Lista 7 - 2023-1

Lista 7 Álgebra Linear 1. Considere o espaço vetorial real V munido de um produto interno ⟨ , ⟩. Se u, v ∈ V são tais que ||u|| = 5, ||v|| = 8 e ||u + v|| = √129, determine o cosseno do ângulo entre os vetores u e v. 2. * Considere o espaço vetorial M2x3(ℝ) com o produto interno usual ⟨A, B⟩ = tr(B^TA). Dadas as matrizes A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ −1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) , B = \( \begin{pmatrix} 1 & −2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) e C = \( \begin{pmatrix} 2 & −3 & 2 \\ 1 & 0 & −1 \end{pmatrix} \) , determine ⟨A, B⟩ , ⟨A + B, C⟩ , ||A|| , ||B|| e cos(θ), onde θ é o ângulo entre as matrizes A e B. 3. Considere o espaço vetorial real ℝ^4 munido do produto interno usual. Determine os valores de α de modo que os elementos u = (1, 2, α, 3) e v = (α, 2, α, −2) sejam ortogonais. 4. * Considere o espaço vetorial real ℝ^3 munido do produto interno usual. Dados os elementos u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1), determine o elemento w ∈ ℝ^3 de modo que ||w|| = 1 e ⟨u, w⟩ = ⟨v, w⟩ = 0. 5. Considere o espaço vetorial ℝ^3 munido do produto interno usual. Determine todos os vetores do ℝ^3 de norma igual a dois, que sejam ortogonais simultaneamente a (2, 1, 2) e (−1, 3, 4). 6. * Considere o espaço vetorial ℝ^4 munido do produto interno usual. Determinar a projeção ortogonal do vetor u = (1, 1, 0, −1) ∈ ℝ^4 sobre o subespaço W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ^4/x − y − z = 0 e z − 2t = 0} 7. * Considere o espaço vetorial ℝ^3 munido do produto interno usual. Seja C = {v1, v2, v3} = {\( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{−1}{\sqrt{6}} \\ \frac{−1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{−1}{\sqrt{2}} \\ \frac{−1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \) } uma base ortonormal de ℝ^3 : (a) Encontre a matriz das coordenadas do v = (1, 7, 8) relativamente à base C. (b) Encontre a projeção ortogonal do vetor v sobre o subespaço vetorial W = [v1, v2]. (c) Sejam u, w ∈ ℝ^3 tais que [u]C = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ −1 \end{pmatrix} \) e [w]C = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) . Encontre ||u||, ||w|| e o ângulo entre os vetores u e w. 18. * Considere o espaço vetorial M2(ℝ) munido do produto interno usual. Determine uma base ortogonal para o subespaço W definido por W = {A ∈ M2(ℝ)/A é triangular inferior} a partir da base β = {A1, A2, A3} formada pelos elementos A1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) , A2 = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{pmatrix} \) e A3 = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) . Questão 2) I. ⟨A,B⟩ = tr\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) = tr\( \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \\ -2 & 6 & 5 \end{pmatrix} \) = 5 II. ⟨A + B, C⟩ = tr\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \) = tr\( \begin{pmatrix} 4 & -2 & 10 \\ -6 & 6 & -9 \\ 4 & -6 & 2 \end{pmatrix} \) = 12 III. ||A|| = \( \sqrt{⟨A,A⟩} \) = \( \sqrt{tr\( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)} \) = \( \sqrt{tr\( \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)} \) = \( \sqrt{11} \) IV. ||B|| = \( \sqrt{⟨B,B⟩} \) = \sqrt{tr \left( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \right)} = \sqrt{tr \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -2 \\ 4 & -2 & 10 \end{bmatrix}} = \cancel{4} \\ \, \cos \theta = \frac{\langle A, B \rangle}{\|A\| \|B\|} = \frac{5}{4 \sqrt{11}} \\ \text{Questão 4)} \\ \text{Seja } w = (A, B, C) \\ \quad \text{I. } 1 = A^2 + B^2 + C^2 \\ \quad \text{II. } \langle u, w \rangle = \langle v, w \rangle = 0 \\ \quad \quad \Rightarrow A + B = B + C = 0 \\ \quad \quad \Rightarrow \begin{cases} A = -B \\ C = -B \end{cases} \Rightarrow B = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \quad \quad \Rightarrow w = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \text{ \quad ou \quad } w = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) proj = (1, 15, 15) c) I. ||u|| = \sqrt{tr\left(\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}\right)} = \sqrt{tr(2)} = \sqrt{2} II. ||w|| = \sqrt{3} III. \frac{tr\left(\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}\right)}{\sqrt{6}} \cos\theta = \cos\theta = 0 \theta = \frac{\pi}{2} d) Questão 9) a) I. \alpha u_1 + \beta u_2 + \chi u_3 + \theta u_4 = 0 \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma + 16\theta = 0\\ \alpha + 2\beta + \gamma - 13\theta = 0\\ 0 + \beta - 9\chi + \theta = 0\\ -\alpha + 3\beta + 2\gamma + 3\theta = 0 \end{cases} -> \alpha = \beta = \gamma = \theta = 0, portanto,\ é\ base. II. < u_1, u_2 > = 1 + 2 - 3 = 0 < u_1, u_3 > = 1 + 1 - 2 = 0 < u_1, u_4 > = 16 - 13 - 3 = 0 < u_2, u_3 > = 1 + 2 - 9 + 6 = 0 < u_2, u_4 > = 16 - 26 + 1 + 9 = 0 < u_3, u_4 > = 16 - 13 - 9 + 6 = 0 \text{\ É\ ortogonal} b) \begin{cases} a = \alpha + \beta + \gamma + 16\theta\\ b = \alpha + 2\beta + \gamma - 13\theta\\ c = \beta - 9\gamma + \theta\\ d = -\alpha + 3\beta + 2\gamma + 3\theta \end{cases} Questão 11) a) I. \alpha u_1 + \beta u_2 + \theta u_3 = 0 \begin{cases} \alpha + \beta + 8\gamma = 0\\ \alpha + 2\beta - 4\chi = 0\\ \alpha - 3\beta + \gamma = 0 \end{cases} => \alpha = \beta = \gamma = 0 É\ base II. < u_1, u_2 > = 1 + 2 - 3 = 0 < u_1, u_3 > = 5 - 4 \neq 0 < u_2, u_3 > = 5 - 8 - 3 \neq 0 \text{Não \ é \ ortogonal} Bugado Questão 12) * u_1 = (1, 0) * w_2 = (4, 1) - \text{proj}_{u_1}(4, 1) = (4, 1) - (4, 0) = (0, 1) * Portanto, a\ base\ é\ \{ (1,0), (0,1) \} Questão 15) - < u_1, u_2 > = (1, u_2) = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) (1/x, y, z) = ax + by + pz = ax(1, 1, 0) + b(0, 1, 1) Portanto , (1, 1, 0), (0, 1, 1) e base I. Ortonormalizando: * u_1 = (1/1, 0) √2 √2 = (1/√2, 1/√2, 0) * w_2 = (0, 1, 1) - proj_𝑢_1(0, 1, 1) = (0, 1, 1) - 1/√2 (1/√2, 1/√2, 0) = (-1/2, 1/2, 1) * u_2 = w_2/||w_2|| = (-1/√6, 1/√6, 2/√6) II. Portanto, a base ortonormal e' { (1/√2, 1/√2, 0), (-1/√6, 1/√6, 2/√6) } Questão 18) * Ortonormalizando I. 𝑢_1 = A_1/||A_1|| = (1 0) (0 1) =────── √ tr (1 0) ‾‾‾((-1 0, 1) u_1 = (1 0) ( 1 0 x). (0 1) tr ((1 0 1)) u_1 = (1/√3 0) (1/√3 1/√3) II. w_2 = (1 0) - tr ((1/√3 1/√3)(1 0)(1/√3 0)) (0 -1) (0 -1) w_2 = (1 0) (0 -1) => u_2 = w_2/||w_2|| = (1/√2 0) (0 -1/√2) III. w_3 = (1 0) - proj_𝑢_1A_3 - proj_𝑢_2A_3 (0 0) w_3 = (1 0) - ( 1/3 0) - ( 1/2) (0 0) (1/3 1/3) (0 1/2) w_3 = (1/6 0) (-1/6 -1/6) => u_3 = w_3/||w_3|| = (√6/6 0) (-√6/6 √6/6) Base = { u_1, u_2, u_3 }