Lista - Propriedades Espaço Vetorial - 2023-2

Universidade Federal de Mato Grosso Curso: Engenharia de Minas Disciplina: Álgebra Linear Professor: Anderson M. Setti 8ª Lista de Exercícios - Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial A lista de exercícios foi retirada da lista de EXERCÍCIOS PROPOSTOS, página 53, do livro texto. Exercícios: 1, 3, 4. Referência CALLIOLI, Carlos Alberto; DOMINGUES, Hygino Hugueros; COSTA, Roberto Celso Fabrício. Álgebra Linear e Aplicações. 6. ed. reform. São Paulo: Editora Atual, 1990. 1 ga lista 1 a) 2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 3C = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} 2A + B - 3C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0-3 & 2+1-6 \\ 0+2-3 & 0+1-0 \\ 0+1-0 & 0+1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} b) \frac{A+X}{2} - \frac{X-B}{3} = C \frac{A}{2} + \frac{X}{2} - \bigg(\frac{X}{3} - \frac{B}{3}\bigg) = C \frac{A}{2} + \frac{X}{2} - \frac{X}{3} + \frac{B}{3} = C \frac{X}{2} - \frac{X}{3} = -\frac{A}{2} - \frac{B}{3} + C 3X - 2X/6 = -\frac{A}{2} - \frac{B}{3} + C X/6 = -\frac{A}{2} - \frac{B}{3} + C X = 6\bigg(-\frac{A}{2} - \frac{B}{3} + C\bigg) = -3A - 2B + 6C 3A = 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 2B = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} 6C = 6 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 6 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} X = -3A - 2B + 6C = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 6 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 -9 + 6 & -3 -2 + 12 \\ -9 -4 + 6 & -0 -2 + 0 \\ -0 -2 + 0 & -0 -2 + (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & -2 \\ -2 & -8 \end{pmatrix} c) A = t_1 B + t_2 C \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = t_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_2 & t_1 + 2t_2 \\ 2t_1 + t_2 & t_2 \\ t_1 & t_1 - t_2 \end{pmatrix} \begin{cases} t_2 = 1\I \ t_1 + 2t_2 = 1\II \ 2t_1 + t_2 = 0\III \ t_2 = 0\IV \ t_1 = 0\V \ t_1 - t_2 = 0\VI \ \end{cases} Veja que as equações I e IV são contraditórias. Portanto, não existem t_1, t_2 \in ℝ tais que A = t_1 B + t_2 C 3) a) \(2 f(t) + 3 g(t) - 4 h(t) = \) \(= 2 (t^3 - 1) + 3 (t^2 + t - 1) - 4 (t + 2) =\) \(= 2 t^3 - 2 + 3 t^2 + 3 t - 3 - 4t - 8 =\) \(= 2 t^3 + 3 t^2 - t - 13\) b) \(f(t) + k g(t) = h(t)\) \( \Rightarrow t^3 - 1 + k (t^2 + t - 1) = t + 2\) \(t^3 - 1 + k t^2 + k t - k = t + 2\) \(t^3 + k t^2 + k t + (-1 - k) = 0 t^3 + 0 t^2 + t + 2\) \{ \) \(1 = 0 \quad \text{I} \) \(k = 0 \quad \text{II} \) \(k = 1 \quad \text{III} \) \(-1 - k = 2 \quad \text{IV} \) \} \(\Rightarrow\) "veja que \(\text{I}\) é ilógico, além de \(\text{II}\) e \(\text{III}\) serem contraditórias." "Assim, não existe \( k ∈ \mathbb{R} \) tal que \( f(t) + k g(t) = h(t) \) c) f(t) = k_2 g(t) + k_2 h(t) veja que f(t) é um polinômio de grau 3, enquanto g(t) é de grau 2 e h(t) de grau 1. Assim, não há como combinar g(t) e h(t) linearmente de forma a resultar em um polinômio de grau 3. Portanto, não existem k_1, k_2 ∈ ℝ tais que f(t) = k_1 g(t) + k h(t) 4) a) \( \frac{x + u}{2} + \frac{v + x}{3} = W \) \( \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{u}{2} + \frac{v}{3} + \frac{x}{3} = W \) \( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = -\frac{u}{2} - \frac{v}{3} + W \) \( \frac{2x + 3x}{6} = -\frac{u}{2} - \frac{v}{3} + W \) \( \frac{5x}{6} = -\frac{u}{2} - \frac{v}{3} + W \) x = \frac{6}{5} ( -\frac{u}{2} - \frac{v}{3} + W ) = \frac{1}{5} ( -3u - 2v + 6W ) = \frac{1}{5} ( -3(1,1) - 2(5,-2) + 6(3,-2) ) = \frac{1}{5} ( -3,-3) + (-6,4) + (18,-12) ) = \frac{1}{5} ( -3 - 6 + 18 , -3 + 4 - 12) = \frac{1}{5} ( 9 , -11) = ( \frac{9}{5} , -\frac{11}{5} )