Lista - Representação de Funções por Séries de Potência - 2024-1

8ª Lista de Exercícios - Representações de funções como Séries de Potência Disciplina: Cálculo II Questão 1 Se o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \) for 10, qual será o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1} \)? Questão 2 Suponha que você sabe que a série \( \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \) converge para \(|x| < 2\). O que você pode dizer da série a seguir? Por quê? \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{n+1} x^{n+1} \] Questão 3 Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência. (a) \( f(x) = \frac{1}{1+x} \) (b) \( f(x) = \frac{2}{3-x} \) (c) \( f(x) = \frac{1+x}{1-x} \) (d) \( f(x) = \frac{x^2}{a^3 - x^3}, x \neq 0 \) Questão 4 (a) Use a derivação para encontrar a representação em série de potências com centro 0 para \( f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} \) Qual o raio de convergência? (b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para \( f(x) = \frac{1}{(1+x)^3} \). (c) Use o item (b) para achar uma série de potências para \( f(x) = \frac{x^2}{(1+x)^3} \). Questão 5 Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência. (a) \( f(x) = \ln(5-x) \) (b) \( f(x) = 2 x \tan^{-1} (x^2) \) (c) \( f(x) = \left( \frac{x}{2-x} \right)^3 \) Questão 4 (a) Use a derivação para encontrar a representação em série de potências com centro 0 para \( f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} \) Qual o raio de convergência? (b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para \( f(x) = \frac{1}{(1+x)^3} \). (c) Use o item (b) para achar uma série de potências para \( f(x) = \frac{x^2}{(1+x)^3} \). Questão 5 Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência. (a) \( f(x) = \ln(5-x) \) (b) \( f(x) = 2 x \tan^{-1} (x^2) \) (c) \( f(x) = \left( \frac{x}{2-x} \right)^3 \) Questão 6 (a) Completando quadrado, mostre que \[ \int_0^{\frac{3}{2}} \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \] (b) Usando a fatoração de \( x^3+1 \) como uma soma de cubos, reescreva a integral do item (a). Depois expresse \( \frac{1}{x^2+1} \) como a soma de uma série de potências e use-a para mostrar a seguinte fórmula para \(\pi\): \[ \pi = \frac{3\sqrt{3}}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{8^n} \left( \frac{2}{3n+1} + \frac{1}{3n+2} \right) \] Questão 7 Considere a série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \): (a) Encontre seu raio de convergência. (b) Defina \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). Mostre que \( f(x) = f'(x) \). (c) Mostre que \( e^{-x}f(x) \) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0). (d) Mostre que \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) (Sugestão: Use que \( f(0) = 1 \)). - Cálculo 2: Lista de exercícios 9 - Séries de Potências e Séries de Taylor 1. Encontre a soma das séries a seguir: (a) \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n, |x| < 1 \) (b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \) (c) \( \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^n, |x| < 1 \) (d) \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^2-n}{2^n} \) 2. Supondo que \( f \) possua uma expansão em série de potências, obtenha a série de Maclaurin de cada \( f(x) \) e o raio de convergência associado: (a) \( f(x) = (1-x)^{-2} \) (b) \( f(x) = \ln(1+x) \) (c) \( f(x) = e^{5x} \) (d) \( f(x) = x e^x \) (e) \( f(x) = \sin hx \) (f) \( f(x) = \cos hx \) (g) \( f(x) = \sin^2 x \) (h) \( f(x) = \cos^2 x \) 3. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (a) \( f(x) = \frac{x}{9+x^2} \) (b) \( f(x) = \frac{3}{1-x^4} \) (c) \( f(x) = \frac{x}{4x+1} \) (d) \( f(x) = \frac{3}{x^2+x-2} \) (e) \( f(x) = x \ln(1+x) \) (f) \( f(x) = \text{arctg} \left(\frac{5}{3}\right) \) (g) \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 25} \) (h) \( f(x) = \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), x \neq \pm 1 \) (i) \( f(x) = \int \frac{x}{1-x^5} dx \) (j) \( f(x) = \int \frac{\ln (1-x)}{x} dx \) (k) \( f(x) = \int \frac{x - \text{arctg} x}{x^3} dx \) 4. Supondo que \( f \) possua uma expansão em série de potências, obtenha a série de Taylor de cada \( f(x) \) centrada em \( a:\) (a) \( f(x) = 1 + x + x^2, a = 2 \) (b) \( f(x) = x^3, a = -1 \) (c) \( f(x) = e^x, a = 3 \) (d) \( f(x) = \ln x, a = 2 \) (e) \( f(x) = 1/x, a = 1 \) (f) \( f(x) = \sin x, a = \pi/4 \) 4. Supondo que f possua uma expansão em série de potências, obtenha a série de Taylor de cada f(x) centrada em a: (a) f(x)=1+x+x^2, a=2 (b) f(x)=x^3, a=-1 (c) f(x)=e^x, a=3 (d) f(x)=ln x, a=2 (e) f(x)=1/x, a=1 (f) f(x)=sen x, a=π/4 5. Use séries para avaliar as integrais e limites abaixo: (a) ∫ \frac{sen x}{x} dx (b) ∫ \frac{e^{-1}}{x} dx (c) lim_{x→0} \frac{x - artgx}{x^3} (d) lim_{x→0} \frac{1 - cos x}{1 + x - e^x} 6. Encontre a soma da série: (a) ∑_{n=0}^∞ (-1)^n \frac{x^n}{n!} (b) ∑_{n=0}^∞ (-1)^n \frac{x^n}{6^2n(2n)!} (c) ∑_{n=0}^∞ \frac{3^n}{5^nn!} (d) 1 - ln 2 + \frac{(ln 2)^2}{2} - \frac{(ln 2)^3}{3!} + ... 7. Multiplique as séries de potências para mostrar que e^{-x^2} cos x = 1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{25}{24}x^4 + ... 8. Divida as séries de potências para mostrar que \frac{ln(1-x)}{e^x} = -x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + ... .