Exercícios - Polinômios - Álgebra 3 2021 2

Exercicios de polinômios Questão 1 Dados 𝑓𝑥𝑒 𝑔𝑥 ℤ𝑥 Se 𝑔𝑥 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑚 𝑏𝑚 1 Prove que existe 𝑞𝑥𝑒 𝑟𝑥𝑒𝑚 ℤ𝑥𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑞𝑥 𝑟𝑥 𝑟𝑥 0 𝑜𝑢 𝑟𝑥 𝑔𝑥 Questão 2 Quais dos conjuntos 𝐽 ℚ𝑥 são ideias Em caso afirmativo calcule 𝑝𝑥 mônico onde 𝐽 𝑝𝑥ℚ𝑥 a𝐽 𝑓𝑥 ℚ𝑥 𝑓1 𝑓7 0 c 𝑓𝑥 ℚ𝑥 𝑓3 0 d 𝑓𝑥 ℚ𝑥 𝑓4 0 𝑒 𝑓0 𝑓1 Questão 3 Prove que o polinômio 𝑝𝑥 𝑥4 4 é redutível em ℚ𝑥 Questão 4 Prove que os seguintes polinômios são irredutíveis sobre ℚ 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 a𝐹𝑥 𝑥4 2𝑥3 2𝑥2 2𝑥 2 b𝐹𝑥 𝑥7 31 c𝐹𝑥 𝑥6 15 d𝐹𝑥 𝑥3 6𝑥2 5𝑥 25 e 𝐹𝑥 𝑥4 10𝑥3 20𝑥2 30𝑥 22 𝑓 𝐹𝑥 𝑥7 22𝑥3 11𝑥2 31𝑥 33 Questão 5 Determine quais dos polinômios são irredutíveis sobre ℚ justificando suas afirmações 𝑎 𝐹𝑥 𝑥3 𝑥 1 𝑏 𝐹𝑥 𝑥3 2𝑥2 𝑥 15 c𝐹𝑥 𝑥4 𝑥 1 d 𝐹𝑥 𝑥4 2 e𝑥3 2𝑥 10 Questão 6 Prove que 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 é irredutível sobre ℚ se e somente se 𝑏2 4𝑎𝑐 0 Questão 7Seja 𝑓𝑥 ℝ𝑥 tal que 𝑓𝑥 2 Prove que 𝑓𝑥 é irredutível sobre ℝ se e somente se 𝑓𝑥 pode ser escrito da forma 𝑓𝑥 𝑥 𝑎2 𝑏2 onde 𝑎 𝑒 𝑏 ℝ 𝑒 𝑏 0 questão 8 Prove que se 𝐽 ℝ𝑥 𝑥2 1 é um ideal maximal em ℝ𝑥 Sabemos que ℝ𝑥 𝐽 𝑓𝑥 𝐽 𝑓𝑥 ℝ𝑥 Defina então ℝ𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑥 ℝ𝑥 𝑖 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑖 1 Mostre que ℝ𝑖 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑒 𝑏 ℝ e a função 𝐹 ℝ𝑥 𝐽 ℝ𝑖 𝐹𝑓𝑥 𝐽 𝑓𝑖 é um isomorfismo Conclua que ℝ𝑥 𝐽 é isomorfo aos complexos Questão 9 Prove que 𝑓𝑥 𝑥2 𝑝 𝑝 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑ú𝑡í𝑣𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ℚ e que 𝐽 ℚ𝑥 𝑥2 𝑝 é um ideal maximal em ℚ𝑥 Defina então ℚ𝑝 𝑓𝑝 𝑓𝑥 ℚ𝑥 Mostre que ℚ𝑝 𝑎 𝑏𝑝 𝑎 𝑒 𝑏 ℚ e a função 𝐹 ℚ𝑥 𝐽 ℚ𝑝 𝐹𝑓𝑥 𝐽 𝑓𝑝 é um isomorfismo Questão 10 Prove que o polinômio 𝑥2 3 é irredutível sobre ℤ5 Se 𝐽 ℤ5𝑥 𝑥2 3 mostre que podemos definir uma relação de equivalência em ℤ5𝑥 colocando 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑚𝑜𝑑 𝑗𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 3 dx ℤ5𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℤ5𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑚𝑜𝑑 𝐽 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 ℤ5𝑥 𝐽 𝑓𝑥 𝑓𝑥 ℤ5𝑥 𝑒 Verifique também que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 além disso o corpo ℤ5𝑥 𝐽 possui exatamente 25 elementos Questão 11 Prove que o polinômio 𝑝𝑥 𝑥3 𝑥 1 é irredutível sobre ℤ5 Se 𝐽 ℤ5𝑥 𝑥3 𝑥 1 então o corpo ℤ5𝑥 𝐽 possui exatamente 125 elementos análogo ao que foi feito na questão anterior