Teoria dos Anéis e Corpos na Álgebra Abstracta

Def Se A um conjunto Dizemos que A é um anel quando AA A e AA A qb qb ab que satisfazem abc A S1 abc abc S2 ab ba S3 x A tq xa ax a S4 a A a A tq aa aa x M1 abc abc M2 abc abac abc acbc Prop 1 x S3 é único Dem Suponha x1 outro elemento tq x1a ax1 a Teme a x e note que x1 x x x1 x x x1 Sendo tais elementos únicos definimos x 0 e a a S1 além das propriedades anteriores A satisfaz M3 ab ba dizemos que o anel é comutativo Se satisfizer M4 y A ya ay a dizemos que é anel com identidade Prop Se y A que satisfaz M4 y é único Dem suponha y1 que tbm satisfaz M4 Temos yy1 y1 y y y1 com isso definimos y 1 A A A é subconjunto multiplicativo ou seja xy A xy A xy A A ou ainda xy A tq xy 0 x 0 ou y 0 dizemos que A é domínio Se A satisfazer M4 e M5 a A0 b A0 tq ab ba 1 dizemos que A é anel com divisor 0 ℝ ℝ e 1 ℝ ℝ Fℝ é um comut Ox 0 e Ix 1 são os elementos nulo e identidade respectivamente de A Considere fx 0 se x 0 x se x 0 i gx x² se x 0 0 se x 0 Note que f 0 g 0 mas fg 0 7 Quaternions Anel com divisão que não é comutativo i² j² k² 1 e ij k ji k ik j ki i Dado x i y j z k 0 note que x i y j z k t x i y j z k tt x i y j z k t² x² y² z² x t² y t² xy y k² 3 t 3 y x y k t² x² y² z² ni y j z k t¹ t x i y j z k x² y² z² Se A é um anel com identidade e domínio dizemos que A é domínio de integridade Prop Anel a 0a a0 0 b ab ab ab c ab ab Dem a 0a 0 0a 0a 0a 0a 0 Então a ta 0 0a 0a ae 0a 0 0a 0 O mesmo argumento funciona para a0 b Mostraremos que ab ab Dentro disso usamos a definições de inverso aditivo ab ab a ab 0b 0 Logo ab ab A parte Ab ab é análogo c Mostraremos que a a a ta 0 Agora note que ab ab ab ab Se A satisfaz M3 e M5 dizemos que A é corpo Exemplos 1 Z é domínio de integridade 2 Z não é anel com divisão 62 não em Z 3 Zn é corpo se nprimo 4 Z4 não é domínio 22 4 0 5 Q R C são corpos I é o anel de frações de Z R é corpo ordenado completo C é corpo algebricamente fechado C é fechado ao gráfico de R Existem infinitos corpos distintos e não isomorfos entre Q é R Q2 ab2 abQ por exemplo A FR conjunto de todas as funções reais Define AA A fgx fxgx fgx fxgx gx fxgx Dem Siga x 0 m ℕ temos xⁿ 0 caso contrário xxⁿ¹ 0 não teríamos domínio Desta forma como o domínio é finito m n com m n p xⁿ xᵐ xⁿᵐ 0 x 1 xxⁿ¹ 0 xⁿ¹ 1 c n 0 xⁿ 1 xxⁿ¹ 1 Criterio p primo ℤᵖ é corpo Dem para p primo mostraremos que ℤᵖ é domínio de integridade ℤᵖ é anel comutativo com identidade Sejam a b ℤᵖ e ab 0 mod p Portanto m ℤ² Se pa a 0 mod p a 0 pb b 0 mod p b 0 y A temos 0 y A vale y A Sendo assim A A A x y x y define uma operação binária por A A A define uma operação binária Note que S₁ S₂ S₃ S₄ M₁ M₂ valem em R Logo valem em A Ex 0 Z Q R C H n ℕ Ex 0 Z Z QP QP R P primo Homomorfismos de anéis Def Sejam R S anéis Um homomorfismo ϕ R S é uma aplicação que satisfaz ϕa b ϕa ϕb ϕab ϕa ϕb 2 chamamos de núcleo de ϕ ao subconjunto de R r R ϕr 0 Dem ① ϕ0 ϕ0 ϕ0 C ② a a 0 ϕa a ϕ0 0 ϕa ϕa 0 ϕa ϕa como ϕ é subjetiva r R s S s ϕr ϕr Note que s ϕr ϕr ϕ1R ϕr ϕr s ϕr c s Sendo assim ϕ1R é a identidade de S como identidade de S é única ϕ1R 1S ④ Se 1 R e a R é invertível em R então ϕa é invertível aa¹ 1 ϕaϕa¹ ϕ1 1 ϕa¹ ϕa 1 A definição que adotamos traz certos problemas Ex Z₂₉ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 é anel com unidade 2Z₂₉ 0 2 4 6 8 também é anel com identidade porém a identidade é 0 1 Note 06 060 0 26 62 12 2 46 64 24 4 66 36 6 68 48 8 ② M₂R é anel com identidade 0 0 A M₂R A a 0 a R A M₂R é anel com identidade 0 0 e 0 0 0 1 Prop Seja R um anel e A R um subconjunto Então A é um subanel de R se 1 0 A 2 x y A x y A 3 x y A x y A Def Seja I R Dizemos que I