Lista 3 - 2023-1

incógnitas. Logo, o sistema é incompatível. Se K = -1 posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1 \\ 1 & 1 & K \end{array}\right)= 3 \ e, \ posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1\\ 1 & 1 & K \\ \end{array} \right)= 3 O posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e igual ao número de incógnitas. Logo, o sistema é compatível e determinado. Se K = 1 posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1 \\ 1 & 1 & K \\ \end{array} \right)= 1 \ e, \ posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1 \\ 1 & 1 & K \\ \end{array} \right)= 1 O posto da matriz aumentada é igual ao matriz dos coeficientes, mas não é igual ao número de incógnitas. Logo, sistema compatível e indeterminado. Portanto, (i) única solução: K=-1 , ou K \neq 1\ e \ K \neq -2 , ou K \neq -1 \ e \ K \neq 1 (ii) infinitas soluções: K=1 (iii) nenhuma solução: K=-2 ~ \left(\begin{array}{ccc} 1 & K & 1 \\ 0 & \frac{1}{K+1} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{K^2 + K -2}{K+1} {@}{\text{;} 1}@ \end{array} \right) Se K \neq -1 , K^2 + K -2 \neq 0 O posto da matriz aumentada é igual a matriz dos coeficientes (3) e é também igual ao número de incógnitas. Logo, o sistema é compatível e determinado. Se K = -2 posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1 \\ 1 & 1 & K \\ \end{array} \right)= 3 ; posto \left(\begin{array}{ccc} K & 1 & 1 \\ 1 & K & 1 \\ 1 & 1 & K \\ \end{array} \right)= 2 O posto da matriz aumentada não é igual ao posto da matriz dos coeficientes e não é igual ao número de incógnitas. Logo, o sistema é incompatível e indeterminado. 2 (b) \begin{cases} a_1 + 2a_2 = -1 \\ -3a_1 + 4a_2 = K \\ 2a_1 - a_2 = -f \end{cases} Por escalonamento, \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & -1 \\ -3 & 4 & | & K \\ 2 & -1 & | & -f \end{pmatrix} \overset{k_2 + 3k_1 \rightarrow k_2}{\longrightarrow} \overset{k_3 - 2k_1 \rightarrow k_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 10 & | & K - 3 \\ 0 & -5 & | & -5 \end{pmatrix} \overset{k_3 + \frac{1}{2} k_2 \rightarrow k_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 10 & | & K - 3 \\ 0 & 0 & | & K - \frac{13}{2} \end{pmatrix} Se K = 13 o sistema é compatível e determinado. Portanto, se K = 13 o sistema é compatível. 3 (b) \begin{cases} x + 2y - 3z = a \\ 3x - y + 2z = b \\ x - 5y + 8z = c \end{cases} Por escalonamento, \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & a \\ 3 & -1 & 2 & | & b \\ 1 & -5 & 8 & | & c \end{pmatrix} \overset{k_2 - 3k_1 \rightarrow k_2}{\longrightarrow} \\ \overset{k_3 - k_1 \rightarrow k_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & a \\ 0 & -7 & 11 & | & -3a + b \\ 0 & -7 & 11 & | & -a + c \end{pmatrix} \overset{k_3 - k_2 \rightarrow k_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & a \\ 0 & -7 & 11 & | & -3a + b \\ 0 & 0 & 0 & | & 2a - b + c \end{pmatrix} Logo, o sistema só tem solução se 2a - b + c = 0, para a, b, c \in \mathbb{R}. 