Exercícios Resolvidos Algebra Linear - Produtos Internos e Matrizes

1 Seja A 1 2 8 0 1 0 0 0 1 Calcule A100 2 Sejam u x1 x2 e v y1 y2 vetores em R2 Mostre que u v 3x1y1 5x2y2 define um produto interno em R2 1 Suponha que u v e w sejam vetores tais que u v 2 u w 3 v w 5 u 1 v 2 e w 1 Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões a u v v w b 2v w 2u v c u v w αu v tem α R α3x1y1 5x2y2 α α3x1y1 5x2y2 Como u v 3x1y1 5x2y2 αu v αu v u u 3x12 5x22 3x12 5x2270 0 Como os dois termos são 0 a soma também é 0 u u 3x12 5x22 0 x0 Produto interno 0 se e somente se o vetor u for o vetor nulo Com todas as condições provadas 3x1y1 5x2y2 é um produto interno em R2 1a ux1 y1 vx2 y2 wx3 y3 u1 x12 y121 v2 x22 y222 w1 x32 y321 u v 2 x1x2 y1y22 x1x3 y1y3 3 x2x3 y2y3 5 uv x1 x2 y1 y2 vw x2 x3 y2 y3 uv vw x1 x2x2 x3 y1 y2y2 y3 x1x2 x1x3 x22 x2x3 y1y2 y1y3 y22 y2y3 2 3 4 5 9 2 3 8 1 A 1 2 8 0 1 0 0 0 1 A100 AAAA 100 vezes A2 1 2 8 0 1 0 0 0 1 1 2 8 0 1 0 0 0 1 100 240 808 000 010 000 000 000 001 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I3x3 matriz identidade A matriz identidade é a matriz neutra em relação à multiplicação de matrizes Logo separando em duplas AAAAAA 50 vezes Mas AA I3x3 Portanto A100 I3x3 I3x3 I3x3 50 vezes I3x3 Como a matriz identidade é neutra na multiplicação de matrizes A100 I3x3 2 u v 3x1y1 5x2y2 v u u v w z1 z2 uv x1x2 y1y2 uv w 3x1x2z1 5y1y2z2 3x1z1 3x2z1 5y1z2 5y2z2 u w v w 3x1z1 5y1z2 3x2z1 5y2z2 Logo uv w u w v w 1b 2v w 2u v 2v 2x22y2 2u 2x12y1 2v w 2x2 x3 2y2 y3 2u v 2x1 x2 2y1 y2 2v w 2u v 2x2 x32x1 x2 2y2 y32y1 y2 4x1x2 2x22 2x1x3 x2x3 4y1y2 2y22 2y1y3 y2y3 4x1x2 y1y2 2x22 y22 2x1x3 y1y3 x2x3 y2y3 8 8 6 5 11 c x1 x2 x3 y1 y2 y3 sqrtx1 x2 x32 y1 y2 y32 sqrtx12 2x1x2 2x1x3 x22 2x2x3 x32 y12 2y1y2 2y1y3 y22 2y2y3 y32 sqrt6 22 3 5 sqrt6 24 sqrt14