Exercicios Resolvidos de Algebra - Aneis Comutativos e Ideais

Trabalho de álgebra Enunciados 1 Seja X um conjunto não vazio e PX o conjunto das partes de X Defina A B A B B A A B A B Prove que PX é um anel comutativo com identidade Dica para a associatividade e distributividade use o seguinte diagrama de Venn o conjunto vazio é o neutro de some mostre Todo elemento é seu próprio inverso aditivo mostre X é a identidade mostre 2 Sejam R S anéis Mostre que o produto direto RxS é um anel onde RxS x RxS RxS a1b1 a2b2 a1a2 b1b2 RxS x RxS RxS a1b1 a2b2 a1 a2 b1 b2 Mostre também que RxS é comutativo R e S são comutativos RxS tem identidade R e S possuem identidade 3 Seja a um elemento fixo de um anel Definimos o centro de a como Ca r R r a a r Prove que Ca é um subanel de R que contém a 4 Dizemos que x R é niêpotente se n N tal que xn 0 suponha que R é comutativo e que x R é um elemento niêpotente mostre que a x0 ou x é um divisor de zero b rx é niêpotente r R φ é homomorfismo de anéis ker φ nZ e φ sobrejetora Use 1º teo do Isomorfismo 2º modo defina φ ZnZ Zn xt nZ x barra e mostre que φ é homomorfismo injetor e sobrejetor 7 Escolhe um dos teoremas dentre ideais primos e maximais e faça a demonstração cobrindo todos os detalhes 8 Usando o teorema de correspondência de ideais mostre que ZnZ é um domínio de ideais principais 9 Em Rx determine o quociente e o resto que obtemos ao se dividir px por qx em cada caso a px x3 x 1 qx x2 1 b px x3 1 qx x 1 c 1x é invertível em R Dica b mostre que se xn0 então rxm0 c mostre que o inverso de 1x é o elemento i0 xi Pergunte i0 xi converge por quê 5 Dizemos que δ R R é uma derivação se δabδaδb δabδab aδb Mostre que δ R R é uma derivação se e somente se D R M2R dada por Dr r δr0 r é homomorfismo de anéis 6 mostre que ZnZ Zn n N Dica Existem pelo menos 2 formas de se fazer 1 modo considere a aplicação ᶩ Z Zn dada por ᶩr r Mostre que c px x5 1 qx x 1 d px 5x4 6x3 2x2 4x 7 qx x2 x 1 10 Seja A um anel comutativo com identidade mostre que Ax é comutativo e com identidade 11 Mostre que Rxx R 12 Calcule MDC fx gx para a fx x3 6x2 x 4 gx x5 6x 1 b fx x2 1 gx x6 x3 x 1 13 Seja R Z4 a Mostre que S 1 barra 3 barra é subconjunto multiplicativo de Z4 b Existe algum subconjunto multiplicativo que contenha o 2 barra Por quê c Determine S1Z4 descobrendo todos os seus elementos d Calcule 2 barra1 barra 1 barra3 barra e 2 barra1 barra 1 barra3 barra 14 Mostre que a J fx Qx f1 f7 0 é um ideal de Qx b J fx Qx f5 0 NÃO é ideal de Qx 15 Fatore px em polinômios irredutíveis em Rx em cada caso a px x2 6x 8 b px x3 x2 x 1 c px x4 1 d px x2 3x 2 x2 5x 10 1 Sejam A B C e Px S1 A B C A B C U C B U B C U C B A Como A U B A B A n C temos A B C A B C C B B C n C B U B C C B B C n C B A A B C n C B U 1 A B C n C B A B C U C B A A B C S2 A B A B U B A B A U A B B A S3 Elemento neutro é e