Lista de Exercícios Resolvidos sobre Cálculo de Derivadas Parciais e Diferenciabilidade

Respostas 1 c22b 2 332 3 3c2a Acréscimo de uma Função 1 Se fxy 3x² 2xy y² x 003 e y 002 encontre o incremento de f em 14 2 Se fxyz xy ln yz x 002 y 004 e z 003 encontre o incremento de f em 415 3 Se fxyz x y exy e x 001 y 02 encontre o acréscimo de f no ponto 24 Respostas 1 05411 2 0126 3 00012 Diferenciabilidade e Derivada Total 1 A relação entre a frequência de ressonância f de um circuito LC sua indutância L e sua capacitância C é dada por f 1 2πLC Calcule aproximadamente o máximo erro possível no cálculo de f se as medidas de indutância e capacitância forem sujeitas a erros máximos de 1 e 2 Determine também o erro relativo possível e o erro percentual aproximado 2 Uma indústria vai produzir 10000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3cm 4cm e 5cm O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por cm² Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de 005cm em cada dimensão encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão 3 Duas resistências elétricas R₁ e R₂ estão conectadas em paralelo ou seja a resistência equivalente Req é dada pela equação 1Req 1R₁ 1R₂ Suponha que R₁ 30 ohms e R₂ 50 ohms e essas medidas tem possíveis erros de 003 ohms e 005 ohms respectivamente Encontre aproximadamente o máximo erro no cálculo de Req Encontre também o erro percentual aproximado 4 A carga de ruptura W de uma viga em balanço é dada pela fórmula W L K B D² Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Matemática Estatística 16092024 Exercícios Propostos Gerais da Unidade II Unidade II Atividade V Derivadas Parciais 1 Se fxyz arc tg y k 2x ln x² 2x 1 x² 3x² 7y z² x² y³ a Use a definição para calcular f z b Calcular f z 12 0 12 2 Use a definição para calcular f y se fxy x 2y x² y 3 Nos itens a até e encontre as derivadas parciais indicadas a z eyz ln x² y z x e z y b z ln sen x a y z y c z tgy kx sec²y kx z x e z y d fxyz exyz arc tg 3xy z² f x e f z e fxyz exy snh2z exycosh2z f x 4 Nos itens de a até c mostre que a Se z lnx² y² então x z x y z y 1 b Sendo PV nRT n constante então P T T V V P 1 c Se u Axn Byn Cx² Dy² então x u x y u y n 2 u Respostas 1a f z z x² y³ 3x² 7y z² 1b f z 12 0 12 2 2 f y 2x² x x² y² 3a z x eyxx 2 yx ln yx z y eyx 1x ln x²y 1y 3b z y x a2y³ cotg x ay 3c z x k sec²y kx1 2 tgy kx z x sec²y kx1 2 tgy kx 3d f x y z exyz 3yz² z⁴ 9x²y² f z x y exyz 6xyz z⁴ 9x²y² 3e f x y exysenh2z cosh2z Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais 1 Encontre a inclinação da reta tangente à curva que é interseção do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 sendo a b e c 0 com o plano x a2 no ponto em que y b2 e z é positivo 2 Encontre a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície 3x² 9y² 4z² 36 0 com o plano x 1 no ponto 1 123 3 Encontre a inclinação da reta tangente à curva que é interseção do paraboloide de duas seções x²a² y²b² z²c² 1 com o plano y 2b no ponto em que x 3a e z é positivo sendo que B e a largura L o comprimento D a profundidade e K uma constante que depende do material da viga Se o comprimento for aumentado de 1 e a largura de 5 de quanto a profundidade devera ser aproximadamente alterada para manter inalterada a carga de ruptura Respostas 1 0 015 f 0 015 1 5 2 R 1200000 3 0 01875 4 A profundidade devera se diminuıda de 2 Derivacao de Funcoes Implıcitas 1 Suponha que cada uma das equacoes abaixo defina z como uma funcao de x e y Encontre z x e z y Dados a z eyz 2xexz 4exy 3 b z x2 y2 senxz c y exyz cos3xz 5 2 Suponha que a equacao ln yx x sen23xz x 1yz 2x2 Defina z como uma funcao de x e y Calcule z x1 e 0 Respostas 1 a z x 2exz1 xz 4yexy eyz1 yz 2x2exz z y z2eyz 4xexy eyz1 yz 2x2exz 1 b z x 2x senxz zx2 y2 cosxz 1 zx2 y2 cosxz z y 2y senxz 1 xx2 y2 cosxz 1 c z x z x z y 1 xyz 3xy tgxyz xyz 2 4 e ln 2 Derivadas Parciais Sucessivas Nos exercıcios de 1 a 4 encontre as derivadas parciais indicadas 2f x2 2f y2 2f xy e 2f yx 1 Para fx y x2 y y x2 2 Para fx y e2x sen y 3 Para fxy exy ln yx 4 Para fxy x2 y2 cdot arc tg yx 5 Encontre as derivadas parciais partial3 f partial x2 partial z e partial3 f partial x partial y partial z para fxyz arc tg 3xyz 6 Se z x2 cdot arc tg yx y2 cdot arc tg xy mostre que partial2 z partial x partial y x2 y2 x2 y2 7 Determinar a relação que deve existir entre a e b para que a função z eaxby satisfaça a equação partial2 z partial x2 9 partial2 z partial y2 Respostas 1 partial2 f partial x2 2y 6yx4 partial2 f partial y2 2x2 y3 partial2 f partial x partial y