é um ideal de R se i I é um subanel de R ii rI I r R Def I é um ideal esquerdo de R se i I é um subanel de R ii Ir I r R Def I é um ideal bilateral se I é ideal esquerdo e direito Ex n ℕ ① nZ é ideal de Z ② M₂C I a 0 ai R ideal é esquerdo J a b a b R Ideal é direito Se um dos dois é ideal bilateral Seja R um anel e I R um ideal de R Define a seguinte relação a b a b I Afirmação é relação de equivalência em R Ex Exercício Vamos definir RI como sendo o conjunto das classes de equivalência onde a classe de um elemento a R é dada por ã a I a m m I dados ã b RI definimos ã b ã b ãb ab precisámos mostrar que estas operações estão bem definidas sejam a b c d R tal que ã b e c d a b I e c d I m n I a b n c d m ãc ãc ac atc ac bt dn b d b d ac ac bmdn bd bn md mn I Propriedades RI com as operações definidas anteriormente é um anel chamado anel quociente de R por I Teorema Se φ R S é homomorfismo de anéis então ker φ é um ideal de R Se I é um ideal de R então a aplicação H R DRI dada por r r I é um homomorfismo sobrejetivo com núcleo I Dem ker é ideal ok Se I é um ideal RI é anel H homomorfismo exercício H claramente sobrejetiva exercício Seja r ker H Hr 0 I R I logo ker H I Seja r I Hr r I 0 I r ker H Logo I ker H Assim ker H I Teorema Se f R S é um homomorfismo de anéis e seja I um ideal de R tal que I ker f Então existe um único homomorfismo de anéis f RI S tal que f f o H Dem Define fR I fx Precisamos mostrar que f está bem definido Sejam r₁ r₂ R tal que r₁ r₂ Sendo assim r₁ r₂ I Como IS ker f fr₁ 0 fr fr₁ f é homomorfismo de anéis ok enunciado f a fa I fa a R fote f Corolário 1º teorema de isomorfismo se φ R S é homomorfismo de anéis então Rker f im f Prop Seje ψ R S um homomorfismo de anéis Sendo assim ker ψ é injetore se e só se ker ψ 0 Dem claramente 0 ker ψ ψ é injetore e ψ0 0 então ker ψ ψx 0 então x ker ψ 0 ker ψ 0 Seje ψ e ker ψ 0 e xy R tais que ψx ψy ψxy 0 xy ker ψ 0 x y ψ é injetor Teorema Seje f R S um homomorfismo de anéis e se I um ideal de R tal que I ker f Então existe um único homomorfismo de anéis f RI S tal que f f o π Além disso ① im f im f ② ker f ker fI ③ f é isomorfismo se f é sobrejetor e ker f I I ker f temos que fr r 0 fr fr logo fr I fr fr fr I f é homomorfismo de anéis verificação fπa fa I fa a R Logo fI f ① im f s S r R tal que fr s im fπ s S r R tal que fπr s im f ② Seje π ker f Sendo assim fr I fr I fπ 0 Tal aplicação é homomorfismo de anéis verificação e é claramente sobrejetora pois i j J i J i I Definir ker f I J pois se x ker f fx x J J x J como I é o domínio de f x I Logo x I J se x I J então fx x J 0 J x ker f Pelo 1º teorema de isomorfismo II J IJ 3º teorema de isomorfismo Se I J então JI é ideal de R e RI RJ Dem considere f RI RJ dada por r I r J f está bem definida verificação f é homomorfismo de anéis verificação f é injetora ker f 0 ker f ker f I de ker f JI de fato Teorema Se P é um ideal de R e P R e a b R vale ab P a P ou b P então P é primo Agora se abP temos que RabRP P é ideal Logo RaRRbR P como P primo temos RaRP ou RbRP Logo aP ou bP isso acontece porque estamos supondo SER Se 1R em vez de usar RaR teríamos que usar Za Ra Art RaR Funciona igual Exemplos 1 Se R é domínio de integridade ideal 0 é primo 2 Se P é inteiro então PZ é ideal primo de Z Teorema Se R é comutativo com identidade P é primo RP é domínio de integridade Dem Suponha P primo RP é anel comutativo com identidade 1RP Como P primo PZR o que significa que 1P 1RPP Sejamos a bR aPbP P abPP abP aP ou bP RP é domínio de integridade o que implica que PZR Como RP não possui divisores de zero temos abP abPP aPbPP aPP ou bPP aP ou bP o que mostra que P é primo Def