Transformacao Linear-Nucleo Injetividade e Operador Linear

1 Determine o núcleo da seguinte transformação linear T R3 R2 onde Tx y z x y x z 2 Verifique se a transformação linear F R2 R2 dada por Fx y x y x y é injetiva 3 Verifique se o operador linear D PnR PnR dado por Dft ft é um transformação linear injetora 1 Considere a seguinte transformação linear T R3 R2 dada por Txyz xy xz O núcleo de T é dado pelo conjunto NT xyz R3 Txyz 00 ou seja xy xz 00 ou ainda xy 0 1 x z 0 2 De 1 y x e de 2 z x Logo NT xxx x R 2 Seja F R2 R2 dada por Fxy xy xy Sabemos que uma transformação linear é injetiva se NT 0 Vejamos se F é injetiva Para isso vamos encontrar o núcleo de F Se Fxy 00 então xy xy 00 Logo xy 0 1 xy 0 2 De 1 x y De 2 xy 0 yy 0 2y 0 y 0 Considere o operador linear D PnIR PnIR dada por Dft ft O operador linear D não é injetor Pois a derivada de um polinômio constante é zero Logo ND ft E PnIR ft c onde c é constante Ou seja ND 0 e portanto D não é injetora Portanto x y 0 e então NF 00 Com isso concluímos que F é injetiva