 Portanto a base 21 13 torna T diagonal