Questões - Domínio e Curvas Paramétricas - 2023-2

2. * Determine o domínio de f(t) = \left( t, \sqrt{\frac{t-2}{t+1}}, \ln(5-t^2), e^{-t} \right) 4. * Mostre que a curva com equações paramétricas x = t^2, y = 1 - 3t, z = 1 + t^3 passa pelos pontos (1, 4, 0), e (9, -8, 28), mas não passa pelo ponto (4, 7, -6). 10. * Mostre que a curva \gamma(t) = (\cos t, \sen t \cos t), t \in \mathbb{R} tem duas tangentes em (0,0) e ache suas equações. 11. * Considere f(x) = (\sqrt[3]{x})^2. (a) Mostre que a função f não é diferenciável em x = 0. (b) Determine uma curva \gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, diferenciável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f. 17. * Suponha que \vec{r} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 seja diferenciável até a 2ª ordem e que para todo t \geq 0, \|\vec{r}(t)\| = \sqrt{t}. Prove que \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{r} \cdot \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \text{ em } [0, +\infty]. 20. * Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado, sendo \vec{f}(t) = \cos t \, \vec{i} + 3t \, \vec{j} + 2 \sen (2t) \, \vec{k}. 24. Seja \( F(t) \) uma força dependendo do tempo \( t \), que atua sobre uma partícula entre os instantes \( t_1 \) e \( t_2 \). Supondo \( F \) integrável em \( [t_1, t_2] \), o vetor \[ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \, dt \] denomina-se impulso de \( F \) no intervalo de tempo \( [t_1, t_2] \). Calcule o impulso de \( F \) no intervalo de tempo dado. (a) \( \vec{F}(t) = t\, \hat{i} + \hat{j} + t^2 \, \hat{k} \), \( t_1 = 0 \) e \( t_2 = 2 \). (b) \( * \vec{F}(t) = \frac{1}{t+1} \, \hat{i} + t^2 \, \hat{j} + \hat{k} \) \( t_1 = 0 \) e \( t_2 = 1 \). 27. Reparametrize pelo comprimento de arco as curvas dadas. (a) \( \gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sen t), \quad t \geq 0 \) (b) \( * \gamma(t) = (\cos t, \sen t, t), \quad t \geq 0 \) 25. Calcule o comprimento da curva dada. (a) \( \gamma(t) = (t \cos t, t \sen t), \quad t \in [0, 2\pi] \) (b) \( \gamma(t) = (2t - 1, t + 1), \quad t \in [1, 2] \) (c) \( * \gamma(t) = (\cos t, \sen t, e^{-t}), \quad t \in [0, \pi] \) (d) \( \gamma(t) = (e^{-t} \cos t, e^{-t} \sen t, e^{-t}), \quad t \in [0, 1] \) 2. f(t) = (t, \sqrt{\frac{t-2}{t+1}}, \ln{15-t^2}, t^t) • Temos que, devido às restrições: \frac{t-2}{t+1} \ge 0 \rightarrow \begin{array}{c|cc|c} + & - & + \ -1 & 2 \ \end{array} : t < -1 \text{ ou } t \ge 2 \ln{15-t^2} > 0 : t^2 < 5 \rightarrow -\sqrt{5} < t < \sqrt{5} • Realizando a interseção, chegamos em: t \in \mathbb{R} / -\sqrt{5} < t < -1 \cup 2 \le t < \sqrt{5} 4. x = t^2 / y = 1-3t / z = 1 + t^3 • Se y=4 : 4 = 1-3t \rightarrow t = -1 \rightarrow x = (-1)^2 = 1 \rightarrow z = 1 + (-1)^3 = 0 • (1,4,0) \text{ pertence à curva} • Se y=-8 : -8 = 1-3t \rightarrow t = 3 \rightarrow x = 3^2 = 9 \rightarrow z = 1 + 3^3 = 28 • (9,-8,28) \text{ pertence à curva} • Se y=7 : 7 = 1-3t \rightarrow t = -2 \rightarrow x = (-2)^2 = 4 \rightarrow z = 1 + (-2)^3 = -7 • Como z = -7 \neq -6 \text{ para } x = 4 \text{ e } y = 7 , (4,7,-6) \text{ não pertence à curva} 10. \gamma(t) = (\cos{t}, t\cos{t}) • Se x = y = 0 , então \cos{t} = 0 \rightarrow t = \pm 1 • \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\cos{t} - t\sin{t}}{-\sin{t}} = \frac{1 + \left(t\sin{t} = 1\right)}{t\sin{t} = 1} \text{ ou } -1(t\sin{t} = -1) • Para \frac{dy}{dx} = 1 , a reta é y = x • Para \frac{dy}{dx} = -1 , a reta é y = -x 11. - f(x) = (\sqrt[3]{x})^2 a) \ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-2/3} \ (nao \ existe) - Logo \ f'(0) \ nao \ existe. b) \ \psi(t) = \begin{cases} (t, 0), & t = 0 \\ (t, (t^{1/3})^2), & t \neq 0 \ (t \in \mathbb{R}) \end{cases} 17. - \dot{\hat{r}} = ||\mathbf{r}'(t)|| \hat{r} = \sqrt{t} \hat{r} - \frac{d\dot{\hat{r}}}{dt} \dot{\hat{r}} = \sqrt{t} \frac{1}{2 \sqrt{t}} \frac{1}{4} = \frac{1}{4t} - - \dot{\hat{r}} \frac{d\dot{\hat{r}}}{dt} = - \hat{r} \frac{d(\frac{1}{\sqrt{t}})}{dt} = - (\sqrt{t} \hat{r}) \left(-\frac{1}{4} t^{-3/2}\right) = \frac{1}{4} t^{-1} = \frac{1}{4t} - Assim, \frac{d\hat{r}}{dt} \frac{d\dot{\hat{r}}}{dt} = - \dot{\hat{r}}^2 \frac{d^2\hat{r}}{dt^2}, \ t > 0 20. - T'(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||} - \mathbf{r}'(t) = - \mathbf{i} + 3 \mathbf{j} + 4\cos 2t \mathbf{k} - ||\mathbf{r}'(t)|| = \sqrt{10 + 16\cos^2 2t} - Logo, \ T(t) = \frac{-\mathbf{i} + 3 \mathbf{j} + 4\cos 2t \mathbf{k}}{\sqrt{10 + 16\cos^2 2t}} 24. b) \overrightarrow{T} = \int_0^1 \frac{1}{4t^4}dt \hat{i} + \int_0^1 t^2 dt \hat{j} + \int_0^1 dt \hat{k} \overrightarrow{T} = [\ln(t+1)]_0^1 \hat{i} + \frac{1}{3}[6]_0^1 \hat{j} + *4[1]_0^1 \hat{k} = \ln 2 \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \hat{k} 25. b) \overrightarrow{\gamma}(t) = (\cos t, \operatorname{sen}t, t) \to \overrightarrow{\gamma}'(t) = (-\operatorname{sen}t, \cos t, 1) \to ||\overrightarrow{\gamma}'(t)|| = \sqrt{\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t +1} = \sqrt{2} s = \int_0^t ||\overrightarrow{\gamma}'(t)|| dt = \sqrt{2} \int_0^t dt = \sqrt{2} t \to t = \frac{s}{\sqrt{2}} . \therefore , \overrightarrow{\gamma}(t) = (\cos(\frac{s}{\sqrt{2}}), \operatorname{sen}(\frac{s}{\sqrt{2}}), \frac{s}{\sqrt{2}} ),\ \text{onde s é o comprimento do arco} 25. e) \overrightarrow{\gamma}(t) = (\cos t, \operatorname{sen}t, e^{-t}) \to \overrightarrow{\gamma}'(t) = (-\operatorname{sen}t, \cos t, -e^{-t}) \to ||\overrightarrow{\gamma}'(t)|| = \sqrt{\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t + e^{-2t}} = \sqrt{1 + e^{-2t}} . s = \int_0^{\pi} ||\overrightarrow{\gamma}'(t)|| dt = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + e^{-2t}} dt \ \text{seja}\ v = -2t \to dv = -2 dt \to dt = \frac{dv}{-2} \seja .n = e^u \to de = e^u du, \ \int_0^{-2\pi} \sqrt{1 + e^u}^{-\frac{1}{2}} (-\frac{1}{2} dv) = \int_0^{-2\pi} \frac{du}{2} \frac{1}{\sqrt{(u)}} = \int_1^e \frac{1}{n} dn (-\frac{1}{2} dn ) \seja p = \frac{\sqrt{(\ln e^{-3\pi})}} \to dp = \frac{1}{\sqrt{\ln(\ln +3)\pi}} \frac{e^{2u}}{\operatorname{sen} (2e2ln) } + \frac{1}{e^{t}} dp = \int_5{\opentim}\frac{p^2}{\sqrt{\operatorname{sen}^{3}\operatorname{sen}^{4}\ln(p)}} - \frac{3}{\sqrt{e^{-2t}}} .\ \therefore ,\int_0^{\pi} \sqrt{1 + e^{e^{-2\pi} }dt \ = \sqrt{8} - \sqrt{\sqrt{1 + e^{-2\pi} \frac{e}{2\pi}}\cdots } + \frac{1}{2}\operatorname{sen}( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e^{-2\pi} }-1}) \ln( \frac{\operatorname{sen}^{\sqrt{\sqrt{2}}^2} + 1}{ \ln^2\sqrt{1 + e^{-2\pi} }+1 })