um ideal é dito maximal se MNR NM ou NR Ex 3Z é maximal em Z mas 4Z não é visto que 4ZZ e 2ZZ Teorema Se R é anel com identidade 1 Se M é maximal e R é comutativo então RM é corpo 2 Se RM é anel com divisões então M é maximal Dem i Se M é ideal maximal e R comutativo Para mostrar que RM é corpo temos que mostrar que aRM bA com ab1 Note que MRaR pois M é maximal como 1R então mM e rR mra1 ra1M NM corolário R comutativo e com identidade são equivalentes i R é corpo ii R não possui ideais próprios iii 0 é ideal maximal em R iv Todo homomorfismo nãonulo RS é injetor Dem i ii Se R é corpo e 0A então aA a0 Sendo assim 1A1 e a1aa11A pois é ideal logo AR ii i Obs i 0 maximal R0R e R é corpo pelo teorema anterior iv iii considere H RRI Sabemos que ker HI Logo I0 o que mostra que R não contém ideais próprios iii iv Os únicos ideais de R são 0 e R ideal de R Se ψ 0 então ker ψ R Logo ker ψ 0 Def Seja x R um subconjunto de R Definimos x como sendo o menor ideal que contém x x I I R x I x também é chamado de ideal gerado por X Def RX ri xi ri R xi X n N xR n i1 xi ri xi X ri R n N RXR m i1 x i c i x i X c i R n N Def Se x n N dizemos que x é finitamente gerado Se x 1 dizemos que x é um ideal principal Propriedades i x Zx RX XR RXR ii a Za Ra ah Rah Bem não faremos Def um anel de ideais principais é um anel no qual todos os ideais são principais Se além disso R é domínio de integridade dizemos que R é domínio de ideais principais Ex O anel Z é principal Seja I Z Se I 0 I é principal se I 0 então I possui um elemento não nulo a Sendo I ideal a I Logo a I a 0 Como os o conjunto S dos inteiros positivos é não vazio e pelo princípio de boa ordenação existe um menor elemento em S Afirmar que d I dZ J pois J é ideal J dZ x J x J Sendo d o menor positivo em J temos que x d Logo pelo algoritmo de divisão euclidiana temos que x qd r onde 0 r d J x qd J r J Porém como r d temos que r 0 Logo x qd J dZ Teorema Em Z são equivalentes i p é primo ii p pZ é ideal maximal em Z Dem i ii Se p é primo e J p pZ mostramos que J é maximal De fato se I Z J I C Z Como Z é domínio de ideais primários I nZ n Z Assim pZ nZ Z p Z logo m Z tq p nm n p e p primo n 1 ou m 1 Se n 1 nZ Z pZ é maximal n 1 pZ pZ ii i Se J pZ ideal maximal em Z e se d Z d p Como J pZ Z temos que p 1 d p p db com b Z Se I dZ temos p I e J I Z Como J é maximal I Z ou J I Se J I pZ dZ temos d pa para algum a Z d pa p db pab p1 ab 0 Sabemos que p 0 pZ é maximal Se p 0 πZ Z por exemplo o que mostra que 0 não é maximal Logo como Z é domínio de integridade 1 ab a 1 e b 1 Logo d pa d 1p Se d Z Z m Z m 1 m md d 1 Provamos então que os únicos divisores por virem para p são 1 e p o que mostra que p é primo Seja R um anel comutativo com 1 0 Definimos que S R é um subconjunto multiplicativo se i 0 S ii 1 S iii se a b S ab S Observação a b S a 0 e b 0 com abS não contém divisores de zero Prop S é subjunto multiplicativo ideal primo Dem Suponha P primo Sejam a RP e b RP Temos então que ab P como contrário como P é primo teríamos a P ou b P absurdo o que significa que ab RP Como 0 P temos 0 RP e 1 RP Logo RP é multiplicativo Sendo assim 1 RP 1 P P R Se a b RP então ab RP o que mostra que ab P Seja S um subconjunto multiplicativo de R Define a seguinte relação de equivalência em S R s₁ m₁ s₂ m₂ μm₁ s₂ r₂ s₁ 0 ba s₂ r₁ s₃ r₂ s₁ 0 s₁ r₁ s₂ r₂ Ker φ é o ideal formado pelos elementos que anulam S Em particular se S Rk ker φ é o conjunto de divisores de zero de R c Note que varphi1 frac11 cdot 1 como r frac1s in S1R com isso frac11 cdot frac1s frac1s frac11 quad Rightarrow quad forall x in S x1s1 0 Corolário mathbbQ S1mathbbZ onde S 2n n in mathbbN