4 \[ \begin{cases} 3x + 2y - 4z = 1 \\ x - y + z = 3 \\ x - y - 3z = -3 \\ 3x + 3y - 5z = 0 \\ -x + y + z = 1 \end{cases} \] Por escalonamento, \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & | & 1 \\ 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & -1 & -3 & | & -3 \\ 3 & 3 & -5 & | & 0 \\ -1 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \overset{L_1 \leftrightarrow L_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 3 & 2 & -4 & | & 1 \\ 1 & -1 & -3 & | & -3 \\ 3 & 3 & -5 & | & 0 \\ -1 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \overset{k_2 - 3k_1 \rightarrow k_2}{\longrightarrow} \overset{k_3 - k_1 \rightarrow k_3}{\longrightarrow} \\ \overset{k_4 - 3k_1 \rightarrow k_4}{\longrightarrow} \overset{k_5 + k_1 \rightarrow k_5}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 5 & -7 & | & -8 \\ 0 & 0 & -4 & | & -6 \\ 0 & 0 & -8 & | & -9 \\ 0 & 0 & 2 & | & 4 \end{pmatrix} \overset{\frac{1}{5} k_2 \rightarrow k_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{8}{5} \\ 0 & 0 & -4 & | & -6 \\ 0 & 0 & -8 & | & -9 \\ 0 & 0 & 2 & | & 4 \end{pmatrix} \overset{k_4 - 2k_3 \rightarrow k_4}{\longrightarrow}\overset{k_5 - \frac{1}{4} k_3 \rightarrow k_5}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 4 \end{pmatrix} \overset{k_4 - \frac{2}{5} k_3 \rightarrow k_4}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} 1 -1 1 | 3 0 1 -7/15 | -8/15 0 0 1 | 3/12 0 0 0 | 0 0 0 0 | 1 Como o posto da matriz aumentada é 4 e o posto da matriz dos coeficientes é 3, logo, são diferentes. Além disso, posto da matriz aumentada não é igual ao número de incógnitas. Portanto, o sistema é incompatível, ou seja, não existe solução. g) 3x + 3y - 2z - t = 2 5x + 2y + z - 6t = 1 2x - y + 3z - t = -1 Por escalonamento, ( 3 3 -2 -1 | 2 ) ( 5 2 1 -6 | 1 ) ( 2 -1 3 -1 |-1 ) l0 -5/3 l1 -> l2 ~ ( 3 3 -2 -1 | 2 ) ( 0 -3 13/3 -1/3 | -7/3 ) ( 0 -3 13/3 -1/3 | -7/3 ) l3 - l2 -> l3 ~ ( 3 3 -2 -1 | 2 ) ( 0 -3 13/3 -1/3 | -7/3 ) ( 0 0 0 0 | 0 ) Logo, 3x + 3y - 2z - t = 2 -3y + 13/3 z - 1/3 t = -7/3 de onde obtemos: x = -1 - 7z + 4/9 t, y = 7 + 13z - t z = z t = t Portanto o sistema é compatível e indeterminado. Solução: X = -1 + 7z + 4t 7 + 13z - t 9 z t K) x + 3y + 2z + 3t - 7w = 14 2x + 6y + z - 4t + 5w = -2 x + 3y - 2z + 2w = -1 Por escalonamento, ( 1 3 2 3 -7 | 14 ) ( 2 6 1 -4 5 | -2 ) ( 1 3 -2 0 2 | -1 ) l1 +(-2)l2 -> l2 l3 + l1 -> l3 ~ ( 1 3 2 3 -7 | 14 ) ( 0 0 -3 -8 19 | -30 ) ( 0 0 4 -3 9 | -15 ) l3 - 4/3 l2 -> l3 ~ ( 1 3 2 3 -7 | 14 ) ( 0 0 -3 -8 19 | -30 ) ( 0 0 0 -23/3 1 | 25 ) Então, \left\{ \begin{array}{l} x + 3y + 2z + 3t - 7w = 14\\ -3y - 8t + 19w = -30\\ \frac{23t}{3} - \frac{49w}{3} = 25 \end{array} \right. donde obtemos, x = \frac{3t - 3y - 16w}{23} y = y z = \frac{30}{23} + \frac{15w}{23} t = \frac{75}{23} + \frac{49w}{23} w = w Portanto, o sistema é compatível e indeterminado. 5 (a) \left\{ \begin{array}{l} -4x_1 + 3x_2 = 2\\ 5x_1 - 4x_2 = 0\\ 2x_1 - x_2 = k \end{array} \right. Por escalonamento, \left[ \begin{array}{ccc|c} -4 & 3 & & 2\\ 5 & -4 & & 0\\ 2 & -1 & & k \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{3}{4} & & -\frac{1}{2}\\ 5 & -4 & & 0\\ 2 & -1 & & k \end{array} \right] \xrightarrow{ abla_2 - 5\nabla_1 \rightarrow \nabla_2} \xrightarrow{ abla_3 - 2\nabla_1 \rightarrow \nabla_3} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{3}{4} & & -\frac{1}{2}\\ 0 & -\frac{1}{4} & & \frac{5}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & & k + 1 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{3}{4} & & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & & -10\\ 0 & 0 & & k + 6 \end{array} \right] \xrightarrow{\nabla_3 - \frac{1}{2}\nabla_2 \rightarrow \nabla_3} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{3}{4} & & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & & -10\\ 0 & 0 & & k + 6 \end{array} \right] Logo, o sistema só admite solução se k + 6 = 0. ou seja, se k = -6. (b) \left\{ \begin{array}{l} 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 = 0\\ x_1 + x_2 + x_3 = 0\\ 2x_1 + kx_3 = 0 \end{array} \right. Por escalonamento, \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & k & 0 \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & -5 & 3 & 0\\ 2 & 0 & k & 0 \end{array} \right] \xrightarrow{\nabla_2 - 2\nabla_1 \rightarrow \nabla_2} \xrightarrow{\nabla_3 - \nabla_1 \rightarrow \nabla_3} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -7 & 1 & 0\\ 0 & -2 & k-1 & 0 \end{array} \right] \xrightarrow{-\frac{1}{7}\nabla_3 \rightarrow \nabla_3} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{7}& 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{7}& 0\\ 0 & 0 & 7k-16 & 0 \end{array} \right] Se 7k - 16 \neq 0 então a solução do sistema é trivial. Pois o posto da matriz aumentada (3) é igual ao posto da matriz dos coeficientes e também igual ao número de incógnitas. Portanto, para K ≠ \frac{16}{7}, K \in \mathbb{R}, o sistema tem solução trivial. c) \left\{ \begin{align*} 3x_1 + 5x_2 + 12x_3 - x_4 & = -3 \\ x_1 + x_2 + 4x_3 - x_4 & = -6 \\ \quad + 2x_3 + x_4 & = 5 \\ \quad + 2x_3 + Kx_4 & = 9 \end{align*} \right. Temos, \begin{pmatrix} 3 & 5 & 12 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & K & 9 \end{pmatrix} \xrightarrow[L_2 \rightarrow \frac{1}{3}L_2]{L_3 \rightarrow L_3} \sim \begin{pmatrix} 3 & 5 & 12 & -1 & -3 \\ 0 & -2/3 & 0 & -2/3 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & K & 9 \end{pmatrix} L_4 - L_3 \rightarrow L_4 \sim \begin{pmatrix} 3 & 5 & 12 & -1 & -3 \\ 0 & -2/3 & 0 & -2/3 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & K-1 & 4 \end{pmatrix} Logo, se K = 1 o sistema é incompatível. b) \left\{ \begin{align*} x + ay &= 0 \\ y + bz &= 0 \\ cx + z &= 0 \end{align*} \right. Por escalonamento, \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ c & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[L_3 - cL_2 \rightarrow L_3]{} \sim \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & -ac & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[L_3 + abcL_2 \rightarrow L_3]{} \sim \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & abc + 1 \end{pmatrix} Se abc + 1 \neq 0 (ou seja, abc \neq -1) O posto da matriz aumentada (3) é igual ao da matriz dos coeficientes e é igual ao número de incógnitas. Logo, sistema é compatível e determinado. Se abc + 1 = 0 (ou seja, abc = -1) O posto da matriz aumentada (2) é igual ao posto da matriz dos coeficientes, mas não é igual ao número de incógnitas (3). Logo, sistema é compatível e indeterminado. - Única solução: abc \neq -1 - Infinitas soluções: abc = -1 - Nenhuma solução: o sistema sempre terá solução, pois é um sistema linear homogêneo.