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Matemática ·
Álgebra Linear
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1 Mostrar que cada um dos operadores lineares do R3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso a Fxyz x 3y 2z y 4z z b Fxyz x x y 2x y z Questão 1 A Neste caso temos F x y z x 100 y 310 z 241 Assim a matriz deste operador é dada por F 1 3 2 0 1 4 0 0 1 Calculando o determinante temos det 1 3 2 0 1 4 0 0 1 111140101 Como o determinante é não nulo a transformação é invertível Para determinar a inversa fazemos o escalonamento 1 3 2 0 1 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 4 0 0 1 1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 14 0 1 4 0 0 1 Assim temos F 1 1 3 14 0 1 4 0 0 1 Assim F 1x 100 y 310z 144 1 F 1x3 y14 z y4 z z B Neste caso temos F x y z x 112 y 011z 001 Assim a matriz deste operador é dada por F 1 0 0 1 1 0 2 1 1 Calculando o determinante temos det 1 0 0 1 1 0 2 1 1 111101101 Como o determinante é não nulo a transformação é invertível Para determinar a inversa fazemos o escalonamento 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 1 1 Assim temos F 1 1 0 0 1 1 0 3 1 1 Assim F 1x 113 y 011z 001 F 1x x y3 xyz Questão 1 A Neste caso temos 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥100 𝑦310 𝑧2 41 Assim a matriz deste operador é dada por 𝐹 1 3 2 0 1 4 0 0 1 Calculando o determinante temos det 1 3 2 0 1 4 0 0 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 Como o determinante é não nulo a transformação é invertível Para determinar a inversa fazemos o escalonamento 1 3 2 0 1 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 4 0 0 1 1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 14 0 1 4 0 0 1 Assim temos 𝐹1 1 3 14 0 1 4 0 0 1 Assim 𝐹1 𝑥100 𝑦310 𝑧1441 𝑭𝟏 𝒙 𝟑𝒚 𝟏𝟒𝒛𝒚 𝟒𝒛 𝒛 B Neste caso temos 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥112 𝑦0 11 𝑧00 1 Assim a matriz deste operador é dada por 𝐹 1 0 0 1 1 0 2 1 1 Calculando o determinante temos det 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 Como o determinante é não nulo a transformação é invertível Para determinar a inversa fazemos o escalonamento 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 3 1 1 Assim temos 𝐹1 1 0 0 1 1 0 3 1 1 Assim 𝐹1 𝑥113 𝑦0 1 1 𝑧00 1 𝑭𝟏 𝒙𝒙 𝒚 𝟑𝒙 𝒚 𝒛
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