Lista 1 - 2023-1

Lista 1 Algebra Linear 1. Considere as matrizes A, B, C, De E com respectivas ordens, 4 x 3, 4 x 5, 3x 5,2x5e3x 5. Determine quais das seguintes expressoes matriciais sao possiveis e determine a respectiva ordem. (a) AE+B"; (b) C(D? +B); (c) AC+B; (d) E"(CB). 2. * Determine a ordem das matrizes A, B, C, D e E, sabendo-se que AB” tem ordem 5 x 3, (C? + D)B tem ordem 4 x 6 e E7C tem ordem 5 x 4. 1 -3 7 8 2 . . —4 0 11 3 6 . 3. Seja a matriz A = 2 15 13: Determine: 3 1 -4 0 7 (a) A ordem de A; (b) Os elementos a3, 435 € G43. 4. * Sejam as matrizes A, B, C, De E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C’ é uma matriz de ordem 3 x 2, quais sao as ordens das outra quatro matrizes? 1 -1 3 2 ° , ‘ 5. *SejamasmatrizsA=|]0 1 4 -3 |], B= “194 , C=AB 1 2 -1 5 434 e D = BA. Determine os elementos c32 e d43, sendo (c¢;;) = C e (dij) = D. 6. Determine a matriz quadrada A = (a;;), de ordem 4 cujos elementos sao dados por: 2i—3j, sei<j ay = 12 +2), se i=J : —3i+47, sei>J . . 2 -1 . 7. Seja a matriz A = 3 9 | . Determine: (a) A, (b) A’; (c)* Ae; (a) A”. 8. * Sejam A = (a;;)70x5 ¢ B = (bij)5x27 matrizes definidas por: 8 1, se t= 7 ob. = j—2, se i<j I) G4 542, se i#j i = i/j, se i>j Se D = AB, calcule o elemento d35,2, sendo D = (d;;). 1 9. Determine nimeros reais x e y tais que re y? —ax 3y 0 4 2 22 | + = : yo 2 Ay 22x 5 —l 10. Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z numeros reais tais que a matriz A seja simétrica. 8 «+3 —10 8 a 4+3 5 (a) A= 15 —5 -8 |, (b)* B= 7 —9 4 |. y-2 2z 9 yta z2+3ax I1 11. Considere as matrizes: 3. (0 4 -1 1 4 2 A=|-1 2 B= | 6 2 J.c=[5 1 5 |. 1 1 1 5 2 6 1 3 D=|-101{],F=]-1 1 2 3.24 4 1.3 Quando possivel, calcule o que se pede: (a) 4E—2D; (b) 2A7+C; (c)* (2E7—3D")'; (d) (BAT—20)". 12. Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A? = A. 2 -1 1 Mostre queamatriz A= | —3 4 —3 | éidempotente. Calcule A?, At, ... , A”. —-5 5 —-4 13. Sejam A, B matrizes em M,,(R). Se AB = BA, mostre que: (a) (A+B)? = A? +2AB + B? (b)* (A— B)(A+ B) = A? — B? (c) (A— B)(A* + AB + B?) = A? — B? 14. * Seja A a matriz em M,,(R). Mostre que: 1 (a) As matrizes A.A’ e 3(A + A™) sao simétricas; 1 (b) A matriz 3(A — A”) é antissimétrica; (c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 15. Dizemos que uma matriz ¢ ortogonal se, e somente se, AA? = J. (a) Determine os possiveis valores para o determinante de uma matriz orto- gonal. (b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal. 2 16. * Determine o ntimero real m de modo que a matriz M = o ° | seja ortogonal. 17. Verifique quais das matrizes abaixo sao ortogonais. ve VB V3 1 -2 1 22 3 3 8 A= | B- 3 3 C=|_2 ve v6 2 1 |’ 272 _1 |’ 3 6 6 | ° 3 3 9 —v2 v2 2 2 18. Dado um ntimero real a, considere a matriz Ty = cos Sen a | . sena cosa (a) * Calcule T=. (b) Dados a e § em R, mostre que Ty.T3 = Ta+,- (c) Calcule T_q. (d) * Mostre que, para todo nimero a, a matriz T, é ortogonal. M11 G12 *** Gin . G21 G22 *** Gan . 19. Seja A = . . . , uma matriz quadrada de ordem n. O tra¢o Gni Gn2 *** Onn de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o ntimero real tr(A) = So dee = au + G22 +... + dns k=1 ou seja, 0 trago de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas Ae B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades: (a) tr(A+ B) = tr(A) + tr(B) (b) tr(kA) = ktr(A), ondek eR (c) tr(A‘) = tr(A) (d) tr(AB) = tr(BA) Usando algumas destas propriedades verifique que nao existem matrizes qua- dradas A e B de ordem n tais que AB — BA =I. 20. * Verifique que se A é uma matriz m x n, entao os tragos de AA’ e A? A estado definidos. Em seguida prove que tr(AA’) = tr(A™ A). 21. * Mostre que se A? A = A, entao A é simétrica e A = A’. a, 0 - 0 0 dg +: O 22. Considere a matriz A = . . . , onde a11422..-Ann F# 0. 0 O ++ Gnn Determine A~!, a inversa de A, se existir. 3 23. Prove que se A é invertível e AB = AC, então B = C. 24. É possível ter AB = I e B não ser inversa de A? Justifique sua resposta. 25. