Slide - Geometria Analítica e Vetorial - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2019 1

Geometria Anal´ıtica e Vetorial ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite IENG - UFMT Junho 2019 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Sum´ario 1 Geometria Anal´ıtica e Vetorial Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Suponha que um objeto desloca no espa¸co em movimento retil´ıneo com velocidade constante v=(a,b,c). A posi¸c˜ao do objeto em cada instante t ´e um ponto P = (x, y, z) da reta. Ent˜ao, as coordenadas x, y, z do ponto P precisam ser obtidas em fun¸c˜ao do tempo, ou seja, x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Para isso, escolhemos um ponto P0 = (x0, y0, z0) da reta como sendo a posi¸c˜ao do objeto correspondente ao tempo t = 0. Assim, x0 = x(0), y0 = y(0) e z0 = z(0). Em seguida, um ponto gen´erico P = (x, y, z) da reta ´e obtido usando o ponto P0 e o vetor velocidade v. Vejamos a ilustra¸c˜ao seguinte: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Note que as coordenadas do ponto P0 est˜ao representadas pelo vetor −−→ OP0, enquanto que as coordenadas do ponto P pelo vetor −→ OP. Agora, pela soma de vetores no triˆangulo OP0P, −→ OP = −−→ OP0 + t v. Essa equa¸c˜ao ´e chamada de equa¸c˜ao vetorial do movimento. Explicitando as componentes dos vetores na equa¸c˜ao, (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co chegamos por compara¸c˜ao `as equa¸c˜oes              x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t Essas equa¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸c˜oes param´etricas do movimento. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Seguindo o mesmo racioc´ınio, se uma reta r no espa¸co passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0) e tem a dire¸c˜ao dada por um vetor v = (a, b, c), ent˜ao qualquer ponto P = (x, y, z) dessa reta satisfaz `a equa¸c˜ao (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) para algum escalar t. Essa ´e a equa¸c˜ao vetorial da reta r. O vetor v ´e chamado de vetor diretor da reta r. A partir dela, obtemos as suas equa¸c˜oes param´etricas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co r :              x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t , t ∈ R. A vari´avel t ´e chamada de parˆametro das equa¸c˜oes. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Observa¸c˜ao Na equa¸c˜ao do movimento se trocarmos o vetor v por um m´ultiplo escalar α v, temos outro movimento porque a velocidade foi alterada. No entanto, os pontos percorridos s˜ao os mesmos, ou seja, o mesmo itiner´ario por´em com velocidades diferentes. Isso significa que, se o objetivo ´e apenas descrever os pontos de uma reta, n˜ao importa se tomamos v ou qualquer um de seus m´ultiplos escalares, o que importa ´e a dire¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 1 A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 1, 1) e tem a dire¸c˜ao do vetor v = (1, 2, 3) tem equa¸c˜oes param´etricas              x = 1 + t y = 1 + 2 t z = 1 + 3 t , t ∈ R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 2 A reta que passa pelo ponto A = (0, −1, −2) e tem a dire¸c˜ao do vetor w = (−1, −2, −3) tem equa¸c˜oes param´etricas              x = − t y = −1 − 2 t z = −2 − 3 t , t ∈ R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Observa¸c˜ao Embora n˜ao pare¸ca, as duas retas dos exemplos anteriores s˜ao as mesmas. Isso porque o ponto A do exemplo 2 ´e um ponto da reta do primeiro exemplo, basta tomar t = −1. Al´em disso, os vetores v e w tˆem a mesma dire¸c˜ao. Em geral, duas retas s˜ao coincidentes se possuem um ponto comum e se seus vetores diretores s˜ao paralelos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 3 Sejam r1 a reta que passa pelo ponto A = (−1, 2, 0) com dire¸c˜ao v1 = (1, 2, 1) e r2 a reta que passa por B = (1, 0, −1) com dire¸c˜ao v2 = (2, 4, 2). Observe que os vetores diretores s˜ao paralelos. As retas ser˜ao coincidentes se o ponto A pertencer a reta r2 (ou se o ponto B pertencer a reta r1). Mostraremos que isso n˜ao acontece. Para isso, tomamos as equa¸c˜oes param´etricas da reta r2: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 3 r2 :              x = 1 + 2 t y = 4 t z = −1 + 2 t , t ∈ R. O ponto A pertence `a reta r2 se existe