Exercícios - Teorema de Gauss e Stokes - Cálculo 2 2020 2

Resumo: Definição. Seja F : A → R³ um campo vetorial definido em um subconjunto aberto A ⊂ R³ e assuma F ∈ C¹(A). Seja γ : [a, b] → R³ uma curva diferenciável parametrizada. Definimos a integral de linha do campo F ao longo de γ como sendo ∫γ F · dr = ∫ab F(γ(t)) · γ'(t) dt. Teorema de Gauss (Divergência). Seja B um sólido compacto (isto é, fechado e limitado) em R³ e seja S = ∂B (fronteira/bordo de B). Se F : U → R³ é um campo vetorial de classe C¹(U), onde U é um aberto em R³ tal que B ⊂ U, então ∫∫∫B div F dx dy dz = ∫∫S F · dr. Teorema de Stokes. Seja B ⊂ R³ um sólido compacto (isto é, fechado e limitado) tal que a sua fronteira S = ∂B é uma superfície suave que pode ser descrita por uma curva diferenciável parametrizada, fechada e simples γ : [a, b] → R². Se F : A → R³ é um campo vetorial de classe C¹(A), onde A é um aberto em R³ tal que A ⊃ S, então ∫∫S rot F · dr = ∫γ F · dr. Problemas: (1). Calcule ∫γ F · dr, onde F : R² → R³ é o campo vetorial dado por F(x, y, z) = (3x²yz, 5z, −4xy), (x, y, z) ∈ R³ e γ : [0, 1] → R² e a curva cuja parametrização é dada por γ(t) = (t, t², t³), t ∈ [0, 1]. (2). Seja B ⊂ R³ um sólido em formato de caixa, onde os lados são definidos pelas desigualdades −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 3 ≤ z ≤ 4. Considere que a fronteira S = ∂B é uma superfície que contém todos os seis lados dessa caixa. Defina um campo vetorial F : R³ → R³ por F(x, y, z) = (sen(πx), yz⁴, x² + 4x), (x, y, z) ∈ R³. Use o Teorema de Gauss (Divergência) para calcular ∫∫S F · dr. (3). Seja B ⊂ R³ o hemisfério superior do sólido esférico de raio 4, cuja fronteira S = ∂B é a superfície dada por S = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² + z² = 16, z ≥ 0}. Defina um campo vetorial F : R² → R³ por F(x, y, z) = (y, −x, z³y²), (x, y, z) ∈ R³. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫∫S rot F · dr. (4). Considere o sólido B ⊂ R² tal que S = ∂B consiste na interseção da superfície de equação z = 5−x²−y² com o plano z = 1 (veja a figura abaixo). Defina um campo vetorial F : R² → R³ por F(x, y, z) = (−z², −3xy, z³y²), (x, y, z) ∈ R³. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫∫S rot F · dr.