Questões - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2020 2

3.1.19. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases. (Sugestão: mostre que \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}) \) e depois conclua que \( \overrightarrow{MN} \) é um múltiplo escalar de \( \overrightarrow{AB} \) ) 3.1.20. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugestão: Sejam \( M \) e \( N \) os pontos médios das duas diagonais do paralelogramo. Mostre que o vetor \( \overrightarrow{MN} = \vec{0} \), então conclua que \( M = N \) .) 3.1.21. Sejam \( A, B \) e \( C \) pontos quaisquer com \( A \neq B \). Prove que: (a) Um ponto \( X \) pertence a reta determinada por \( A \) e \( B \) se, e somente se, \( \overrightarrow{CX} = \alpha \overrightarrow{CA} + \beta \overrightarrow{CB}, \) com \( \alpha + \beta = 1. \) (b) Um ponto \( X \) pertence ao segmento \( AB \) se, e somente se, \( \overrightarrow{CX} = \alpha \overrightarrow{CA} + \beta \overrightarrow{CB}, \) com \( \alpha \geq 0, \beta \geq 0 \) e \( \alpha + \beta = 1. \) (c) Um ponto \( X \) é um ponto interior ao triângulo \( ABC \) se, e somente se, \( \overrightarrow{CX} = \alpha \overrightarrow{CA} + \beta \overrightarrow{CB}, \) com \( \alpha > 0, \beta > 0 \) e \( \alpha + \beta < 1. \) 3.1.22. Mostre que se \( \alpha \mathbf{v} = \vec{0} \), então \( \alpha = 0 \) ou \( \mathbf{v} = \vec{0}. \) 3.1.23. Se \( \alpha \mathbf{U} = \alpha \mathbf{V} \), então \( \mathbf{U} = \mathbf{V} \)? E se \( \alpha \neq 0 \)? 3.2.1. Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x−y+5z−3=0 e que passa por P=(1,−2,1). 3.2.2. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P=(2,1,0) e é perpendicular aos planos x+2y−3z+2=0 e 2x−y+4z−1=0. 3.2.3. Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(1,0,1) e é perpendicular ao plano y=z. 3.2.4. Dadas as retas r:(x,y,z)=(2+2t,2t,t)e s:(x,y,z)=(2+t,t,t) obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. 3.2.5. Sejam P=(4,1,−1) e r:(x,y,z)=(2,4,1)+t(1,−1,2). (a) Mostre que P∉r; (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P. 3.2.6. Dados os planos π1:x−y+z+1=0 e π2:x+y−z−1=0, determine o plano que contém π1∩π2 e é ortogonal ao vetor (1,1,1). 3.2.7. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? (a) x+2y−3z=0 e x−4y+2z+1=0; (b) 2x−y+4z+3=0 e 4x−2y+8z=0; (c) x−y=0 e x+z=0. 3.2.8. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q=(1,2,1) e é perpendicular ao plano x−y+2z−1=0. 3.2.9. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P=(1,0,1) e é paralela aos planos x+3y+ z+1=0 e x−y+z=0. 3.2.10. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x+y−z=0 e 2x−y+3z−1=0. Ache a equação do plano que passa por A=(1,0,−1) e contém a reta r. 3.2.13. Seja ax+by+cz+d=0 a equação de um plano π que não passa pela origem e corta os três eixos. (a) Determine a interseção de π com os eixos; (b) Se P1=(p1,0,0), P2=(0,p2,0) e P3=(0,0,p3) são as interseções de π com os eixos, a equação de π pode ser posta sob a forma x/p1+y/p2+z/p3=1. 1. Para cada item encontre uma base para o espaço das combinações lineares de ε e estenda-a a uma base do espaço (a) ε={(1,0,1),(0,1,1)}⊂R3. (b) ε={(1,0,0),(2,1,3),(0,1,1)}⊂R3. (c) ε={(1,1,1),(i,i,i)}⊂C3. (d) ε={(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)}⊂R3. 2. Calcule as dimensões dos subespaços W⊂C3 e dê uma base para cada um. (a) W={(x1,x2,x2);x1−x2=0}. (b) W={(x1,x2,x2);x1−x2=0,x2−x3=0}. (c) W={a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,−1,0);a,b,c∈C}. 3. Mostre as afirmações abaixo sobre um espaço vetorial V de dimensão finita. (a) Qualquer vetor não nulo de V é elemento de alguma base. (b) Se ε⊂V é um conjunto finito de geradores, então existe uma base β⊂ε. (c) Se δ⊂V pode ser estendido a uma base então δ é linearmente independente. (d) Se δ⊂V é linearmente independente, então δ está contido numa base. 4.1.16. Sejam V1,…,Vk+1 vetores de Rn tais que {V1,…,Vk} é linearmente independente. Mostre que se Vk+1 não pertence ao subespaço gerado por {V1,…,Vk}, então {V1,…,Vk+1} é linearmente independente. (Sugestão: considere a equação x1V1+…+xk+1Vk+1=0. Se xk+1≠0, então x1=…=xk=0.) 