ϕ e Px Pois A e A ϕ A ϕ U ϕ A A U A A S4 Se A e Px seu inverso é A A Pois A A A A A A U A A ϕ U ϕ ϕ M1 A B C A n B C A n B n C A n B n C A B C M2 o A B C AB C U C B A n B C U C B A n B C U A n C B A n B A n C U A n C A n B Por outro lado A B A C A n B A n C A n B A n C U A n C A n B Logo A B C A B A C A B C A B C U C B A n B C U C B A n B C U A n C B A n B A n C U A n C A n B AB AC Logo PX é um anel Além disso PX é comutativo pois AB An B B n A BA E possui unidade onde o unidade é I X Pois AX An X A A n x A Lembrando A PX A X c x A n X x A e x X x A Logo A n X A d x A e como A X x A e x X x A n X Logo A n X A Portanto A n X A 2 Sejam R S anéis vamos mostrar que o produto direto é um anel Dados a1 b1 a2 b2 a3 b3 R x S Temos S1 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 a3 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 como R e S ão anéis vale associatividade em cada coordena da a1 a2 b1 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 S2 a₁ b₁ a₂ b₂ a₁ a₂ b₁ b₂ a₂ a₁ b₂ b₁ vale a comutatividade em cada coordenada pois R e S são aneis a₂ b₂ a₁ b₁ S3 O elemento neutro é eR eS onde eR é o neutro de R e es é o neutro de S De Fato a₁ b₁ eR eS a₁ eR b₁ eS R S a₁ b₁ S4 O simétrico ou oposto de a₁ b₁ R x S é a₁ b₁ R x S onde a₁ é o simétrico de a₁ em R e b₁ é o simétrico de b₁ em S Pois a₁ b₁ a₁ b₁ a₁ a₁ b₁ b₁ eR eS M1 a₁ b₁a₂ b₂ a₃ b₃ a₁ a₂ b₁ b₂a₃ b₃ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ R S a₁ b₁a₂ a₃ b₂ b₃ a₁ b₁a₂ b₂ a₃ b₃ M2 o a₁ b₁a₂ b₂ a₃ b₃ a₁ b₁a₂ a₃ b₂ b₃ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ R S a₁ a₂ a₁ a₃ b₁ b₂ b₁ b₃ a₁ a₂ b₁ b₂ a₁ a₃ b₁ b₃ a₁ b₁a₂ b₂ a₁ b₁a₃ b₃ a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃ a₁ a₂ b₁ b₂ a₃ b₃ a₁ a₂ b₃ b₁ b₂ b₃ a₁ a₃ a₂ a₃ b₁ b₃ b₂ b₃ a₁ a₃ b₁ b₃ a₂ a₃ b₂ b₃ a₁ b₁ a₃ b₃ a₂ b₂ a₃ b₃ Portanto R x S é um anel R x S comutativo R e S são comutativos Prova Suponha que R x S é comutativo Então dados a₁ b₁ a₂ b₂ R x S vale a₁ b₁ a₂ b₂ a₂ b₂ a₁ b₁ ou seja a₁ a₂ b₁ b₂ a₂ a₁ b₂ b₁ Logo a₁ a₂ a₂ a₁ a₁ a₂ R e b₁ b₂ b₂ b₁ b₁ b₂ S Portanto R e S são comutativos Suponha que R e S são comutativos Dados a₁ b₁ a₂ b₂ R x S temos a₁ b₁a₂ b₂ a₁ a₂ b₁ b₂ R S a₂ a₁ b₂ b₁ Pois como a₁ a₂ R e R é comutativo logo a₁ a₂ a₂ a₁ Como b₁ b₂ S e S é comutativo logo b₁ b₂ b₂ b₁ Portanto a₁ b₁a₂ b₂ a₂ b₂a₁ b₁ ou seja R x S é comutativo 0 R x S tem identidade R e S também têm Prova suponha que 1R 1S e R x S é identidade Dado a1 b1 e R x S temos a1 b11R 1S 1R 1sa1 b1 a1 b1 logo a11R 1Ra1 a1 a1 R e b11S 1sb1 b1 b1 e S portanto 1R e R é identidade de R e 1S e S é identidade em S suponha 1R 1S são identidades em R e S respectivamente temos 1R 1S e R x S e a1 b11R 1S a1 1R b1 1S R S a1 b1 1R 1S a1 b1 1R a1 1S b1 R S a1 b1 portanto 1R 1S é a identidade em R x S 3 Sejam R anel e Ca r e R ra ar t c R com a e R fixab Sejam r1 r2 e