P1 - Cálculo 2 2022 1

PROVA 1 DE CALCULO II DATA: 30 de Setembro de 2022 Professor: Daniel Leite Aluno(a): RGA: e Esta prova é individual! Qualquer interagéo com o(a) colega implicaraé nota zero na prova de ambos. e O celular devera estar desligado ou no silencioso e guardado dentro da mochila ou bolsa. O manuseio do celular durante a prova também implicaré nota zero na nota. e Tem duracao de 3 horas com inicio as 13:30 h e tem valor maximo de 10 pontos. e O(a) aluno(a) tem direito de usar os seguintes materiais: lapis, caneta, borracha, cal- culadora cientifica basica e uma folha A4 previamente preparada com anotacoes para consulta. Nenhum outro material esta permitido. e Boa Prova! Questao 1: Calcule o limite ou mostre que ele nao existe. 2 2 2 2 (11) im 7 teen) (12) im Ser) (xy)>(0,0) 2x* + y (x,y)+(0,0) w* + 2y Verifique se as fungoes podem ser estendidas de modo continuo na origem. Questao 2: (2.1) Use aproximacao linear para aproximar o valor de \/(3.02)? + (1.97)? + (5.99)?. (2.2) Determine a direcao onde f(x,y) = x*y — x*y? decresce mais rapido no ponto (2,-3). Qual é o valor da taxa? Questao 3: Abaixo aparece um esboco das curvas de nivel da funcao f(a,y) = a? — 34 + y* — 2y? \ \ : ) \} } | K \ Y | i WIA ANN 1 (3.1) Quais pontos parecem ser os pontos críticos segundo o mapa de contorno? Separe os possíveis pontos de sela dos máximos e mínimos locais. (3.2) Identique com precisão, através da equação ∇f = ⃗0 e o Teste da Derivada Segunda, todos os pontos críticos e os classique como sela, máximos ou mínimos locais. (3.3) Desenhe vários vetores gradientes em torno de cada ponto crítico levando em conta apenas a direção e o sentido. Questão 4: Sua empresa foi solicitada a projetar um tanque de armazenamento para gás lique- feito de petróleo. As especicações do cliente exigem um tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas, e o tanque deve ter capacidade para 8000 m3 de gás. O cliente deseja também utilizar a menor quantidade possível de material na fabricação do tanque. Qual raio e altura você recomenda para a parte cilíndrica do tanque? 2 1 1 17 Tome y o 2 so entao Pl VTA him 14,0 too EI Tome 2 0 y so enter him log 110,0 MIF t hi g 12 1 tf portanto o limits nai mish e f now poor sun definida em 10,0 de mo do a see continua 1.2 Como O E 22 E N't 292 Va y O E Effy El t a y 2429240 Of Effigy e sing Tomando n y 10,01 Of him egging e Ying tiny 0 Miff montana Yanina IIF e defiwindo flo d o estands f de modo continuo 2 2 1 3,022_1,972 5,99 Sejo fin y 2 setylz linearizaremos f em torn de 3 2,61 En EEA 35 Tyto II EEE f 312,61 9 4 367 45 t 21,132,67 3 F 312,67 4 21312,61 4 enter a linearizaccio de f em 1312,67 e t 7 3 12 3 4 Y 2 6g Z 6 forzando 2 3,02 Y 1,97 2 5,99 t t 3 0,024 2g L O 3 4 1 0,01 t 7 0 06 7 6 t 7 04 6,9914 e 022 1,972 5,99 56,9014 2 2 fin y a y shy P 2 3 a direct em que a Variaccio i minor e eposta ao do gradiente no panto If 423g Zay y 24 322g2 2 12 31 4.8 1 3 2.2 L 271 96 108 12 21g 2 3 24 3 4.9 16 108 92 Df L2 3 112 92 a aim in i e if t e a taxa de varia.cat i Idf12 3111 12492T 45385 3 3.1 ny n minims on machines t 1 1,11 3C 1 1 pantos de Sela 3.2 f in yl 23 32 y 4 292 Pf 322 3 443 4g Df 10,07 es y 322 3 0 y Gy ale yly 2 1 o N s y o en y In 6 pontos critics 1,0 11,1 11 17 It Oli Hill f l 11 Hfing 6k O 12944 Feste da hgunds derivada Hf tie 6 9 defHf 1,01 24 11101 é pentode sele Hf11,11 g g alt Hf11,11 48 70 fan 1,11 670 11,1 e pontoon mimmo local Hell n f g Hf in fi d e ponto de minimo local Hf 1 7,01 G g dit Hfs1,01 2400 fan 1,01 660 i f 1,0 i mornin local Hf 1,1 6 o o g at Mff1,11 4860 1 1 17 e ponto de sele Hft in g Hf l e e l till e ponto de see 3 3 4 V r h 8000 TRU t Gr Alr 4 4184 2itrh minimizar Air ht sujeito a tr ht 4 3 8000 Trh 8000 41,3 Hrh 80g 413 Alr 4 4152 2Hrh 41564160g Eve 415 160g Alr If 815 1691 o 813 1697 Mr3 6000 r y 103 riff 10 m he 87 45 ftp 4 Ef IF If If 3 6 For