Algebra Linear

611 Ache o polinômio característico os autovalores e os autovetores de cada matriz a 1 1 11 0 1 b 1 1 12 4 c 0 1 20 0 30 0 0 d 1 0 01 3 03 2 2 e 2 2 30 3 20 1 2 f 2 2 31 2 12 2 1 612 Ache bases para os autoespaços associados a cada autovalor a 2 0 03 1 00 4 3 b 2 3 00 1 00 0 2 c 1 2 3 40 1 3 20 0 3 30 0 0 2 d 2 2 3 40 2 3 20 0 1 10 0 0 1 613 Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis a 1 41 2 b 1 02 1 c 1 1 24 0 41 1 4 d 1 2 30 1 20 0 2 Exercício 221 1 Determine a matriz TAB sendo T R3 R2 a transformação linear definida por Txyz 2x y z x 2y A 100 2 10 011 e B 1101 2 Determine o operador linear T definido em R2 sabendo que sua matriz em relação à base A 11 12 é 1 01 2 3 Seja T R3 R2 tal que TAB 1 0 11 1 1 sendo A 011 100 101 e B 10 0 1 bases do R3 e do R2 respectivamente a Encontre a expressão de Txyz b Determine o núcleo de T c Determine a imagem de T d T é injetora É sobrejetora 4 Seja T a transformação linear de R3 em R2 dada por Txyz 2x y z x 2y Fixadas as bases A 100 2 10 011 e B 11 01 de R3 e R2 respectivamente e considerando v 1 2 0 R3 a Dê o vetorcoordenadas de v em relação à base A b Calcule Tv c Determine o vetorcoordenadas de Tv em relação à base B d Obtenha a matriz TAB e Calcule o vetorcoordenadas de Tv0 em relação à base B usando a matriz obtida no item d isto é calcule TABvA e compare com o item c 5 A transformação linear T R2 R3 tem matriz TAB 3 12 51 1 em relação às bases A 11 10 do R2 e B 11 1 210 301 do R3 Determine a A expressão de Txy b A matriz canônica de T 6 Sejam A 1 1 0 2 e B 10 1 012 120 bases de R2 e R3 respectivamente e TAB 1 01 10 1 a Determine T b Ache uma base C de R3 tal que TAC 1 0 00 0 00 0 1 Exercícios 1 Em R2 obtenha o vetor projeção ortogonal de u 4 5 na direção de v 1 2 2 Em R3 obtenha o vetor projeção ortogonal de u 1 1 3 na direção de v 0 1 1 3 Dê a componente de u 2 1 1 em R3 ortogonal ao vetor v 1 2 1 4 Determine a projeção ortogonal do vetor u 2 1 3 sobre o subespaço de R3 gerado por S 1 0 1 2 1 2 5 Projete ortogonalmente o vetor u 3 2 1 sobre o subespaço W x y z R3 x y z 0 CEDERJ 170 6 Use o método de ortonormalização de GramSchmidt para obter uma base ortonormal de R3 a partir da base B 1 0 0 0 1 1 0 1 2 7 Obtenha uma base ortonormal de R2 a partir da base B 1 2 1 3 8 Obtenha uma base ortonormal para o seguinte subespaço vetorial de R4 U x y z t R4x y 0 e z 2t A seguir projete o vetor u 1 3 4 2 ortogonalmente sobre U 1 Seja T R² R³ a transformação definida por Tx Ax onde A 1 2 2 1 2 1 Encontre a imagem de u 2 3 0 e u 1 1 1 2 Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma aplicação de R⁴ em R⁶ por Tx Ax 3 Para os valores da matriz A e vetor b nos itens abaixo encontre se for possível um vetor x tal que Tx b a A 1 0 1 2 1 3 b 2 3 b A 11 1 2 5 1 6 b 2 3 2 4 Encontre todos os valores de x R⁴ que são levados no vetor nulo pela transformação x Ax onde A 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 5 Nos itens abaixo use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores u 2 1 v 3 1 Tu e Tv Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de R² a Tx 3 0 0 3 b Tx 05 0 0 05 c Tx 1 0 0 1 d Tx 0 0 0 1 6 Seja T R² R² uma transformação linear Se T 1 0 2 1 e T 0 1 1 3 determine T 2 1 e T x₁ x₂ Exercício 191 1 Seja T R² R a transformação linear para a qual T1 1 3 e T0 1 2 Encontre Tx y para x y R² 2 Um operador linear T definido em P₂R é tal que T1 t² Tt 1 t e Tt² 1 t t² a Determine Ta bt ct² onde a bt ct² é um vetor genérico de P₂R b Determine p P₂R tal que Tp 3 t t² 3 Encontre Tx y onde T R² R³ é definida por T1 2 3 1 5 e T0 1 2 1 1 4 Determine Tx y z onde T R³ R é dada por T1 1 1 3 T0 1 2 1 e T0 0 1 2 611 a pλ detA λI det 1 1 λ 0 det 1λ 1 1 1λ pλ 1λ1λ 1 pλ λ² 2λ 1 1 pλ λ² 2λ para encontrar os autovalores pλ 0 λ² 2λ 0 λλ2 0 λ₁ 0 λ₂2 para achar os autovetores Aṽ λṽ λ0 1 1x 0x x y 0 1 1 y y x y ṽ₁ x 1 1 λ2 1 1x 2x x y 2x 1 1 y y x y 2y x y ṽ₂ x 1 1 b pλ det1 λ 1 2 4 λ pλ 1 λ4 λ 2 pλ 4 λ 4λ λ² 2 pλ λ² 5λ 6 pλ 0 λ² 5λ 6 0 λ₁ 2 λ₂ 3 λ₁ 2 1 1 2 4 x y 2 x y x y 2x 2x 4y 2y x y v₁ x 1 1 λ₂ 3 x y 3x 2x 4y 3y 2x y 0 y 2x v₂ x 1 2 c pλ λ 1 2 0 λ 3 0 0 λ pλ λ³ pλ 0 λ³ 0 λ₁ λ₂ λ₃ 0 λ₁ 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 x y z 0 x y z x 2y 0 3y 0 0z 0 y 0 então x 0 e z indeterminado v z 0 0 1 d pλ 1 λ 0 0 1 3 λ 0 3 2 2 λ 1 λ3 λ2 λ 6 pλ λ³ 2λ² 5λ 6 pλ 0 λ³ 2λ² 5λ 6 0 λ 1λ² λ 6 0 λ₁ 1 λ₂ 2 λ₃ 3 λ₁ 1 1 0 0 1 3 0 3 2 2 x y z 1 x y z x x x 3y y 3x 2y 2z z x 2y 6y 2y 9z z z 83 y v₁ y 2 1 83 λ₂ 2 x 2x x 3y 2y 3x 2y 2z 2z x 0 y 0 v₂ y 0 1 λ₃ 3 x 3x x 0 x 3y 3y y y 3x 2y 2z 3y z 25 y v₃ zy 0 1 25 e pλ 2 λ 2 3 0 3 1 2 0 1 2 λ pλ λ³ 7λ² 14λ 8 pλ 0 λ³ 7λ² 14λ 8 0 λ 1λ 2λ 4 0 λ₁ 1 λ₂ 2 λ₃ 4 λ₁ 1 2x 2y 3z x x 2y 3y 2y y y 2z z y z v₁ y 1 1 1 λ₂ 2 2x 2y 3z 2x x x 3y 2y 2y z 0 y 2z 2z y 0 v₂ x 1 0 0 x d³4 2x2y3z4x x 32 z 3y2z4y y 23 z y 2y 4z 3 z 32 2 1 1 pλ 2λ 2 3 1 2λ 1 2 2 1λ λ³ 5λ² 2λ 8 pλ pλ 0 λ³ 5λ² 2λ 8 0 λ 1λ² 6λ 8 0 λ 1λ 2λ 4 0 λ₁ 1 λ₂ 2 λ₃ 4 xλ₁ 1 2x 2y 3z x x 2y z y x y g 0 2x 2y z z y 0 v₁ g 1 0 1 λ₂ 2 2x 2y 3z 2x x 2y z 2 y y 32 z 0 y 32 z 2x 2y z 2 z V₂ g 1 32 1 λ₃ 4 2x 9y 3z 4x x 2y 2 4 y x 4 y z 0 x 4 y y 52 z 0 y 52 y z y 2x y z 4 z V₃ g 4 52 1 612 Precisamos encontrar os autovalores e autovetores Mesmo procedimento de 611 a det 2λ 0 0 3 1λ 0 0 4 3λ 0 λ³ 4 