P3 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

Universidade Federal de Mato Grosso Faculdade de Engenharia - CUVG Terceira Prova de ´Algebra Linear - 2021/1 - Turma VQ1 PROVA INDIVIDUAL Profa. Gl´aucia A S Miranda DATA: 17/03/2022 Boa prova! As respostas das Quest˜oes 1 a 4 dever˜ao ser enviadas at´e 12:30h (hor´ario de Cuiab´a) de hoje, quinta-feira, 17/03/2022, atrav´es do formul´ario: https://forms.gle/UYVsoNH6un5LFsg29 Enviar somente as respostas no formul´ario, n˜ao ´e necess´ario enviar arquivo PDF com as resoluc¸ ˜oes das Quest˜oes 1 a 4. Sejam M, C, D, U os quatro ´ultimos algarismos do seu n´umero RGA na UFMT, onde U representa o algarismo das unidades, D o algarismo das dezenas, C o algarismo das centenas e M unidades de milhar. Por exemplo, se o seu n´umero de RGA ´e 201921904037 ent˜ao U = 7, D = 3, C = 0 e M = 4. 1ª Quest˜ao: (2 pontos) Considere a cˆonica (ou uma de suas degenerac¸ ˜oes) de equac¸ ˜ao: Ax2 + Bxy + Ey2 + Fx + Gy + H = 0, (1) onde A = (−1)M, B = (−5 − U), E = (−2)D, F = −7, G = (−1)D + M e H = (13 + U). Usando diagonalizac¸ ˜ao de matrizes, obtenha uma mudanc¸a de coordenadas (rotac¸ ˜ao no sentido anti-hor´ario) no plano, {v1, v2}, que transforma a equac¸ ˜ao (1) em: A′x′2 + E′y′2 + F ′x′ + G′y′ + H′ = 0. Os autovetores v1 e v2 (unit´arios) s˜ao respectivamente: . Atenc¸ ˜ao: Se sua resposta contiver n´umeros irracionais, n˜ao fac¸a arredondamentos. Por exem- plo, escreva 1 √ 2 ao inv´es de 0, 707. (Os algarismos U, D e M referem-se ao seu RGA). 2ª Quest˜ao: (1 ponto) Se poss´ıvel, dˆe um exemplo de uma transformac¸ ˜ao linear T : IR3 → IR4 tal que Ker(T) = [(M, 0, U + 2), (−M, M, D)]. 1 (Os algarismos U, D e M referem-se ao seu RGA). 3ª Quest˜ao: (1 ponto) Considere a cˆonica de equac¸ ˜ao: x2 − 2xy + y2 − 2x − 2y + 1 = 0. (2) Atrav´es de uma rotac¸ ˜ao de ˆangulo θ = π 4 no sentido anti-hor´ario, a equac¸ ˜ao (2) transforma-se em: 2y′2 − 2 √ 2x′ + 1 = 0, (3) sendo O′x′y′ o sistema ortogonal de coordenadas rotacionado. Identifique a cˆonica (3) e determine, em relac¸ ˜ao ao sistema inicial Oxy, as coordenadas do(s) foco(s). 4ª Quest˜ao: (2 pontos) Seja T : IRn → IRn um operador linear cujo polinˆomio caracter´ıstico de T ´e: pT(λ) = λ1+D(λ2 − 1)(λ − 2)3. (O algarismo D refere-se ao seu RGA). Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): (i) T ´e transformac¸ ˜ao linear injetora. (ii) A multiplicidade alg´ebrica do autovalor 1, ma(1), ´e igual a 2. (iii) T ´e transformac¸ ˜ao linear sobrejetora. A ´unica sequˆencia correta ´e: (a) V V V (b) V V F (c) V F V (d) F V V (e) V F F (f) F F V (g) F V F (h) F F F 2Terceira Prova de ´Algebra Linear - Profa. Gl´aucia A S Miranda 2 Questoes assincronas referente a Terceira Prova de Algebra Linear - 2021/1 - Turma VQ1 Podera ser resolvida individualmente ou em dupla Profa. Glaucia A S Miranda DATA: 17/03/2022 NOME: RGA: NOME: RGA: Respostas sem justificativas serao desconsideradas. Boa Prova! A resolucao da Questao 5 devera ser enviada até 18h (horario de Cuiaba) do dia 18/03/2022 (sexta-feira), para o e-mail: glaucia.a.s.miranda@gmail.com Enviar em unico arquivo PDF intitulado P3 AL - nome completo (de quem enviar a prova). Nao é necessario digitar nada, mas fagam uma letra legivel, grande e com trago forte. No campo Assunto do e-mail escreva P3 AL - nome completo (de quem enviar a prova). No caso de dupla, escolham um dos RGA’s para reolverem ambas as questoes e enviem uma Unica vez 0 arquivo contendo as resolugdes e os nomes da dupla. Sejam M, C, D, U os quatro Ultimos algarismos do seu numero RGA na UFMT, onde U representa o algarismo das unidades, D o algarismo das dezenas, C' 0 algarismo das centenas e M unidades de milhar. Por exemplo, se o seu numero de RGA € 201921904037 entao U = 7, D = 3, C=0eM=4. 4? Questao: (4 pontos) Em cada item faga o que se pede: (a) (1 ponto) Seja M,;(R) = {A/A é matriz quadrada de ordem 15 com elementos reais} e consi- dere o operador linear: T: M15(UR) —> M5 (UR) A-— At T(A) —> ——. 2 T @ operador linear inversivel? Justifique! (b) (1 ponto) Considere a transformacao linear T : IR’ —> IR? dada por: T(z,y,2,w) =(«+U-y, M-r4+D-2z,w+U-z2). Quais sao os vetores que geram o nucleo de 7, Ker(T)? T é isomorfismo? Justifique! (c) (1 ponto) Todo operador liner T : IR? —> JR? é diagonalizavel? Justifique! 3 (d) (1 ponto) Um operador T : JR” —+ JR” é chamado de operador auto-adjunto se (T]; for uma matriz simétrica, sendo 3 uma base base ortonormal de JR”. Decida se o operador T: R? — R (z,y,z) 3 («@+D-y4+U-2z,-D-41+M-y+42z,U- 2+ 4y 4+ 32) é auto-adjunto. Justifique! (Os algarismos U, D e M referem-se ao seu RGA). 4Terceira Prova de Algebra Linear - Profa. Glaucia A S Miranda 4