Lista 5 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CˆAMPUS UNIVERSIT´ARIO DE V´ARZEA GRANDE FACULDADE DE ENGENHARIA Lista de Exerc´ıcios 5 - ´Algebra Linear 2021/1 - Turma VQ1 Profa. Gl´aucia A S Miranda Exerc´ıcios 1. Identifique e esboce as cˆonicas de equa¸c˜oes: (a) 16x2 − 108xy − 29y2 + 260 = 0. (b) 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0. (c) 5x2 + 2y2 + 2xy + 2 = 0. (d) 3x2 + 2xy + 3y2 + 6 √ 2x + 2 √ 2y + 2 = 0. (e) x2 − 2xy + y2 − 5 √ 2x + 3 √ 2y + 10 = 0. 2. Identifique a cˆonica e, quando for o caso, obtenha seus parˆametros geom´etricos (a, b, c ou p). Determine, em rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas inicial, os elementos geom´etricos principais: centro, focos, v´ertices, eixos, ass´ıntotas, diretriz, etc. (a) 3x2 + 4xy + y2 − 2x − 1 = 0. (b) 7x2 + 24xy − 256x − 192y + 1456 = 0. (c) 5x2 + 4xy + y2 − 6x − 2y + 2 = 0. (d) 2x2 + 3y2 − 8x + 6y − 7 = 0. (e) 4x2 − 4xy + y2 − 6x + 3y + 2 = 0. (f) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0. (g) x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 1 = 0. (h) 16x2 + 16y2 − 16x + 8y − 59 = 0. 3. Determinar a equa¸c˜ao e identificar a trajet´oria de um ponto que se move de maneira que sua distˆancia ao ponto F = (6, 0) ´e sempre igual a duas vezes sua distˆancia `a reta r : 2x − 3 = 0. 4. Seja uma elipse ou hip´erbole com focos em F1 = (p, 0) e F2 = (−p, 0). (a) Mostre que x2 p2 e2 + y2 p2(1−e2) e2 = 1 ´e a equa¸c˜ao desta cˆonica, em que e ´e a excentricidade. 1 (b) Definindo a reta r : x = S mostre que esta conica pode ser descrita como o lugar e€ geométrico dos pontos P = (x,y) de um plano tais que dist(P, F) =e-dist(P,r). 5. Seja P a parabola de equacao x? — 2ry + y? — (6 + V2) u+ (6 — V2) yt+9+ V2 =0. Obtenha uma equacao da reta tangente a P no seu vértice. Gabarito 351 Y ) x y' yl” y” a5 tg(20) — — \ cotg =" PB Figura 1: Exercicio 1(a) 2 Algebra Linear - Profa. Gladucia A S Miranda 2 Figura 2: Exerc´ıcio 1(b) 1 (c) Conjunto vazio. 3 ´Algebra Linear - Profa. Gl´aucia A S Miranda 3 Figura 3: Exerc´ıcio 1(d) Figura 4: Exerc´ıcio 1(e) 4 2. (a) Reuniao de retas r: y = —34 —1 es: y=-—x +1, concorrentes no ponto (—1, 2). (b) Hipérbole de centro O = (8,6) e parametros geométricos a = 3, b = 4, c = 5. Os focos sao (4,3) e (12,9). Vértices (3, *) e (¥, 2). O eixo real esté contido em r : 3x — 4y = 0, 0 eixo imagindrio em s : 4x +3y = 50. As assintotoas tém equacoes: 7x + 24y — 200 =0exr—8=0. (c) Conjunto unitdrio: {(1,—1)}. (d) Elipse. a = 3, b = V6, c = V3; centro: (2,—1); vértices: (—1,—1), (5,—1), (2,-V6 — 1), (2, /6 — 1); focos: (2+ V3,—-1) e (2— V3,—1). Eixo maior contido na reta r: y = —le menor na reta s:x% = 2. (ce) Reuniao de retas paralelas: r: 27 —y=les:2r—y=2. (f) Pardbola. Parametro p = V2; foco: (3,2); vértice: (2,1); diretriz: r : 2 + y = 1; equacao do eixo: c—y=1. (g) Reta de equacgao x + 2y+1=0. (h) Circunferéncia de centro ($,—4) e raio 2. 3. Hipérbole d jo: Ay . Hipérbole de equagao: — — = = 1. p quag 9 7 4. Demonstragao. 5. x+y—1=0. Sugestao: Obtenha uma equacao reduzida da parabola em um novo sistema de coordenadas e volte ao sistema original. 5 Algebra Linear - Profa. Gladucia A S Miranda 5