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EXTRA UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Prova 1 Disciplina: Álgebra Linear Curso: Engenharia Sanitária e Ambiental Prof: Stefan Consalvo Data: 08/08/2023 Nome Completo: RGA: Instruções: - Respostas não justificadas não serão consideradas. - A resposta deve ser organizada e detalhada. Não deixar cálculos sem justificativa. - Escrever a caneta: azul ou preta. Se a escrita for a lápis, em caso de difícil visualização a resposta não será considerada. - Sem consulta. Questão 1. Determine se o conjunto \( \{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \} \) é linearmente independente ou linearmente dependente, onde (a) (0,25 pontos) \( \mathbf{u} = (1,3) \) e \( \mathbf{v} = (-3,7) \); (b) (0,5 pontos) \( \mathbf{u} = (1,8,5) \) e \( \mathbf{v} = (5,2,26) \). Justifique sua resposta. Questão 2. Sejam \( \mathbf{u} = (1,2,3) \), \( \mathbf{v} = (-6,9,2) \) e \( \mathbf{w} = (7,-1,-3) \). Seja \( S = \{ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \} \): (a) (1,0 pontos) Determine se \( S \) é um conjunto linearmente dependente ou linearmente independente. (b) (1,0 pontos) Determine o conjunto gerado de \( S \). (c) (1,0 pontos) O conjunto \( S \) é uma base para \( \mathbb{R}^3 \)? Justifique sua resposta. Questão 3. Considere o conjunto \( V = \left\{ \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array} \right) ; a_{11}, a_{13}, a_{22}, a_{33} \in \mathbb{R} \right\} \) Seja \( S = \{ \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \mathbf{A}_4 \} \) onde \( \mathbf{A}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \mathbf{A}_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \mathbf{A}_3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \mathbf{A}_4 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \) (a) (1,0 pontos) O conjunto \( V \) é um subespaço vetorial das matrizes \( M_{3,3} \), com a soma e produto por escalar usuais de matrizes? (b) (1,0 pontos) O conjunto \( S \) é linearmente independente? (c) (1,5 pontos) O conjunto \( S \) gera o conjunto \( V \)? (d) (0,25 pontos) Podemos escrever \( A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & 8 \end{array} \right) \) como combinação linear de elementos de \( S \)? Se sim, escreva essa combinação linear. Justifique sua resposta. Questão 4. Seja \( \mathbf{u} = (1,4) \) e \( \mathbf{v} = (3,-3) \) vetores em \( \mathbb{R}^2 \). Seja \( S = \{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \} \): (a) (1,0 pontos) Mostre que \( S \) é uma base de \( \mathbb{R}^2 \). (b) (0,5 pontos) Escreva o vetor \( \mathbf{w} = (2,4) \) nas coordenadas da base \( S \). Justifique sua resposta. Questão 5. (1,0 pontos) Seja \( V = \{ x \in \mathbb{R} : x < 0 \} \) com a soma \( x + y = xy \), para todo \( x, y \in \mathbb{R} \) sendo o produto usual dos números reais e o produto por escalar \( ax = x^a \) para todo \( x \in \mathbb{R} \). O conjunto \( V \) é um espaço vetorial real? Justifique sua resposta. Questão 1 (a) Sejam \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) tais que \( \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} = \mathbf{0} \) \( \Rightarrow \alpha (1,3) + \beta (-3, 7) = (0,0) \) \( \Rightarrow (\alpha, 3\alpha) + (-3\beta, 7\beta) = (0,0) \) \( \Rightarrow (\alpha - 3\beta, 3\alpha + 7\beta) = (0,0) \) \( \left\{ \begin{array}{l} \alpha - 3\beta = 0 \ \text{\small{I}} \\ 3\alpha + 7\beta = 0 \ \text{\small{II}} \end{array}\right. \) \( \text{\small{I}} \): \( \alpha - 3\beta = 0 \) \( \Rightarrow \alpha = 3\beta \) Substituindo em \( \text{\small{II}} \): \( 3\alpha + 7\beta = 0 \) \( 3\cdot 3\beta + 7\beta = 0 \) \( 9\beta + 7\beta = 0 \) \( 16\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0 \) \( \alpha = 3\beta = 3\cdot0 = 0 \) \( \boxed{0} \) Como \alpha u + \beta v = \overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha = \beta = 0, \{u, v, \overrightarrow{r}\} \text{ é linearmente independente} \newline b) Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u + \beta v = \overrightarrow{0} \Rightarrow (0, 0) = \alpha (1, 8, 5) + \beta (5, 2, 26) = (\alpha, 8\alpha, 5\alpha) + (5\beta, 2\beta, 26\beta) = (\alpha + 5\beta, 8\alpha + 2\beta, 5\alpha + 26\beta) \Rightarrow \begin{cases} \alpha + 5\beta = 0 \quad \text{I} \\ 8\alpha + 2\beta = 0 \quad \text{II} \\ 5\alpha + 26\beta = 0 \quad \text{III} \end{cases} \Rightarrow \text{II}: 8\alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \beta = -\frac{8}{2} \alpha = -4\alpha \\ \text{Substituindo em I}: 0 = \alpha + 5\beta = \alpha + 5(-4)\alpha = \alpha - 20\alpha = -19\alpha \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow \beta = -4 \cdot 0 = 0 \quad (2) Verificando em III: 5\alpha + 26\beta = 5 \cdot 0 + 26 \cdot 0 = 0 \newline Como \alpha u + \beta v = \overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha = \beta = 0, \{u, v, \overrightarrow{r}\} \text{ é linearmente independente} \newline Questão 2 \newline a) Sejam \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} tais que \alpha u + \beta v + \gamma w = \overrightarrow{0} \Rightarrow (0, 0, 0) = \alpha (1, 2, 3) + \beta (-6, 9, 2) + \gamma (7, -1, -3) = (\alpha, 2\alpha, 3\alpha) + (-6\beta, 9\beta, 2\beta) + (7\gamma, -\gamma, -3\gamma) = (\alpha - 6\beta + 7\gamma, 2\alpha + 9\beta - \gamma, 3\alpha + 2\beta - 3\gamma) \Rightarrow \begin{cases} \alpha - 6\beta + 7\gamma = 0 \quad \text{I} \\ 2\alpha + 9\beta - \gamma = 0 \quad \text{II} \\ 3\alpha + 2\beta - 3\gamma = 0 \quad \text{III} \end{cases} I: \alpha - 6\beta + 7\gamma = 0 \Rightarrow \alpha = 6\beta - 7\gamma \newline Substituindo em II: 0 = 2\alpha + 9\beta - \gamma = 2(6\beta - 7\gamma) + 9\beta - \gamma = 12\beta - 14\gamma + 9\beta - \gamma = 21\beta - 15\gamma \Rightarrow \gamma = \frac{21}{15} \beta = \frac{7}{5} \beta \Rightarrow \alpha = 6\beta - 7\gamma = 6\beta - 7 \cdot \frac{7}{5} \beta = 6\beta - \frac{49}{5} \beta = -\frac{19}{5} \beta \\ \text{Substituindo em III}: 0 = 3\alpha + 2\beta - 3\gamma = 3(-\frac{19}{5} \beta) + 2\beta - 3 \cdot \frac{7}{5} \beta = -\frac{57}{5} \beta + \frac{10}{5} \beta - \frac{21}{5} \beta = \frac{-68}{5} \beta \Rightarrow \beta = 0 \quad (4) a = -\frac{19}{5} \cdot 0 = 0 \beta = \frac{7}{5} \cdot 0 = 0 Como \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} + \gamma \mathbf{w} = \overrightarrow{0} \implies \alpha = \beta = \gamma = 0, S = \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \text{ e independente} S = \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \text{ e\' independente} b) \quad \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 \implies \langle S \rangle \subseteq \mathbb{R}^3 Como a dimens\~ao de \mathbb{R}^3 \text{\'e } 3 \text{ e } S \text{\'e formado por 3 vetores e \text{\'e linearmente independente,}\; S \text{\'e\'e } \text{linearmente indep e gera } \mathbb{R}^3\text{\'\}, S \text{\ genera } \mathbb{R}^3. \implies \langle S \rangle = \mathbb{R}^3 c) \quad \text{Sim}, j\'a que \; S \text{\'e linearmente independente e gera } \mathbb{R}^3. Exercicio 3 a) SV 1) \quad 0 \in \mathbb{R} \implies \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\n\end{array}\right) \in V SV 2) \quad \text{Sejam } \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & a_{13} \\ a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\n\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \\n\end{array}\right) \in V \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\n\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \\n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}a_{11}+b_{11} & 0 & a_{13}+b_{13} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}+b_{33} \\ \end{array}\right) Como \quad \forall x, y \in \mathbb{R}, \quad x+y \in \mathbb{R}, x \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\n\end{array}\right) + y \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \\n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}a_{11}+b_{11} & 0 & a_{13}+b_{13} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}+b_{33} \\ \end{array}\right) \in V SV 3) \quad \text{Sejam } \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\n\end{array}\right) \in V, \quad \alpha \in \mathbb{R}. Como \quad \forall x, y \in \mathbb{R}, \quad x y \in \mathbb{R}, \alpha \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\alpha a_{11} & 0 & \alpha a_{13} \\ 0 & \alpha a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha a_{33} \\n\end{array}\right) \in V Portanto, \quad V \text{ \'e subespa\c{c}o vetorial de } M_{3\times3} \quad \text{com a soma e o produto por escalar usuais de matrizes}. b) \quad \text{Sejam } \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R} \text{ tais que } \alpha A_1 + \beta A_2 + \gamma A_3 + \delta A_4 = \overrightarrow{0} \implies \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) + \beta \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) + \gamma \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) + \delta \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) α A₁ + β A₂ + σ A₃ + δ A₄ = A ⇒ ( a 0 2b ) = ( a 0 0 ) + β ( 0 0 z ) + σ ( 0 1 0 ) + δ ( 0 0 0 ) = α 0 r α 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 s = 0 0 z β α = α₁₁ = α = 2β 0 α = α₁₁ 2β = α₁₃ γ = α₂₂ δ = α₃₃ Como A ∈ V, α₁₁, α₁₃, α₂₂, α₃₃ ∈ ℝ. Assim, α = α₁₁, β = α₁₃/2, γ = α₂₂, δ = α₃₃ Jq que existem coeficientes reais associados a uma combinação linear dos elementos de S que resulta em A, e A é um vetor arbitrário de V, S gera V. c) A = ( 3 0 4 ) ( 0 -1 0 ) ( 0 7 8 ) γ ≠ 0 ⇒ A ∉ V V é conjunto gerado por S, ou seja, V é o conjunto que contém todas as possíveis combinações lineares dos assimismo A ∉ V, A não pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S. exercício 4 a) Sim α, β ∈ ℝ teremos que α u + β v = ( 0 ) ⇒ ( 1,4 ) αu + β( 3,-3 ) = ( α + 3β ) ( 0,0 ) = { α + 3β = 0 I { 4α - 3β = 0 II ⇒ I α + 3β = 0 ⇒ α = -3β ( α 0 2β ) ( 0 σ 0 ) ( 0 0 δ ) α = 0 2β = 0 γ = 0 δ = 0 =>$α = β = γ = δ = 0 α A₁ + β A₂ + γ A₃ + δ A₄ = ( 0 ) α = β = γ = σ = δ S = { A₁, A₂, A₃, A₄ } é linearmente indepentendente Le α₁₁ = ( α₁₁ 0 ∈ V _______________ descobvrir se XXX como escrever A por combinação linear dos elementos de S. Substituindo em II: \n0 = 4\alpha - 3\beta = 4(-3)\beta - 3\beta = -12\beta - 3\beta = -15\beta \n\Rightarrow \beta = 0 \nalfa = -3.0 = 0 \n\nComo \nalfa \nu + \beta \nv = \overrightarrow{0}\n\Rightarrow \alpha = \beta = 0, \nS = \{u,v\} é linearmente independente. \n\nComo a dimensão de \mathbb{R}^2 é 2 e S é linearmente independente \ncom 2 elementos, S é base de \mathbb{R}^2.\n\n\nb) Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ntais que \n\nw = \alpha \nu + \beta \nv \n\Rightarrow (2,4) = \alpha (1,4) + \beta (3,-3) = (\alpha + 3\beta, 4\alpha - 3\beta) \n\Rightarrow \begin{cases} \alpha + 3\beta = 2 \qquad (I) \\ 4\alpha-3\beta = 4 \qquad (II) \end{cases} (I): \alpha + 3\beta = 2\n\Rightarrow \alpha = -3\beta + 2\n\nSubstituindo em (II): \n4 = 4\alpha - 3\beta = 4(-3\beta + 2) - 3\beta = -12\beta + 8 - 3\beta = -15\beta + 8\n\Rightarrow 15\beta = 8 - 4 = 4\n\Rightarrow \beta = \frac{4}{15}\n\alpha = -3 \cdot \frac{4}{15} + 2 = -\frac{4}{5} + \frac{10}{5} = \frac{6}{5}\n\Rightarrow w_3 = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{4}{15} \end{pmatrix} Questão 5\nV = \{x \in \mathbb{R} : x < 0\} \Rightarrow \forall x \in V, \lvert x \rvert = -x\n\Rightarrow \forall x,y \in V, \quad x+y = x\nu = -\lvert x\lvert (-\lvert y \lvert) = -(-\lvert x\lvert \lvert y\lvert) = \lvert x\lvert \lvert y\lvert > 0, \text{ou seja}, \quad x+y \notin V, \forall x,y \in V\nLogo, a soma não é operação sobre V, e assim, V não é espaço vetorial real.