ca temos 1 0 e ca pois 0 e R e 0a a0 0 2 se r1 e ca r1a ar1 1 r2 e ca r2a ar2 2 logo subtraindo 2 de 1 r1a r2a ar1 ar2 r1 r2a ar1 r2 portanto r1 r2 e ca 3 r1 ca r1 a a r1 r2 Ca r2 a a r2 Logo r1 a r2 a a r1 a r2 r1 r2 a a r1 r2 Daí segue r1 r2 Ca Portanto ca é um subanel de R Além disso como a R e a a a a então a ca 4 a Suponha que m é o menor natural tal que xm 0 Então xm x xm1 0 donde temos xm1 0 Logo x 0 ou x é um divisor de zero b Se xm 0 então rxm rm xm rm 0 0 por comutatividade do anel c Temos 1 xn 1 x1 x xn1 Logo 1 1 x1 x xn1 pois xn 0 Portanto 1 x é invertível em R e seu inverso é i0n xi 5 Suponha que δ R R é uma derivação Vamos mostrar que D R M2R r Dr r δr 0 r é um homomorFismo de anéis Dados r1 r2 R temos i Dr1 r2 r1 r2 δr1 r2 0 r1 r2 r1r2 δr1δr2 pois δ é uma derivação 0 r1r2 r1 δr1 r2 δr2 0 r1 0 r2 Dr1 Dr2 ii Dr1r2 r1r2 δr1r2 0 r1r2 Por outro lado Dr1Dr2 r1 δr1 r2 δr2 0 r1 r1r2 r1δr2δr1r2 0 r1r2 r1r2 δr1r2 pois δ é uma derivação 0 r1r2 Logo Dr1r2 Dr1Dr2 Portanto D é um homomorfismo de anéis Suponha que D R R r Dr r δr 0 r é um homomorfismo de anéis Dados r1 r2 R temos Dr1r2 Dr1 Dr2 ou seja r1r2 δr1r2 r1r2 δr1δr2 0 r1r2 0 r1r2 donde obtemos δr1r2 δr1 δr2 I Além disso Dr1r2 Dr1Dr2 ou seja r1r2 δr1r2 r1r2 r1δr2δr1r2 0 r1r2 0 r1r2 donde obtemos δr1r2 δr1r2 r1δr2 II Logo por I e II segue que δ é uma derivação 6 Considere a aplicação ι ZnZ Zn r nZ r Dados r1 nZ r2 nZ ZnZ temos i ιr1 nZ r2 nZ ιr1 r2 nZ r1 r2 r1 r2 ιr1 nZ ιr2 nZ ii ιr1 nZr2 nZ ιr1r2 nZ r1r2 r1 r2 ιr1 nZ ιr2 nZ Portanto ι é um homomorfismo Agora se ιr nZ 0 então r 0 ou seja r 0 Logo ker ι 0 nZ 0 Portanto ι é injetor Além disso ι é sobrejetor Para todo r em Zn queremos mostrar que existe m ZnZ tal que ιm r Basta tomar m r nZ Logo ι é sobrejetor Contudo concluímos ZnZ Zn 7 Seja A um anel Todo ideal maximal M A é um ideal primo de A Prova Seja M um ideal maximal de A Da definição de ideal maximal temos M A Basta provar que dados a b A tais que ab M então a M ou b M Se a M finalizamos a prova Se a M considere o conjunto I a M ax m x A m M Pela aritmética de ideais sabemos que I é ideal de A Além disso M I pois dado m M então m a0 m I implicando M I e a a1 0 I mas a M isto é M I Como M é maximal segue que I A e portanto 1 I com 1 ax m para algum x A e m M Logo b b n b a x m a b x m b M M Portanto M é ideal primo 8 Vamos determinar os ideais de ZnZ Sabemos que Zn ZnZ Temos I n é ideal de Zn Se J Zn é um ideal contendo I o Teorema da correspondência garante a bijeçaõ θ J Zn n J ideias ZnZ J Jn Como Zn é principal existe m 0 tal que J m Como θ preserva ideais principais Logo todo ideal de ZnZ é principal Portanto ZnZ é um dominio de ideais principais 9 a Sejam px x3 x 1 e qx x2 1 Temos x3 x 1 x2 1 x3 x Logo resto é rx 1 e o quociente é tx x b Sejam px x3 1 qx x 1 Temos x3 1 x 1 x3 x2 x2 x 1 x2 x x 1 x 1 Logo o resto é rx 