4.1.17. Sejam W1 e W2 dois subespaços. (a) Mostre que W1∩W2 é um subespaço. (b) Mostre que W1∪W2 é um subespaço se, e somente se, W1⊆W2 ou W2⊆W1. (c) Definimos a soma dos subespaços W1 e W2 por W1+W2={V1+V2|V1∈W1 e V2∈W2}. Mostre que W1+W2 é um subespaço que contém W1 e W2. 4.1.18. Seja W um subespaço de Rn. Seja {W1,…,Wk} uma base de W. Seja B=[W1…Wk]^T, com W1,…,Wk escritos como matrizes colunas. Seja W⊥ o espaço solução do sistema homogêneo BX=0, ou seja, W⊥={X∈Rk|BX=0} Seja {V1,…,Vp} uma base de W⊥. Seja A=[V1…Vp ]^T, com V1,…,Vp escritos como matrizes colunas. Mostre que W é o espaço solução do sistema homogêneo AX=0, ou seja, W={X∈Rp|AX=0}. 3. Quais subconjuntos são subespaços do R3? (a) W={(x,y,z);x−y+z=0}. (b) W={(x,y,z);x−y+z=1}. (c) W={(x,y,z);x−y+z=0∧x+y+z=0}. (d) W={a(1,1,0)+b(0,1,1);a,b∈R}. 4. O vetor v=(1,2,3) pertence ao subespaço das combinações lineares do conjunto ε={(i,1,1),(1,2+3i,4)}⊂C3? E o vetor v=(2+i,5+3i,9) pertence? 5. Sejam ε1 e ε2 dois conjuntos não vazios do espaço vetorial V. (a) Mostre que se ε1⊂ε2 então o espaço das combinações lineares de ε1 está contido no espaço das combinações lineares de ε2. (b) Se os espaços das combinações lineares dos dois conjuntos são iguais, necessariamente os conjuntos são iguais? 6. Dados ε1={(1,1,0),(0,1,1)} e ε2={(1,2,1),(1,0,−1),(3,4,1)}, subconjuntos do R3, mostre que os espaços das combinações lineares dos conjuntos são iguais. 2. Quais subconjuntos são linearmente independentes? (a) ε={(1,0,1),(0,1,1)}⊂R3. (b) ε={(1,1,1),(i,i,i)}⊂C3. (c) ε={(1,0,1)}⊂R3. (d) ε={(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)}⊂R3. 3. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Demonstre as afirmações. (a) Se u,v∈V são linearmente dependentes então um é múltiplo do outro. (b) Se ε é um conjunto de geradores de V e λ∈K é um escalar não nulo, então o conjunto λε={λv;v∈ε} é também um conjunto de geradores. (c) Se W1 e W2 são subespaços de V tais que W1∩W2={0}. Então quaisquer dois vetores não nulos v1∈W1 e v2∈W2 são linearmente independentes. (d) Se δ⊂V é linearmente independente, então δ é uma base para o espaço de suas combinações lineares. 4.1.7. Considere os seguintes subespaços de R^3: V = [(-1, 2, 3), (1, 3, 4)] e W = [(1, 2, -1), (0, 1, 1)]. Encontre as equações paramétricas da reta V ∩ W e uma base para o subespaço V ∩ W. A notação [V1, V2] significa o subespaço gerado por V1 e V2, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de V1 e V2. 4.1.8. Seja V = {(3a + 4b - 4c, 2a - 4b - 6c, -2a - 4b + 2c) | a, b, c ∈ R} um subespaço de R^3. (a) Determine um conjunto de geradores para V. (b) Determine uma base para V. 4.1.9. Dados V1 = (-3, 5, 2, 1) e V2 = (1, -2, -1, 2): (a) Os vetores V1 e V2 geram o R^4? Justifique. (b) Sejam V3 e V4 vetores do R^4. Quais as condições sobre V3 e V4 para que {V1, V2, V3, V4} seja uma base de R^4? (c) Encontre vetores V3 e V4 que complete junto com V1 e V2 uma base do R^4. 4.1.11. Seja A uma matriz m × n. Mostre que se o conjunto solução do sistema linear AX = B é um subespaço, então B = 0, ou seja, o sistema linear é homogêneo. (Sugestão: se X é solução de AX = B, então Y = 0 × X também o é.) 4.1.12. Determine uma base para o plano ax + by + cz = 0, se b ≠ 0 e se c ≠ 0. 4.1.13. Sejam V e W vetores do R^n. Mostre que o conjunto dos vetores da forma αV + βW é um subespaço do R^n. 4.1.14. Mostre que se uma reta em R^2 ou em R^3 não passa pela origem, então ela não é um subespaço. (Sugestão: se ela fosse um subespaço, então ...) 4.1.15. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1. Mostre que o conjunto dos vetores B para os quais o sistema AX = B tem solução é um subespaço de R^m. Ou seja, mostre que o conjunto I(A) = {B ∈ R^m | B = AX, para algum X ∈ R^n} é um subespaço de R^m. 4.1.1. Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em que (a) A = [1 0 1 0; 1 2 3 1; 2 1 3 1]; (b) A = [1 1 2 -1; 2 3 6 -2; -2 1 2 2]. 4.1.2. Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λIn)X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: (a) A = [0 0 1; 1 0 -3; 0 1 3]; (b) A = [2 3 2; 0 2 2; 0 0 1; 0 0 1]; (c) A = [1 1 -2; -1 2 1; 0 1 -1]; (d) A = [1 -2 2 0; -1 2 1 0; 0 0 0 1]; (e) A = [2 3 0; 0 1 0; 0 0 2]; (f) A = [2 3 0; 0 0 2; 0 0 2]. 4.1.3. Determine uma base para a reta interseção dos planos x - 7y + 5z = 0 e 3x - y + z = 0. 4.1.4. Sejam V1 = (4, 2, -3), V2 = (2, 1, -2) e V3 = (-2, -1, 0). (a) Mostre que V1, V2 e V3 são L.D. (b) Mostre que V1 e V2 são L.I. (c) Qual a dimensão do subespaço gerado por V1, V2 e V3, ou seja, do conjunto das com- binações lineares de V1, V2 e V3. (d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por V1, V2 e V3 4.1.5. Dados V1 = (2, 1, 3) e V2 = (2, 6, 4): (a) Os vetores V1 e V2 geram o R^3? Justifique. (b) Seja V3 um terceiro vetor do R^3. Quais as condições sobre V3, para que {V1, V2, V3} seja uma base de R^3? (c) Encontre um vetor V3 que complete junto com V1 e V2 uma base do R^3. 4.1.6. Seja W o plano x + 2y + 4z = 0. Obtenha uma base {V1, V2, V3} de R^3 tal que V1 e V2 pertençam a W. 3.3.1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X1 = (4, 2, -3), X2 = (2, 1, -2) e X3 = (-2, -1, 0)? (a) (1, 1, 1); (b) (4, 2, -6); (c) (-2, -1, 1); (d) (-1, 2, 3). 3.3.2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)}; (b) {(1, -2, 3), (-2, 4, -6)}; (c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}; (d) {(4, 2, -1), (6, 5, -5), (2, -1, 3)}. 3.3.3. Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (λ^2 + 2, 2, 0)} é L.D.? 3.3.4. Suponha que S = {X1, X2, X3} é um conjunto linearmente independente de vetores do R^n. Responda se T = {Y1, Y2, Y3} é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos: (a) Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 + X3 e Y3 = X2 + X3; (b) Y1 = X1, Y2 = X1 + X3 e Y3 = X1 + X2 + X3. 3.3.6. Suponha que {X1, X2, ..., Xn} é um conjunto de vetores do R^n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz n × n não singular, então {AX1, AX2, ..., AXn} também é um conjunto linearmente independente. 3.3.7. Se os vetores não nulos U, V e W são L.D., então W é uma combinação linear de U e V? 4. Considere dois vetores (a, b, c) (e, f, h) no plano. Se ad - bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad - bc ≠ 0, mostre que eles são LI. 2. Mostre que os seguintes subgrupos de R^4 são subespaços. Exiba uma base para eles. Qual é a dimensão? b) j = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0} 6. Considere o subespaço de R^4 S = {(1, 0, 1, -2, 4), (1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)} a) O vetor (3/2, -1, -1, 2) pertence a S? b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 18. Considere o subespaço de R^4 gerado pelos vetores v1 = (1, -1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (-2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). a) O vetor (2, 3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique. b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão? c) [v1, v2, v3] = R^4? Por quê? 21. Considere o sistema linear (S) {-2x1 + 4x4 - 6x3 - 14x3 = c x3 } Seja W = {(x1, x2, x3) ∈ R^3: {x2, x2, x3} é solução de (S)}. Isto é, W é o conjunto-solução do sistema. a) Que condições devemos impor a a, b e c para que W seja subespaço ve- torial de R^3? b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para W. c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do siste- ma? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos? 25. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x + y = 0 e z - t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x - y + z - t = 0} subespaços de R^4. a) Determine W1 ∩ W2. b) Exiba uma base para W1 ∩ W2. c) Qual é a dimensão de W1 ∩ W2?