Lista de Exercícios de Álgebra Linear - UFMS

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Instituto de Matematica Algebra Linear 4 Lista de Exercicios 1 Sejam u x1 x2 e v yi yz vetores genéricos do R Para que valores de t R a funcao uv x1y1 txzy2 é um produto interno sobre o R 2 Mostre que se uv 0 para todo vetor v entao u 0 1 3 No espaco V P3R consideremos o produto interno ft gt ftgtdt Calcule 0 ft gt lFtl lgtI e t gt quando a ft tt1 e gt t41 b ft 2 e gt t4tl 4 Seja T um isomorfismo de um espaco vetorial V Prove que se uv 6 um produto interno sobre V entao o mesmo acontece com a fungao Pr V x V R definida por Pruv Tw Tv 5 No espaco vetorial V MR considere 0 produto interno definido por AB trBA onde trX é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X M2R chamado de traco de X Sendo 1 1 1 0 A B 01 00 calcule AB Al B e dA B 6 No espaco vetorial euclidiano R sejam u 1201 e v 3 14 2 Determine uv uttyv v duw v e 0 coseno do Angulo entre u e v lu v 7 Sejam u e v dois vetores nao nulos de um espaco vetorial euclidiano Sendo 8 o angulo entre ue v mostre que u v ull y 2uv cos 8 Lei dos cosenos 8 Sejam u e v dois vetores de um espaco vetorial euclidiano Determine o coseno do angulo entre u e v dados u 5 v 8 e luv V129 9 Verifique a lei do paralelogramo num espaco euclidiano V Ju vl Jue vl 2ful 2IyI para todos ue vem V 10 Sejam u e v vetores de um espaco euclidiano a Mostre que juv uvl7 4 ujv b Calcule uv sabendose que u v 1 e juv 1 27 11 Com relagaéo ao produto interno ft gt ftgtdt calcule a distancia entre as 0 funcdes senx e cosx de C0 271 R 12 Sejam u e v vetores de um espaco euclidiano Mostre que uv é LD se e somente se uv ullvl 13 Sejam u 110 ev 012 no espaco euclidiano R Determine os vetores w R tais que w leuywvw 0 14 Determine todos os vetores do R de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a 212 e 134 15 Determine uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespacos do R utilizando o processo de GramSchmidt a W 1 10 0 0 1 2 0 0 03 4 b W2 2 0 0 0 a 3 3 0 3 3 3 0 16 Determine uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de Wt onde W é 0 subespaco de R dado por W xyzt Rxy0e2xzy 17 Em cada caso encontre os autovalores e os autovetores do operador T do R os subespacos proprios a multiplicidade geométrica e a multiplicidade algébrica associados a cada autovalor de T a Txy xyx y b Txy xy 18 Em cada caso encontre os autovalores e os autovetores do operador T do R os subespacos proprios a multiplicidade geométrica e a multiplicidade algébrica associados a cada autovalor de T a T10 0 2 0 0 T0 10 2 12 T0 0 1 3 2 1 b T10 0 0 0 0 T0 10 0 0 0 T0 0 1 5 1 2 19 Calcule o polindmio caracteristico e os autovalores de cada uma das seguintes matrizes 2 0 1 1 2 1 3 1 1 3 1 fo Tf f1 14 20 Determine se possivel uma matriz M MR de maneira que MAM seja diagonal nos seguintes casos 2 4 3 2 a A 3 b A sl 21 Determine M M3R inversivel tal que MAM seja diagonal onde 2 0 4 A3 4 12 1 2 5 22 Seja T R R um operador linear e suponha que A 4 Az sao ambos autovalores de T Se v 6 autovetor associado a A e v2 é autovetor associado a Az prove que o conjunto v v2 é LI 23 Mostre que o operador T R R definido por Tx y 4x 4yx 4y é diagonalizavel Encontre uma base B de R tal que Tg é uma matriz diagonal Escreva T 2 4 24 Sendo A 3 calcule Al 25 a Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre R Defina Produto Interno sobre V b Seja T V V um operador linear Defina os conceitos de Autovalor e AutoVetor c Defina o conceito de Subespago Proprio d Qual a diferenga entre Multiplicidade Geométrica e Multiplicidade Algébrica e Descreva o Processo de Ortonormalizagéo de GramSchmidt f O que é Complemento Ortogonal g Quando um operador T V V se diz diagonalizavel