λ² λ 6 0 λ 1λ² 5λ 6 0 λ 1λ 2λ 3 0 λ₁ 1 λ₂ 2 λ₃ 3 x λ₁ 1 2x x x 0 3 x 4 y y y g 4 y 5 g g V₁ g 0 1 1 x λ₂ 2 2x 2 x 3 x y 2 y x y 4 y 5 g 2 g g 4 y V₂ y 1 1 4 x λ₃ 3 2x 3x x 0 3 x y 3 y 4 y 3 g 3 g z 0 V₃ y 0 1 0 b 2λ 3 0 0 1λ 0 0 0 2λ 0 λ³ 5λ² 8λ 4 0 λ 1λ² 4λ 4 0 λ₁ 1 λ₂ λ₃ 2 x λ₁ 1 2x 3 y x x 3y y y g y g g z 0 V₁ y 3 1 0 λ₂ λ₃ 2 2x 3 y 2 x x x y 2 y y 0 y 0 2 z 2 z z z V₂ V₃ x 4 0 0 g 0 0 1 c 1 λ 2 3 4 0 1 λ 3 2 0 0 3 λ 3 0 0 0 2 λ 0 λ 1λ³ 4λ² λ 6 λ 1λ 1λ² 5λ 6 0 λ₁ 1 λ₂ 1 λ₃ 2 λ₄ 3 λ₁ 1 x 2 y 3 g 4 w x y 3 g 2 w y y 0 3 z 3 w z z 0 2 w w w 0 V₁ 1 x 1 0 0 0 xλ₂ 1 x 2y 3z 4w x x y y 3z 2w y 3z 3w 3 z 0 2w w w 0 λ₃ 2 x 2y 3z 4w 2x y 3z 2w 2y y 23 w 3z 3w 2g z 53 w 2w 2w w w d 21 2 3 4 0 21 3 2 0 λ⁴ 6λ³ 13λ² 19λ 4 0 λ 1λ 2λ 1λ 2 0 λ₁ λ₂ 1 λ₃ λ₄ 2 xλ₁ λ₂ 1 2x 2y 3z 4w x 2y 3 9 9w y y 3 3z w g w 0 w w xλ₃ λ₄ 2 2x 2y 3z 4w 2x 2y 3 9 9w 2y y 0 3 w 2g g 0 w 2w w 0 613 a Para verificar se uma matriz é diagonalizável temos que verificar se todos os autovalores são distintos 1λ 4 0 λ² λ 6 0 1 2λ λ 3λ 2 0 λ ₁ 2 λ ₂ 3 é diagonalizável b 1 λ 0 0 1 λ1 λ 0 2 1 λ λ₁ λ₂ 1 não é diagonalizável c 1λ 1 2 0 λ³ 5λ² 6λ 0 4 λ 4 λλ² 5λ 6 0 1 1 4 λ λ λ 2λ 3 0 λ₁ 0 λ₂ 2 λ₃ 3 é diagonalizável d 1λ 2 3 0 λ³ 2λ² λ 2 0 0 1λ 2 λ 1λ² 1 2 0 0 0 2 λ Cλ 1λ 1λ 2 0 λ₁1 λ₂ 1 λ₃ 2 e diagonalizável 1 T100 21 T010 30 T011 02 21 a11 b 00 a 0 2 a b 1 b 3 a 2 30 c 11 d 01 c 3 c 3 c d 0 d 3 02 e 11 f 01 e 0 e f 2 f 2 TAB a b c d e f 2 3 3 3 0 2 2 Tv 1V₁ 1V₂ T11 11 12 23 TV₂ 0V₁ 2V₂ 011 212 Tv₂ T12 24 xy a11 b12 a b x a 2b y b y x a 2x y Txy Ta11 b12 a T11 b T12 2x y23 y x14 Txy 4x 2y 6x 3y y x 4y 4x Txy 3x 2x y 3 a T011 10 01 11 T100 00 01 01 T101 11 xyz a011 b100 c101 b c a a c x b c y a c z y b x z y Txyz y11 x y z0 1 z y1 1 Txyz z 2y x y b O núcleo são os vetores para que Txyz 00 z2yxy00 z2y xy então o núcleo é formado por vetores do tipo y 1 1 2 c usando teorema do núcleo e imagem dimNúcleo dimImagem dimDomínio 1 dimImagem 3 dimImagem 2 y Imagem R2 d Donete é injetora se o núcleo for 000 Donete é sobrejetora se a imagem contradomínio Logo é sobrejetora e não é injetora 4 a 120 a100b210c011 a2b1 bc2 b2 c5 c0 w 5 2 0 b Tv T120 22014 45 c 45 b111 b201 b14 b29 b1b2 49 d T100 21 T210 30 T011 02 T100 21 b12 b12 b1 b2 1 b2 3 T210 30 b3 3 b3 b4 0 b4 3 T011 02 b50 b5 b6 2 b62 TAB b1 b3 b5 b2 b4 b6 2 3 0 3 3 2 e T4ABvA 2 3 0 3 3 25 2 0 4 9 5 a chamada v1 11 e v2 10 Imagemv1 T11 311122101301 1052 T10 1111 5210 1301 862 xy a11 b10 a b a x b a y a Txy yT11 xyT10 Txy 8x 18y 6x 11y 2x 4y b T10 8 0 6 2 T01 18 11 4 matriz canonica 8 18 6 11 2 4 6 a Ta1 110B b1 1 b2 1 b3 0 Ta2 011B b4 0 b5 1 b6 1 Ta1 b1101 b2012 b3120 Ta1 111 Ta2 b4101 b5012 b6120 Ta2 112 para un vetor qualquer xy xy a11 b02 x a b y x2 Txy xT11 xy2 T02 x111 xy2 112 Txy y2 y2 2x y b Ta1 111 Ta2 112 podemos definir esses dois vetores como componentes do nosso boca Falta apenas um que encontraremos por produto vetorial v 111 x 112 i12 11 j211 k1 11 v 3 3 0 Então a base é 111 112 330 1 projv u uv vv v 4 10 1 4 v 145 12 145 285 2 projv u uv vv v 1 3 1 4 011 025 25 3 projv u uv vv v 1 1 4 1 121 16 13 16 4 projv1v2 u p p a v1 b v2 u p é ortogonal a todo subespaço u p v1 0 u p v2 0 u a v1 b v2 v1 0 u 213 u a v1 b v2 v2 0 v1 101 v2 112 u a v1 b v2 v1 0 u v1 av1 v1 bv2 v1 0 u a v1 b v2 v2 0 u v2 av1 v2 bv2 v2 0 5 2 a 06 a 52 3 0 a 96 0 b v3 p 0 v1 b v2 p 52 101 13213 p 116 13 196 5 x y z 0 para esso plano tenm o vetor normal n 111 projnu U n n n n 321 1 1 1 111 63 111 222 6 B b1 100 b2 011 b3 012 Gram Schmidt V1 b1 100 V2 b2 projv1 b2 V2 b2 Q v1 b2 011 V3 b3 projv1b3 projv2b3 V3 b3 Q v1 32 v2 V3 012 12 v1 V1 V1 v2 V2 V2 v3 V3 V3 v1 100 v2 0 1sqrt2 1sqrt2 v3 0 1sqrt2 1sqrt2 7 Usando GramSchmidt V1 b1 12 V2 b2 projv1 b2 1 6 12 135 V2 21 v1 V1V1 V1 sqrt5 v2 V2V2 V2 sqrt5 v1 1sqrt5 2sqrt5 v2 2sqrt5 1sqrt5 8 x y 0 x y z 2t Um vetor xx2tt x1100 t0021 genérico Base estâo B 11000021 Gram Schmidt V1 1100 V2 0021 0 V2 0021 V1V2 0 v1 1sqrt2 1sqrt2 0 0 v2 00 2sqrt5 1sqrt5 projieso ortogonal projju U v1v1 U v2 v2 2sqrt2 v1 2sqrt5 v2 2242 1 T23 1 2 223 26 4 1 2 10 2 6 8 T1 1 1 1 2 21 1 2 2 34 1 2 11 1 2 1 2 T R4 R6 n 4 dominio m 6 imagem 6 linhas e 4 colunas 3 a 1 0 1 2 1 3 x y z 2 3 x z 2 x 2 z 2x y 3z 3 y 4 2z 3z 3 1 z x 2 z 1 z z b Não é possível pois a matriz A tem dimensão 3x2 sendo impossível multiplicar pelo vetor de ordem 3x1 4 queremos um vetor x a b c d tal que A x 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 a b c d a b c d 0 1 0 b c 2d 0 2 a 2b 3c d 0 3 multiplicando 1 por 12 e subtrair de 3 a b c d 0 a 32 d b c d2 0 b d c 32 d 0 c 32 d x d 32 1 32 1 5 a Tw 3 0 0 3 2 1 6 3 Tv 3 0 0 3 3 1 9 3 b Tw 05 0 0 05 2 1 1 05 Tw 05 0 0 05 3 1 15 05 c Tw 1 0 0 1 2 1 2 1 Tv 1 0 0 1 3 1 3 4 d Tw 0 0 0 1 2 1 0 1 Tv 0 0 0 1 3 1 0 1 e a c b d 1 0 2 1 a 2 b 1 a c b d 0 1 1 3 c 1 d 3 T 2 1 1 3 T 2 1 2 1 1 3 2 1 3 4 T x1 x2 2 1 1 3 x1 x2 2x1 x2 x1 3x2 a a b x 1 3 a b 3 0 1 2 b 2 a 5 T x y 5 2 x y 1 T 1 1 3 0 1 b 1 3 a 5 T 0 1 2 0 0 b 1 2 b 2 T x y 5 x 2 y 2 a Ta bt ct2 aT1 bTt cTt2 Ta bt ct2 at2 b1 t c1 t t2 Ta bt ct2 a ct2 c bt b b a c 1 a 0 b c 1 b c 3 c 1 b 2 pt 2 t t2 3 a b c d e f 1 2 315 a 2b 3 c 2d 1 e 2f 5 a b c d e f 0 1 2 1 1 b 2 d 1 f 1 a 1 c 3 e 7 Txy 1 2 3 1 7 1 xy x 2y 3x y 7x y 4 Txyz ax by cz T111 a b c 3 a 8 T012 b 2c 1 b 3 T001 c 2 Txyz 8x 3y 2z