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que: (a) * Se A satisfaz a igualdade A2 − 3A + I = 0, então A−1 = 3I − A. (b) Se A é tal que An+1 = 0, então (I − A)−1 = I + A + A2 + . . . + An. 26. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo. (a) ( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto AB. (b) ( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto AB. (c) ( ) Se a soma de matrizes AB + BA estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas. (d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A2 tem duas linhas idênticas. (e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros. (f) ( ) Se AAT é uma matriz singular (não invertível), então A não é inver- tível. (g) ( ) Se A é invertível e AB = 0, então necessariamente B é a matriz nula. (h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível. (i) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A4 = 0, então (I − A)−1 = I + A + A2 + A3. 27. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a −3, pede-se: (a) * O determinante da matriz P dada por P = 4A−1AT. (b) Decidir se P é ou não invertível. (c) * O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações: L3 ←→ L2; L1 −→ L1 + 2L5; L4 −→ −3L4. (d) Decidir se a matriz Q = AAT é ou não invertível. 28. Calcule o determinante da matriz A =   4 −5 3 2 −1 0 3 0 1 2 −1 3 2 1 0 4  ; (a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores). 4 (b) Usando operagoées elementares sobre as linhas da matriz. 1-5 -1 2 —-3 0 0 0 . 0 2 -3 4 3-4 0 0 29. Dadas as matrizes A = 00 4 —2|° B= > 2 -1 0 ; 0 0 0 38 2 1 #1 -2 determine: (a) det(AB); (b) Av': (c) BO; (d) (BA)™; (e)* det(C), onde CA? = 2BC%. 30. Seja B uma matriz quadrada de ordem n tal que det B 4 0 e B® + 2B? = 0. Determine o valor de det B. 1 5 -1 8 31. Dada a matriz A = S : > A , determine: 5 3 0 4 (a) det(A) utilizando as operagoes elementares sobre as linhas de A; (b) det A’; (c) det(A?); (d) Av; (e) det(—A) (f) det(3AA’). 1 1-1 32. * Sejaamatriz A=] 10 1 O 1 1 (a) Determine o polinémio p(x) = det(al3—A), onde J3 é a matriz identidade de ordem 3e 2 ER. (b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3. (c) Use o item anterior para calcular a inversa de A. 33. Calcule os seguintes determinantes: l+a_b c c -4 3 (a) a 1+b ¢ (b) |}2 1 @¢ a b 1l+e 4 c-1 2 4 5 3 9 5 0 00 O 10 3 0 0 0 00 —-4 (c)* (d) |0 0 30 0O 1 2 -1 8 > 1 0 4 0 0 01 0 0 -2 0 0 O 34. Resolva as seguintes equagoes: 2 x—-2 3 er -l 1 0 -83 (a)* | 2e+3 x-1 4|=16 (b) E ie 2a —-6 5 1 0 1 3 4-5 35. Diz-se que uma matriz A é semelhante 4 matriz B quando existe uma matriz invertivel P tal que B = PAP. 5 (a) Mostre que se A é uma matriz semelhante a B e B é semelhante a C, entao A é semelhante a C’. (b) Prove que as matrizes semelhantes tem mesmo determinante. 36. Nos casos abaixo, pede-se: - Verificar se A é invertivel. - Encontra a matriz de cofatores de A. - A“! se esta existir. 1 -2 38 cos@ sen@ 0 (a) A=] 6 7 -Il (b)* A= | —sen@ cosé 0 -3 1 4 0 O 1 O 111 3.5 6 O 1 1141 2-1 0 O ()A=} 5 1 1 9 (Y 4A=)4 0 0 0 -1 2 0 0 5 2 -4 3 37. Nos casos abaixo, determine A~!, utilizando operacdes elementares, se esta existir. 2 1 3 3-4] (a) A=] 4 2 2 ow 4=[5 7] 2 5 3 aT 6 (c) A= (d)\* A=] 0 3 -8 3210 —6 -9 24 432 1 38. Sendo Ae B matrizes invertiveis de ordem n, isolar a matriz X de cada equagao abaixo: (a) AXB=I (b) (AX)? =B (c) (AX) t=I (d)* (A+ X)7=B (ec) AXB=BA (f) (AX)? =B 39. Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir; 0 O O 1 0 0 0 0 0 00 1 -l1 0 0 00 0 B= 0 0 0 01 04° 0 -1 0 0 0 0 0 oO -1 0 0 0 40. Decida se a afirmagao e (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento logico matematico ou um contra-exemplo. (a) () det(2A) = 2 det(A). 6 (b) ( ) det(I + A) = 1 + det(A). (c) ( ) Não existe matriz real quadrada A tal que det(AAT) = −1. (d) ( ) Se det(AAT) = 4, então det(A) = 2. (e) ( ) Se det(A) ̸= 0 e AB = 0, então B é invertível. (f) ( ) Se A ∈ Mn(R) e n é par, então det(A) = det(−A). (g) ( ) Se A100 é invertível, então 3A também o é. (h) ( ) Se a diagonal principal da matriz quadrada A consiste de zeros, então det(A) = 0 7