P4 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

Universidade Federal de Mato Grosso Faculdade de Engenharia - CUVG UFMT Quarta Prova de Algebra Linear e Geometria Analitica - 2020/l - Turma VC2 Profa. Glaucia A S Miranda DATA: 21/05/2021 As respostas das quest6es sincronas (objetivas) deverao ser enviadas até 17:30h (horario de Cuiaba) do dia 21/05/2021 através so formulario: https://forms.gle/KhRONBx2SBmZx7gx7 Sejam M, C, D, U os quatro Ultimos algarismos do seu numero RGA na UFMT, onde U representa o algarismo das unidades, D o algarismo das dezenas, C' 0 algarismo das centenas e M unidades de milhar. Por exemplo, se o seu numero de RGA € 201921904037 entao U = 7, D = 3, C=0eM=4. Questoes sincronas: (1) (2 pontos) Determine a equagao reduzida da hipérbole com eixo real Ox, centro C = (h,0), 4V/2 —2 h < 0, eixo imaginario de comprimento 2b = 4, passando pelos pontos (0. “) e (. a) (2) (1 ponto) Se possivel, dé um exemplo de uma transformagao linear T : IR? — JR‘ tal que Im(T) = [(M,0,U + 2,M), (—M,M, D, 0)). (3) (1 ponto) Seja T : IR” — IR™ transformacao linear tal que n > m. E possivel que T seja injetora? Justifique! { Quarta Prova de ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2020/I - Turma VC2 Profa. Gl´aucia A S Miranda DATA: 21/05/2021 NOME: RGA: NOME: RGA: Quest˜ao ass´ıncrona: Respostas sem justificativas ser˜ao desconsideradas. Boa Prova! As respostas das quest˜oes as´ıncronas (discursivas) dever˜ao ser enviadas at´e 10:00h (hor´ario de Cuiab´a) do dia 24/05/2021 para o e-mail: glaucia.a.s.miranda@gmail.com Enviar em ´unico arquivo PDF (n˜ao ´e necess´ario digitar, mas fac¸am uma letra leg´ıvel, grande e com trac¸o forte). No campo Assunto do e-mail, e tamb´em no nome do arquivo PDF, escreva: P4 de GAAL - nome completo (de quem enviar a prova). No caso de dupla, enviar um ´unico arquivo com as respostas. (4) (6 pontos) Considere a cˆonica (ou uma de suas degenerac¸ ˜oes) de equac¸ ˜ao: Ax2 + Bxy + Ey2 + Fx + Gy + H = 0, (1) onde A = (−1)M, B = (−5 − U), E = (−2)D, F = −7, G = (−1)D + M e H = (13 + U). Em cada item fac¸a o que se pede: (a) (0,5 pontos) Escreva a equac¸ ˜ao da cˆonica. (b) (2,5 pontos) Usando diagonalizac¸ ˜ao de matrizes, obtenha uma mudanc¸a de coordenadas (rotac¸ ˜ao) no plano que transforma a equac¸ ˜ao (1) em: A′x′2 + E′y′2 + F ′x′ + G′y′ + H′ = 0. (2) Determine os coeficientes A′, E′, F ′, G′, H′ e o ˆangulo de rotac¸ ˜ao θ. (c) (1 ponto) Obtenha uma translac¸ ˜ao no plano que elimina o(s) termo(s) linear(es) de (2), a fim de obter a equac¸ ˜ao reduzida da cˆonica (ou uma de suas degenerac¸ ˜oes) no sistema ortogonal de coordenadas O′′x′′y′′. Explicite O′′, as f´ormulas de translac¸ ˜ao e a equac¸ ˜ao reduzida obtida. 2Quarta Prova de ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - Profa. Gl´aucia A S Miranda 2 (d) (1 ponto) Identifique a cˆonica do item (b) (ou uma de suas degenerac¸ ˜oes) e, quando for o caso, obtenha seus parˆametros geom´etricos (a, b, c ou p). Determine, em relac¸ ˜ao ao sistema de coordenadas inicial Oxy, os elementos geom´etricos principais: centro, foco(s) e v´ertices. (e) (1 ponto) Esboce a cˆonica e explicite em seu esboc¸o o ˆangulo de rotac¸ ˜ao θ, os sistemas ortogonais de coordenadas Oxy, O′x′y′ e O′′x′′y′′ e os parˆametros geom´etricos do item (d). 3Quarta Prova de ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - Profa. Gl´aucia A S Miranda 3