0 e o quociente é tx x⁴ x 1 c Sejam px x⁵ 1 e qx x 1 Temos x⁵ 1 x 1 x⁵ x⁴ x⁴ x³ x² x 1 x⁴ 1 x⁴ x³ x³ 1 x³ x² x² 1 x² x x 1 x ¹ Resto é rx 0 e quociente é tx x⁴ x³ x² x 1 d Sejam px 5x⁴ 6x³ 2x² 4x 7 e qx x² x 1 Temos 5x⁴ 6x³ 2x² 4x 7 x² x 1 5x⁴ 5x³ 5x² x³ 7x² 4x 7 x³ x² x 8x² 5x 7 8x² 8x 8 3x 15 Logo o resto é rx 3x 15 e o quociente é tx 5x² x 8 10 Seja A um anel comutativo com unidade Sejam fx gx Ax onde fx a₀ a₁x a₂x² aₘxᵐ e gx b₀ b₁x b₂x² bₙxⁿ Temos fxgx a₀b₀ a₁b₀ a₀b₁x b₀a₀ b₁a₀ b₀a₁x gx fx Logo Ax é comutativo Agora seja 1 A unidade Logo a A a1 1a a Observe que ex 1 0x 0x² 0xⁿ Ax Logo f Ax fx ex fx fx Logo ex 1 é a unidade de Ax Como R é um anel com unidade então Rx também tem unidade Logo x x Rx x fx fx Rx Defina ℓ Rx R dada por ℓfx ℓa0 a1x an xn a0 A função ℓ está bem definida Sejam fx gx então a0 a1 x a2 x2 an xn b0 b1 x bm xn Logo ai bi i e m n implicando a0 b0 Portanto ℓ está bem definido ℓ é um homomorfismo Sejam f g Rx então i ℓfx gx ℓa0 b0 a1 b1 x a0 b0 ℓfx ℓgx ii ℓfx gx ℓa0 b0 a0 b1 b0 a1 x a0 b0 ℓfx ℓgx ℓ é sobrejetor t R existe t Rx t é o polinômio constante tal que ℓt t Ker ℓ x ℓfx 0 então a0 0 Logo f1x xan xn1 a1 x Por outro lado se f x então f xg1x Logo lf 0 Daí segue x Ker l Portanto Ker l x Pelo 1º teorema de isomorfismo temos R Jx R 12 a Sejam f1x x3 6x2 x 4 e g1x x5 6x 1 Fatoraçao de f x 1 é raiz então x3 6x2 x 4 x1 x3 x2 5x2 x 4 5x2 5x 4x 4 4x 4 Logo f1x x 1x2 5x 4 Fatoraçao de g g1x é irredutivel em IR Logo mdcf g 1 b Sejam f1x x2 1 e g1x x6 x3 x 1 Temos f1x é irredutivel Fatoraçao g g1x x 1x5 x4 x3 1 Logo mdcf g 1 13 a Seja S 1 3 Z4 Temos i 0 S ii 1 S iii 13 31 3 S Portanto S é subconjunto multiplicativo de Z4 b Não pois 2 é um divisor de zero em Z4 É sabemos que nenhum grupo multiplicativo contém divisores de zero c Seja S 1 3 Temos S¹ Z4 101 111 121 131 031 13 23 33 10 11 2 3 13 23 d Temos 21 13 613 73 33 1 21 13 613 53 13 14 a Seja J fx Qx f1 f7 0 Qx Dados fx gx J temos i I pois 0x Qx 0x é o polinômio nulo e 01 07 0 Logo 0x J ii fx gx J Pois f1 g1 f7 g7 0 0 0 iii Temos f1g1 f7g7 00 0 Logo fxgx J Portanto J é um ideal de Qx b Considere J fx Qx f5 0 Sejam fx gx Qx tais que fx gx para x 5 ou seja f5 g5 Logo f5 g5 0 implicando f g J Além disso o polinômio nulo 0x J Pois 0x 0 0 x Portanto J não é um ideal de Qx 15 a px x² 6x 8 x 2 é raiz de px então x² 6x 8 x 2 x 4 x² 2x 4x 8 4x 8 0 Logo px x 2x 4 b px x³ x² x 1 x 1 é raiz de px então x³ x² x 1 x 1 x² 1 x³ x² x 1 x 1 0 Logo px x 1x² 1 c px x⁴ 1 x 1 é raiz de px logo x⁴ 1 x 1 x⁴ x³ x³ x² x 1 x³ 1 x³ x² x² 1 x² x x 1 x 1 0 px x 1x³ x² x 1 é redutível x 1 é raiz pelo item b x³ x² x 1 x² 1x 1 Portanto px x 1x 1x² 1 d px x² 3x 2x² 5x 10 Temos considere p₁x x² 3x 2 x 1 é raiz de p₁x x² 3x 2 x 1x 2 x x 2x 2 2x 2 Logo p₁x x 1x 2 considere p₂x x² 5x 10 temos que p₂x é irredutível em Rx Portanto px p₁x p₂x x 1x 2x² 5x 10