partial2 f partial y partial x 2xy2 2x3 2 partial2 f partial x2 4 e2x sen y partial2 f partial y2 e2x sen y partial2 f partial x partial y partial2 f partial y partial x 2 e2x cos y 3 partial2 f partial x2 1y2 exy 1x2 partial2 f partial y2 x2 y4 exy 1y2 partial2 f partial x partial y partial2 f partial y partial x exy y2 1 xy 4 partial2 f partial x2 2arc tg yx 2xy x2 y2 partial2 f partial y2 2arc tg yx 2xy x2 y2 partial2 f partial x partial y partial2 f partial y partial x x2 y2 x2 y2 7 a 3b Regra da Cadeia Nos exercícios de 1 a 5 encontre a derivada indicada pelos dois métodos a Use a regra da cadeia e depois faça a substituição b Faça a substituição de x e y antes de diferenciar 1 u 3x2 xy 2y2 3x y x 2r 3s y r s Encontrar partial upartial r e partial upartial s 2 u x2 y2 x cos r cdot cos t y sen r cdot sen t Encontrar partial upartial r e partial upartial t 3 u y cdot lnx2 y2 x 2s 3t e y 3t 2s Encontrar partial upartial s e partial upartial t 4 u e2xy cdot cos2y x x 2s2 t2 e y s2 2t2 Encontrar partial upartial s e partial upartial t 5 u x2 y2 z2 x r sen phi cos heta y r sen phi sen heta e z r cos phi Encontrar partial upartial r partial upartial phi e partial upartial heta 6 Sendo z x2 y2 xy x 2r s e y r 2s Encontrar 3 partial zpartial r 4 partial zpartial s 7 Se w 1gamma em que gamma sqrtx2 y2 z2 mostre que partial wpartial x2 partial wpartial y2 partial wpartial z2 1gamma4 8 Suponha que u seja uma função diferenciável de x e y e que x r cos heta e y r sen heta Mostre que partial upartial x2 1r2 partial upartial heta2 partial upartial x2 partial upartial y2 Nos exercícios de 9 a 12 encontre a derivada total dudt pelos dois métodos a Use a Regra da Cadeia b Faça a substituição de x e y antes de diferenciar 9 u yex xey x cos t y sen t 10 u lnxy y2 x et y et 11 u exy x t2 y 2t3 1 12 u x2 y3 x 1t y 1t2 13 Se f é uma função diferenciável da variável u tome u bx ay e mostre que z fbx ay satisfaz a equação a partial zpartial x b partial zpartial y 0 14 Calcule dudt se u x2 2xy y2 x t cos t e x t sen t e expresse o resultado final em função de t a partial zpartial x b partial zpartial y 0 15 Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de 1 cmseg e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de 5 mmseg Encontre a A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo no dado instante b A razão de variação da área do triângulo retângulo no dado instante c A razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 6 cm no dado instante Respostas 1 partial upartial r 2yr 41s 5 partial upartial s 41r 44s 10 2 partial upartial r sen2r cdot cos2t partial upartial t sen2t cdot cos2r 3 partial upartial s 4s6t 4s 4s2 9t2 2 ln8s2 18t2 partial upartial t 18t3t 2s 4s2 9t2 3 ln8s2 18t2 4 partial upartial s 10s cdot e5s2 cdot cos5t2 partial upartial t 10t cdot e5s2 cdot sen5t2 5 partial upartial r 2r partial upartial phi 0 partial upartial heta 0 6 30r 15s 9 ecos t cdot cos t sen2 t esen t cdot cos2 t sen t 10 2 cdot e2t 11 2t cdot e2t3 t2 1 cdot 1 3t 12 8t9 7t8 14 2t cdot 1 sen2t t cdot cos2t 15 a 02 cmseg 15 b 25 cm2seg 15 c 011 radseg Derivada Direcional e Gradiente de Funções de Várias Variáveis 1 Nos exercícios de I a III encontre o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção de vecU I gxy y2 cdot tg2 x vecU sqrt32 hati 12 hatj P0 pi32 II hx y z cosxy senyz U 13 î 23 ĵ 23 k P0 2 0 3 III fx y e3x cos3y U cosπ12 î senπ12 ĵ P0 π12 0 2 Nos exercícios de I e II dado f um ponto P e um vetor unitário U encontre a O gradiente de f em P b A razão de variação do valor de f na direção de U em P I fx y x² 4y U cosπ3 î senπ3 ĵ P 2 2 II fx y z y² x² 4xz U 27 î 67 ĵ 37 k P 2 1 3 3 Nos exercícios de I e II determine a derivada direcional DUf no ponto P onde U é um vetor unitário na direção PQ Além disso calcule DUf em P quando U for um vetor unitário que maximiza a derivada direcional de f naquele ponto I fx y ex arc tg y P0 1 Q3 5 II fx y z x 2y z² P3 1 2 Q10 7 4 4 Calcule a derivada direcional da função fx y x² senxy no ponto 1 π2 e na direção a do eixo x b do vetor 2 î ĵ c em que ela é máxima 5 O potencial elétrico em qualquer ponto x y no plano xy é V volts e V x y e2x cos2y A distância medida em metros a Encontre a razão de variação do potencial no ponto 0 π4 na direção do vetor unitário U cosπ6 î senπ6 ĵ b Encontre a direção vetor unitário e a magnitude da razão de variação máxima de V em 0 π4 Respostas 1 I 42 1 II 2 1 III 28977eπ4 2 I a 4î 4ĵ 2 I b 2 23 2 II a 12î 2ĵ 14k 2 IIb 67 3 I3π 8 20 π2 4 4 3 II29 11 21 4 a 2 4 b 4 5 5 4 c 2 5 a 1 5 b ˆ 2