um ´unico valor de t tal que x = −1, y = 2 e z = 0. Substituindo esses valores nas equa¸c˜oes param´etricas, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 3              −1 = 1 + 2 t 2 = 4 t 0 = −1 + 2 t implica que t = −1 na primeira e t = 1 2 na segunda e terceira equa¸c˜oes. Portanto, o ponto A n˜ao pertence a reta r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 3 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 3 Dizemos nesse caso que as retas r1 e r2 s˜ao paralelas, mas n˜ao coincidentes. Assim, para que duas retas sejam paralelas basta que tenham vetores diretores paralelos. Segue a defini¸c˜ao: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Defini¸c˜ao Duas retas r1 e r2 s˜ao ditas paralelas quando seus vetores diretores s˜ao paralelos. Al´em disso, elas s˜ao coincidentes se tiveram um ponto em comum, caso contr´ario, s˜ao paralelas distintas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 Sejam r1 a reta que passa pelo ponto A = (1, −1, 2) com dire¸c˜ao v1 = (−1, 2, −1) e r2 a reta que passa pelo ponto B = (1, −2, 2) com dire¸c˜ao v2 = (1, −1, 1). ´E f´acil concluir que elas n˜ao s˜ao paralelas pois os vetores diretores n˜ao o s˜ao. No entanto, vamos mostrar que as duas possuem um ponto em comum. Para isso, tomamos parametriza¸c˜oes para as duas retas: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 r1 :              x = 1 − t y = −1 + 2 t z = 2 − t t ∈ R e r2 :              x = 1 + s y = −2 − s z = 2 + s s ∈ R Por que tomamos parˆametros diferentes? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 A raz˜ao ´e a seguinte: podemos pensar que cada uma das retas ´e a equa¸c˜ao do movimento de um objeto. O primeiro passando no ponto A com velocidade v1 e o segundo no ponto B com velocidade v2. Se ambos passam por um mesmo ponto P, pode acontecer de um deles passar primeiro, ou seja, n˜ao h´a colis˜ao dos objetos, embora haja interse¸c˜ao das trajet´orias. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 Voltando `as equa¸c˜oes param´etricas, comparamos as equa¸c˜oes correspondentes. Assim,              1 − t = 1 + s −1 + 2 t = −2 − s 2 − t = 2 + s Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 Que implica em        s + t = 0 s + 2 t = −1 cuja solu¸c˜ao ´e s = 1 e t = −1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 Para determinar o ponto de interse¸c˜ao, substituimos t = −1 nas equa¸c˜oes de r1 ou s = 1 nas equa¸c˜oes de r2. Portanto, o ponto em comum das duas retas ´e P = (2, −3, 3). Neste caso, dizemos que as retas s˜ao concorrentes e que elas concorrem ou se intersectam no ponto P. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 4 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 5 Considere as retas r1 passando pelo ponto A = (3, 2, 3) com dire¸c˜ao dada por v1 = (3, 2, 0) e r2 passando por B = (2, −3, 0) com dire¸c˜ao v2 = (−2, 3, 0). Como no exemplo anterior, estas duas retas n˜ao s˜ao paralelas. Vamos mostrar que tampouco concorrem (ou intersectam) em algum ponto. Para isso, tamb´em como no exemplo anterior, tomamos as equa¸c˜oes param´etricas das duas retas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 5 r1 :              x = 3 + 3 t y = 2 + 2 t z = 3 t ∈ R e r2 :              x = 2 − 2 s y = −3 + 3 s z = 0 s ∈ R Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 5 Comparando as equa¸c˜oes correspondentes chegamos a conclus˜ao que a ´ultima equa¸c˜ao ´e imposs´ıvel de ser simultaneamente satisfeita `a ambas. Portanto, n˜ao h´a ponto de interse¸c˜ao entre as duas retas. Neste caso, dizemos que as retas s˜ao reversas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exemplo 5 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Conclus˜ao Dadas duas retas no espa¸co, apenas uma das trˆes possibilidades ocorre sobre a posi¸c˜ao relativa entre elas: Elas s˜ao paralelas, podendo ser coincidentes; Elas s˜ao concorrentes em um ´unico ponto; Elas s˜ao reversas, ou seja, n˜ao s˜ao concorrentes nem paralelas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Seja r uma reta que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0) e tem dire¸c˜ao dada por um vetor v = (a, b, c) com nenhuma componente nula, ent˜ao isolando o parˆametro t em cada uma das suas equa¸c˜oes param´etricas r :              x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t obtemos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co r : x − x0 a = y − y0 b = z − z0 c Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸c˜oes na forma sim´etrica da reta r. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio 1 Determine equa¸c˜oes gen´ericas para retas que s˜ao paralelas `a: (a) Ao plano coordenado xy. (b) Ao plano coordenado yz. (c) Ao plano coordenado xz. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio 2 Determine equa¸c˜oes gen´ericas para retas que s˜ao paralelas `a: (a) Ao eixo x. (b) Ao eixo y. (c) Ao eixo z. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio 3 Verifique se as retas r1 : (x, y, z) = (9t, 1 + 6t, −2 + 3t) e r2 : (x, y, z) = (1 + 2t, 3 + t, 1) se intersectam e em caso afirmativo determine a interse¸c˜ao. Obs.: a quest˜ao ´e se as trajet´orias se cortam e n˜ao se as part´ıculas se chocam, ou seja, elas n˜ao precisam estar num ponto no mesmo instante. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio 4 Sejam r1 e r2 retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (−3, 1, −4) e D = (−1, 2, −7), respectivamente. Obtenha uma equa¸c˜ao da reta concorrente com r1 e r2 e paralela ao vetor v = (1, −5, −1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Defini¸c˜ao: ˆAngulo Entre Retas Concorrentes Se duas retas r1 e r2 se intersectam, ent˜ao elas determinam quatro ˆangulos, dois a dois opostos pelo v´ertice. O ˆangulo entre elas ´e definido como sendo o menor destes ˆangulos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Defini¸c˜ao: ˆAngulo Entre Retas Reversas Se as retas r1 e r2 s˜ao reversas, ent˜ao por um ponto P de r1 passa um reta r′ 2 que ´e paralela a r2. O ˆangulo entre r1 e r2 ´e definido como sendo o ˆangulo entre r1 e r′ 2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo ˆAngulo Entre Retas Paralelas Se as retas s˜ao paralelas o ˆangulo entre elas ´e igual a zero. Em qualquer dos casos, se v1 e v2 s˜ao vetores paralelos a r1 e r2 respectivamente (os respectivos diretores de r1 e r2), ent˜ao o cosseno do ˆangulo entre elas ´e cos(r1, r2) = | cos θ| = |v1 • v2| ||v1|| ||v2|| onde θ ´e o ˆangulo entre v1 e v2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Teorema 1 Se r1 e r2 s˜ao retas com vetores diretores v1 e v2, respectivamente, ent˜ao o cosseno do ˆangulo entre as duas retas ´e igual a cos(r1, r2) = |v1 • v2| ||v1|| ||v2|| Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Defini¸c˜ao: Retas Ortogonais e Perpendiculares Duas retas r1 e r2 s˜ao ortogonais, se os seus vetores diretores s˜ao ortogonais, ou seja, se v1 • v2 = 0 onde v1 e v2 s˜ao vetores diretores das retas r1 e r2, respectivamente. Al´em disso, se as retas r1 e r2 s˜ao ortogonais e concorrentes, ent˜ao dizemos que elas s˜ao perpendiculares. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Exemplo Sejam r1 a reta que passa pelo ponto A = (1, −1, 2) com dire¸c˜ao v1 = (−1, 2, −1) e r2 a reta que passa pelo ponto B = (1, −2, 2) com dire¸c˜ao v2 = (1, −1, 1). Determine o ˆangulo entre as retas r1 e r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Exerc´ıcio Considere as retas r1 passando pelo ponto A = (3, 2, 3) com dire¸c˜ao dada por v1 = (3, 2, 0) e r2 passando por B = (2, −3, 0) com dire¸c˜ao v2 = (−2, 3, 0). Determine o ˆangulo entre as retas r1 e r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio Achar as equa¸c˜oes da reta que intersecta as retas r1 e r2 e ´e perpendicular a ambas. (a) r1 :              x = 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t t ∈ R e r2 : x + 1 = y − 1 2 = z + 2 3 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co Exerc´ıcio (b) r1 :              x = −1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t t ∈ R e r2 : x = y − 4 2 = z − 3 3 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Defini¸c˜ao: Distˆancia de Ponto `a Reta Sejam P0 um ponto qualquer e r uma reta. A distˆancia de P0 a r ´e definida como a distˆancia de P0 ao ponto de r que est´a mais pr´oximo de P0. Escolhido um ponto qualquer P1 de r podemos decompor o vetor −−−→ P1P0 em duas parcelas, uma na dire¸c˜ao do vetor diretor v de r e outra perpendicular a ele. A componente na dire¸c˜ao do vetor v ´e a proje¸c˜ao ortogonal de −−−→ P1P0 em v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica (erty nt ag AU] ido MLK gr] Retas No Plano e No Espaco: Distancia Pela figura, temos a relacado ; 2 woe op’ l|? (dist(Po. r))° = ||Pi Poll? — ||proj Pi Po| Apos desenvolver o lado direito chegamos a equacao — ||PiPo x v| dist(Po, r) = ~————.. [Iv | Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Teorema 2 Sejam P0 um ponto qualquer e r uma reta. A distˆancia de P0 a r ´e dada pela equa¸c˜ao dist(P0, r) = ||−−−→ P1P0 × v|| ||v|| onde P1 ´e um ponto da reta escolhido aleatoriamente e v um vetor diretor. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: ˆAngulo Exemplo Calcular a distˆancia do ponto P0 = (1, −1, 2) `a reta r :              x = 1 + 2 t y = − t z = 2 − 3 t , t ∈ R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Defini¸c˜ao: Distˆancia Entre Retas Sejam r1 e r2 duas retas quaisquer. A distˆancia entre r1 e r2, denotada por dist(r1, r2), ´e definida como a menor distˆancia entre dois pontos, um de r1 e outro de r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Temos trˆes casos a considerar: Se r1 e r2 s˜ao concorrentes, ent˜ao dist(r1, r2) = 0. Se r1 e r2 s˜ao paralelos, ent˜ao dist(r1, r2) = dist(P1, r2) onde P1 ´e um ponto qualquer da reta r1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Isto ´e, a distˆancia, neste caso, ´e igual a distˆancia entre um ponto P1 da reta r1 e a reta r2 (ou equivalentemente, entre um ponto P2 da reta r2 e a reta r1). Assim, dist(r1, r2) = ||−−−→ P1P2 × v2|| ||v2|| onde P1 ´e um ponto qualquer da reta r1, P2 um ponto qualquer da reta r2 e v2 um vetor diretor de r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Se as retas r1 e r2 s˜ao reversas, ent˜ao os vetores v1, v2 e −−−→ P1P2 n˜ao s˜ao coplanares e determinam um paralelep´ıpedo cuja altura ´e igual `a distˆancia dist(r1, r2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica (erty nt ag AU] ido MLK gr] Retas No Plano e No Espaco: Distancia Portanto, a distancia é igual a —> (vs x V2) e P,P,| dist(r, 2) = ——_——_——___ ||vi x va]| Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Teorema 3 Sejam r1 uma reta com dire¸c˜ao v1 e r2 uma reta com dire¸c˜ao v2. A distˆancia de r1 e r2 ´e dada por (a) Se r1 e r2 s˜ao paralelas: dist(r1, r2) = ||−−−→ P1P2 × v2|| ||v2|| onde P1 ´e um ponto de r1 e P2 ´e um ponto de r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Se ry € f Sao reversas Ou Concorrentes: ——> (vi x V2) e P,P, dist(1, 2) = ———_____- Ilv1 x val| onde P; é um ponto de rn e Po 6 um ponto de fn. Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exemplo Sejam r1 e r2 retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (−3, 1, −4) e D = (−1, 2, −7). Determine a distˆancia entre elas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exemplo Considere as retas r1 passando pelo ponto A = (3, 2, 3) com dire¸c˜ao dada por v1 = (3, 2, 0) e r2 passando por B = (2, −3, 0) com dire¸c˜ao v2 = (−2, 3, 0). Determine a distˆancia entre elas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exerc´ıcio Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, −2, 3) e que formam ˆangulos de 45◦ e 60◦ com os eixos x e y respectivamente. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exerc´ıcio Obtenha os v´ertices B e C do triˆangulo equil´atero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC est´a contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1, −1). (Sugest˜ao: Determine os pontos Pr da reta r tais que −−→ Pr A faz ˆangulo de 60◦ e 120◦ com o vetor diretor da reta r). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exerc´ıcio Sejam r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta x − 2 = y − 3 2 = z − 4 3 . (a) Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta que ´e simultaneamente perpendicular a r1 e r2. (b) Calcule a distˆancia entre as retas r1 e r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exerc´ıcio Dados o ponto A = (0, 2, 1) e a reta r : (x, y, z) = (0, 2, −2) + t(1, −1, 2), ache os pontos de r que distam √ 3 de A. A distˆancia do ponto A `a reta r ´e maior, menor ou igual a √ 3? Por quˆe? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas No Plano e No Espa¸co: Distˆancia Exerc´ıcio Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Sabemos que a equa¸c˜ao geral de uma reta no plano ´e do tipo a x + b y + c = 0 onde a, b e c s˜ao constantes. Qual ´e a interpreta¸c˜ao das constantes a, b e c? Vejamos: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Sejam N = (a, b) um vetor e P0 = (x0, y0) um ponto, ambos no plano. Se P = (x, y) ´e um ponto tal que −−→ P0P ´e ortogonal a N, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral ent˜ao se tomarmos todos os pontos P com tal propriedade, obteremos uma reta com dire¸c˜ao ortogonal ao vetor N. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica (erty nt ag AU] ido MLK gr] Planos: Equacao Geral Vejamos, agora, como é a equacao que determina os pontos P com essa propriedade. Ne PoP = 0 (a, b) @ (x — x0, y — Yo) = 0 a(x—xo) + b(y-yo) = 0 ax + by + (—axo — by) = 0 n—[/-_——_—“—_" Cc ax+by+c = 0. Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Portanto, a equa¸c˜ao geral da reta no plano que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem dire¸c˜ao ortogonal ao vetor N = (a, b) ´e igual a a x + b y + c = 0 onde c = −a x0 − b y0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Observa¸c˜ao Note que a equa¸c˜ao geral da reta no plano est´a relacionada com um vetor N que aponta na dire¸c˜ao ortogonal a ela. O vetor N ´e chamado de vetor normal `a reta. Por outro lado, um vetor V que aponta na dire¸c˜ao da reta, chamado de vetor diretor, est´a relacionado `as equa¸c˜oes param´etricas da reta (completamente semelhante `aquelas da reta no espa¸co). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Defini¸c˜ao Definimos um plano no espa¸co como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x, y, z) que satisfaz uma equa¸c˜ao do tipo a x + b y + c z + d = 0 onde a, b, c e d s˜ao constantes. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral An´alogo ao que fizemos para reta no plano, fixamos um vetor N = (a, b, c), que chamamos de vetor normal do plano, e um ponto P0 = (x0, y0, z0). Em seguida, tomamos o conjunto de todos os pontos P = (x, y, z) do espa¸co tais que o vetor −−→ P0P ´e ortogonal ao vetor N, ou seja, N • −−→ P0P = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica (erty nt ag AU] ido MLK gr] Planos: Equacao Geral Desenvolvendo a equacao, obtemos Ne PoP = 0 (a, b,c) e (x — x0, Y — yo, Z — 20) = 0 a(x—xo) + b(y—yo) + c(z-a) = 0 ax + by + cz + (—axo — byo — cz) = 0 ee SS d ax+by+cz+d = 0. Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Portanto, o conjunto dos tais pontos ´e tal que as suas coordenadas x, y, z satisfazem a equa¸c˜ao a x + b y + c z + d = 0 em que d = −a x0 − b y0 − c z0. Em particular, as coordenadas do ponto P0 = (x0, y0, z0) satisfazem a equa¸c˜ao. Assim, P0 faz parte do conjunto. Sendo assim, conclu´ımos que: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral O plano de equa¸c˜ao geral a x + b y + c z + d = 0 ´e o plano que passa por P0 = (x0, y0, z0) e tem vetor normal N = (a, b, c) em que d = −a x0 − b y0 − c z0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exemplo Determine a equa¸c˜ao geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 3) e tem vetor normal N = (1, 1, 1). A equa¸c˜ao geral do plano ´e igual a x + y + z + d = 0. Substituindo as coordenadas do ponto P0 na equa¸c˜ao, obtemos 1 + 2 + 3 + d = 0, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exemplo donde conclu´ımos que d = −6. Assim, a equa¸c˜ao geral do plano ´e igual a x + y + z − 6 = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Parte do Plano no Primeiro octante: x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio Encontre a equa¸c˜ao geral do plano π que passa pelo ponto P0 = (1, −2, −2) e ´e perpendicular ao vetor N = (2, −1, 2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio Determine a equa¸c˜ao geral gen´erica para um plano que ´e paralelo `a: (a) Ao plano coordenado xy. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio (b) Ao plano coordenado yz. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio (c) Ao plano coordenado xz. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio (d) Ao eixo x. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio (e) Ao eixo y. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜ao Geral Exerc´ıcio (f) Ao eixo z. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Al´em da equa¸c˜ao geral do plano podemos tamb´em caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma: Considere um plano π, um ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a π e dois vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) n˜ao paralelos entre si, mas ambos paralelos a π. Ent˜ao, Um ponto P = (x, y, z) pertence a π se, e somente se, o vetor −−→ P0P for coplanar com v e w. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Isso significa que o paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −−→ P0P, v e w tem volume zero. Mas, esse volume ´e igual ao determinante da matriz 3 × 3 formada pelas componentes desses trˆes vetores distribu´ıdos em linha ou coluna. Como esta ´e a matriz da equa¸c˜ao vetorial α −−→ P0P + β v + γ w = 0, equivalente a um sistema linear homogˆeneo, existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para a equa¸c˜ao. Ent˜ao, existem escalares s e t tais que Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas −−→ P0P = t v + s w. Explicitando as componentes dos vetores da equa¸c˜ao, temos (x − x0, y − y0, z − z0) = t (v1, v2, v3) + s (w1, w2, w3). Por compara¸c˜ao das componentes dos dois lados da equa¸c˜ao, chegamos `as trˆes equa¸c˜oes seguintes: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas                x = x0 + t v1 + s w1 y = y0 + t v2 + s w2 z = z0 + t v3 + s w3 Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadas equa¸c˜oes param´etricas do plano π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas exemplo Vamos encontrar as equa¸c˜oes param´etricas do plano π que passa pelo ponto P0 = (1, −2, −2) e ´e paralelo aos vetores v = (1, 4, 1) e w = (0, 2, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exemplo Seja π o plano que passa pelos pontos n˜ao colineares A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, −1, 1). Determine: (a) As equa¸c˜oes param´etricas do plano π. (b) A equa¸c˜ao geral do plano π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Posi¸c˜oes Relativas Entre Planos Dados dois planos π1 e π2, temos duas possibilidades para a posi¸c˜ao entre eles: Os planos s˜ao paralelos quando seus vetores normais s˜ao paralelos. Al´em disso, s˜ao coincidentes se tˆem um ponto em comum. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Posi¸c˜oes Relativas Entre Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Posi¸c˜oes Relativas Entre Planos Os planos n˜ao s˜ao paralelos. Isto ´e, eles s˜ao concorrentes. Isso significa que seus vetores normais n˜ao s˜ao paralelos. Neste caso, dizemos tamb´em que eles s˜ao transversais ou secantes. Sendo assim, eles se intersectam ao longo de uma reta. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Posi¸c˜oes Relativas Entre Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exemplo Verifique se os planos π1 : 2 x + y + 4 z − 4 = 0 π2 : 2 x − y + 2 z = 0 s˜ao paralelos ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine as equa¸c˜oes da reta que ´e a interse¸c˜ao dos dois planos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? (a) x + 2 y − 3 z − 4 = 0 e x − 4 y + 2 z + 1 = 0; (b) 2 x − y + 4 z + 3 = 0 e 4 x − 2 y + 8 z = 0; (c) x − y = 0 e x + z = 0. Para os pares que se intersectam, determine as equa¸c˜oes da reta. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Dadas as retas r1 : x − 2 2 = y 2 = z r2 : x − 2 = y = z obtenha uma equa¸c˜ao geral para o plano determinado por r1 e r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Considere as retas (x, y, z) = t (1, 2, −3) (x, y, z) = (0, 1, 2) + s (2, 4, −6) Encontre a equa¸c˜ao geral do plano que cont´em estas duas retas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Dados P = (4, 1, −1) um ponto e r :(x, y, z)=(2 + t, 4 − t, 1 + 2t) uma reta, (a) Mostre que P /∈ r; (b) Obtenha uma equa¸c˜ao geral do plano determinado por r e P. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Ache a equa¸c˜ao do plano que ´e paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 e que passa pelo ponto P = (1, −2, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Seja π um plano e r uma reta no espa¸co. Ent˜ao: A reta r ´e paralela ao plano π se, e somente se, seu vetor diretor ´e ortogonal ao vetor normal do plano. Em particular, a reta est´a contida no plano se h´a um ponto em comum entre eles. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Se o vetor diretor da reta r n˜ao ´e ortogonal ao vetor normal do plano π, ent˜ao a reta intersecta o plano em um ´unico ponto. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Dizemos que a reta r ´e perpendicular ao plano π se o seu vetor diretor ´e paralelo ao vetor normal do plano. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Com Retas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio Considere o plano π : 2 x + 2 y − z = 0. (a) Determine as retas r1, interse¸c˜ao do plano π com o plano yz, r2, interse¸c˜ao do plano π com o plano xz e r3, interse¸c˜ao do plano π com o plano z = 2. Desenhe um esbo¸co do plano π mostrando as retas r1, r2 e r3. (b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π, os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Equa¸c˜oes Param´etricas Exerc´ıcio (Sugest˜ao: este volume ´e igual a 1/6 do volume do paralelep´ıpedo determinado por −→ OA, −→ OB e −→ OC, em que O = (0, 0, 0), A ´e o ponto interse¸c˜ao do eixo z com o plano z = 2, B ´e a interse¸c˜ao das retas r1 e r3 e C ´e a interse¸c˜ao das retas r2 e r3.) (c) Determine a ´area da face do tetraedro contida no plano π. (d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Exercicio (d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano T. (Sugestdo: a reta ortogonal ao plano 7 que passa pelo ponto A intercepta o plano 7 num ponto P de forma que a altura procurada é igual a ||A?||). Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Sejam π1, π2 e π3 trˆes planos com equa¸c˜oes gerais a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z = b3 respectivamente. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos A interse¸c˜ao dos trˆes planos ´e algebricamente determinada pela solu¸c˜ao do sistema linear:              a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z = b3 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Temos trˆes possibilidades para a solu¸c˜ao do sistema: Solu¸c˜ao ´unica: quando a forma escalonada da matriz ´e do tipo   1 a12 a13 | b1 0 1 ⋆ | ⋆ 0 0 1 | ⋆   Significa que o terceiro plano ´e transversal `a interse¸c˜ao dos outros dois. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Infinitas Solu¸c˜oes (A solu¸c˜ao ´e um plano): Quando a forma escalonada da matriz ´e do tipo   1 ⋆ ⋆ | ⋆ 0 0 0 | 0 0 0 0 | 0   Significa que os trˆes planos s˜ao coincidentes. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Infinitas Solu¸c˜oes (A solu¸c˜ao ´e uma reta): Quando a forma escalonada da matriz ´e do tipo   1 ⋆ ⋆ | ⋆ 0 1 ⋆ | ⋆ 0 0 0 | 0   Significa que: Dois planos s˜ao coincidentes e o terceiro ´e transversal `a estes, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Ou que dois deles se intersectam segundo uma reta e o terceiro cont´em a interse¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Exerc´ıcio Escreva todas as formas escalonadas da matriz para o caso de n˜ao haver nenhuma solu¸c˜ao para o sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: ˆAngulo Entre Planos Defini¸c˜ao Sejam π1 e π2 dois planos com vetores normais N1 e N2, respectivamente. O ˆangulo entre π1 e π2, denotado por cos(π1, π2), ´e definido como o ˆangulo entre duas retas perpendiculares a eles. Como toda reta perpendicular a π1 tem N1 como vetor diretor e toda reta perpendicular a π2 tem N2 como vetor diretor, ent˜ao o cosseno do ˆangulo entre eles ´e dado por cos(π1, π2) = |N1 • N2| ||N1|| ||N2|| Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: ˆAngulo Entre Planos Teorema 4 Sejam π1 e π2 dois planos com vetores normais N1 e N2, respectivamente. O ˆangulo entre π1 e π2 ´e dado pela equa¸c˜ao cos(π1, π2) = |N1 • N2| ||N1|| ||N2|| Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Exemplo Calcule o ˆangulo entre os planos π1 : x + y + z = 0 π2 : x − y − z = 0 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Defini¸c˜ao: De Ponto `a Plano Sejam P0 um ponto e π um plano. Definimos a distˆancia do ponto P0 ao plano π, denotada por dist(P0, π), como sendo a menor distˆancia entre P0 e um ponto de π. Seja N o vetor normal do plano π e P1 um ponto do plano. Ent˜ao, a proje¸c˜ao ortogonal do vetor −−−→ P1P0 sobre o normal N tem comprimento igual `a distˆancia de P0 ao plano π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Sejam Po um ponto e z um plano. A distancia de Pp ao plano a é dada por —— [PiPo« N| dist( Po, 7) = ————— [||| em que N é 0 vetor normal de 7 e P, 6 um ponto de 7a escolhido aleatoriamente (isto é, qualquer ponto cujas coordenadas satisfazem a equac¢do de 7). Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Exemplo Calcular a distˆancia entre o ponto P0 = (1, 2, 3) e o plano π : x − 2 y + z − 1 = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Defini¸c˜ao: De Plano `a Plano Sejam dois planos π1 e π2 quaisquer. A distˆancia entre π1 e π2, denotada por dist(π1, π2), ´e definida como sendo a menor distˆancia entre dois pontos, um de π1 e outro de π2. Se os seus vetores normais n˜ao s˜ao paralelos, ent˜ao os planos s˜ao concorrentes e neste caso a distˆancia entre eles ´e igual `a zero. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Se os seus vetores normais s˜ao paralelos, ent˜ao os planos s˜ao paralelos (ou coincidentes) e a distˆancia entre π1 e π2 igual `a distˆancia entre um ponto de um deles, por exemplo P2 de π2, e o ponto de π1, mais pr´oximo de P2. Mas, esta distˆancia ´e igual `a distˆancia de P2 `a π1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Interse¸c˜oes Entre Trˆes Planos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Exemplo Encontrar a distˆancia entre os planos π1 : x + 2 y − 2 z − 3 = 0 e π2 : 2 x + 4 y − 4 z − 7 = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Planos: Distˆancias Defini¸c˜ao: De Reta `a Plano Sejam r uma reta e π um plano. A distˆancia de r `a π, denotada por dist(r, π), ´e definida como sendo a menor distˆancia entre um ponto da reta r e um ponto do plano π. Se r e π s˜ao concorrentes, ent˜ao a distˆancia ´e zero. Caso contr´ario, eles s˜ao paralelos e r est´a contida em um plano π′ que ´e paralelo a π. Assim, a distˆancia entre r e π ´e igual `a distˆancia entre os planos π′ e π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Considere os vetores v =⃗i + 3⃗j + 2⃗k, w = 2⃗i −⃗j + ⃗k e u =⃗i − 2⃗j. Seja π um plano paralelo aos vetores w e u e r uma reta perpendicular ao plano π. Ache a proje¸c˜ao ortogonal do vetor v sobre a reta r, ou seja, a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre o vetor diretor da reta r. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Encontrar o ˆangulo entre o plano 2 x − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e ´e perpendicular ao vetor⃗i − 2⃗j + ⃗k. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e ´e paralelo ao vetor ⃗i + ⃗j. Ache o ˆangulo entre π1 e π2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Seja π o plano que passa pela origem e ´e perpendicular `a reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distˆancia do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes dos pontos A = (1, −1, 2) e B = (4, 3, 1) ´e um plano. Este plano passa pelo ponto m´edio de AB? Ele ´e perpendicular ao segmento AB? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Ache as equa¸c˜oes dos planos que s˜ao perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam √ 3 do ponto (1, 1, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio Determine os planos que cont´em a reta r :      x − 2y + 2z = 0 3x − 5y + 7z = 0 e formam com o plano π1 : x + z = 0 um ˆangulo de 60◦. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio (a) Verifique que a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, −1, 0) ´e paralela ao plano π : x + y + z = 0. (b) Calcule a distˆancia de r a π. (c) Existem retas contidas no plano π que s˜ao reversas `a reta r e distam 2 unidades desta? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio (a) Determine a equa¸c˜ao do plano π1 que passa por A = (10/3, 1, −1), B = (1, 9/2, −1) e C = (1, −1, 5/6). (b) Determine a equa¸c˜ao do plano π2 que passa por D = (−1, 4, −1), E = (3/2, −1, 10) e ´e paralelo ao eixo z. (c) Escreva equa¸c˜oes param´etricas para a reta r interse¸c˜ao dos planos π1 e π2. (d) Fa¸ca um esbo¸co dos planos π1, π2 e da reta r no primeiro octante. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica e Vetorial Retas e Planos Exerc´ıcio (e) Qual o ˆangulo entre os planos π1 e π2? (f) Qual o ponto P de π1 que est´a mais pr´oximo da origem? (Sugest˜ao: este ponto ´e tal que −→ OP ´e ortogonal ao plano π1.) (g) Qual ´e a ´area do triˆangulo ABC? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica