Apostila_2 0 pdf

EES023 Analise Estrutural I Apostila de Exercıcios Versao 20 Curso de Graduacao em Engenharia Civil UFMG Prof Ramon P Silva e Prof Felıcio B Barros Com a inestimavel contribuicao de Ana Clara Pedras Bueno Ana Luiza Caldeira Karla Fernanda dos Santos Lorena Leocadio Neimar Aparecido da Silveira Filho Thaianne Simonetti de Oliveira Tulio Roberto Eladio Marques Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia de Estruturas Av Antˆonio Carlos 6627 31270901 Belo Horizonte MG Brasil Capıtulo 1 Grau de Indeterminacao Estatica 11 Prova I 0220171 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacao estatica aVınculos V Vınculos externos 3 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das 3 rotulas cada uma entre duas barras 6V 6GL 0 Estrutura isostatica Figura 11 Questao 11a bVınculos V Vınculos externo 9 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 12V 3GL 9 Estrutura hiperestatica grau 9 Figura 12 Questao 11b 1Ana Luiza Caldeira 2 cVınculos V Vınculos externos 3 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 3V 5GL 2 Estrutura hipostatica Figura 13 Questao 11c 12 Prova I 0120182 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indique o grau de indeterminacao estatica aVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 6 provenientes dos 2 quadros fechados Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das trˆes rotulas cada uma entre duas barras 10V 6GL 4 Estrutura hiperestatica grau 4 Figura 14 Questao 12a bVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 provenientes da rotula entre duas barras 4V 4GL 0 Estrutura isostatica Figura 15 Questao 12b 2Ana Luiza Caldeira 3 c Vinculos V Vinculos externos 4 provenientes dos apoios Vinculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras ttt a 4V 5GL1 Figura 16 Questao 12c Estrutura hipostatica 13 Prova II 012018 Para as estruturas abaixo pedese para classificdlas quanto ao equilibrio estatico e quando for o caso indique o grau de indeterminacao estatica aCaso critico apoios alinhados et Estrutura hipostatica wo Figura 17 Questao 13a b Trelicga bidimensional d2 Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 33 Numero de nés n 18 ie eo 30 yo btrenxd nxd18x2 36 Figura 18 Questao 13b Estrutura Isostatica cTrelica bidimensional d2 Numero de reagoes de apoio r 4 Numero de barras b 9 Numero de nés n 6 btr9413 brnxd nxd6x212 Figura 19 Questao 13 Estrutura Hiperestatica grau 1 3Lorena Leocadio 4 14 Prova I 0220184 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacao estatica aCaso Crıtico apoios alinhados Estrutura hipostatica Figura 110 Questao 14a bVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 proveniente da rotula entre duas barras 4V 4GL 0 Estrutura isostatica B C A E A Figura 111 Questao 14b cVınculos V Vınculos externos 7 provenientes dos apoios Vınculos internos 18 provenientes dos 6 quadros fechados Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 25V 3GL 22 Estrutura hiperestatica grau 22 Figura 112 Questao 14c 4Ana Luiza Caldeira 5 15 Prova II 022018 Para as estruturas abaixo pedese para classificdlas quanto ao equilibrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacao estatica a Treliga bidimensional d2 Numero de reagoes de apoio r 4 Numero de barras b 25 Nimero de n6s n 1 BIN Eer br2429 Figura 113 Questao 15a veda dean any POET nx Estrutura hiperestatica grau 1 b Trelicga bidimensional d2 Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 12 Numero de nés n 8 br124315 ie sadeiey eben nxd Estrutura Hipostatica Figura 114 Questao 15b cTrelica bidimensional d2 Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 14 Numero de nés n 8 br144317 Ssbtrsnxd nxd8x216 Figura 115 Questao 15c Estrutura hiperestatica grau 1 6 16 Prova I 012022 Para as estruturas representadas abaixo apresente a classificacéo segundo o equilibrio estatico e o grau de indeterminagao estatica quando houver Lorena Leocddio Ana Clara Pedras Bueno 6 aVınculos V Vınculos externos 5 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 5V 5GL 0 Estrutura isostatica Figura 116 Questao 16a bVınculos V Vınculos externo 6 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 9V 5GL 4 Estrutura hiperestatica grau 4 Figura 117 Questao 16b cVınculos V Vınculos externos 5 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 5V 5GL 0 Estrutura hipoestatica de forma crıtica Embora o numero de vınculos seja igual ao numero de graus de liberdade o apoio movel alinhado a rotula na extremidade direita produz hipoestaticidade de forma crıtica a estrutura Figura 118 Questao 16c 7 17 Prova II 0220167 Para o portico composto apresentado na Figura 119 pedese a Decompor o modelo em estruturas isostaticas o mais simples possıvel b Indicar o procedimento para o calculo das reacoes de apoio para o caso de decom posicao do item a A B C D E F G H Figura 119 Questao 17 a A decomposicao adequada esta apresentada na Figura 120 e consiste em trˆes subestruturas isostaticas A parte superior e dividida no portico triarculado DGHF Na parte inferior ha outro portico triarticulado BEFC e um portico de duas barras ADE b O portico DGHF nao recebe reacoes de apoio de outras estruturas e portanto deve ser o primeiro a ter suas reacoes determinadas apoios D e F Uma vez que VD e HD sao conhecidos as reacoes de apoio do portico ADE podem ser calculadas apoios A e E Por ultimo procedese o calculo das reacoes do portico BEFC utilizando os valores de VE HE VF e HF ja obtidos O procedimento de calculo das reacoes tambem esta indicado na Figura 120 D F 1 2 3 G H A B C D E E F Figura 120 Questao 17 Decomposicao e procedimento para o calculo das reacoes de apoio 7Neimar Aparecido da Silveira Filho 8 Capitulo 2 Vigas 21 Prova I 012018 Para a viga indicada na Figura 21 pedese a As reagoes de apoio b Os diagramas dos esforgos solicitantes c As equacoes dos esforcos solicitantes 60 kN 40 kNm 77a Ds 4m 15m Figura 21 Questao 21 a Reagées de apoio SS Fy 0 Ha 0 0 45 40 x 55 x Rpx40 Rp 140kNt S Fy 0 60 40 x 55 Rat1400 Ra 140KkN t b Diagramas de esforgos solicitantes 80 UH Y Vy B Ly 7 2m 80 AB eee 6 mn pe ep an Vij DM kNm JY 35 Figura 22 Questao 21b Ana Luiza Caldeira 9 c Equagoes Cortante x4m Vx 140 60402 Vx 80 40x kN x 4m Vx 140 604 140 402 Vx 220 40x kN Momento fletor x4m 40 5 9 Ma 45 60x 1402 at M a 45 80x 20x kNm x 4m 40 5 9 Ma 45 60x 1402 140 4 ot S Mx 605 220x 20a kKNm 22 Prova I 022017 Para a viga da Figura 23 que é uma estrutura hiperestatica foi informado o valor da reacao nos apoios A e B Pedese a As demais reagdes de apoio b Os diagramas e equacoées de esforgos solicitantes de toda a viga 40 kN w 20 kNm M A B c th 20kN q 80kN 24m 24m 6m Figura 23 Questao 22 a Reagées no apoio C dom 0 20 x 108 40 x 84 80 x 6 20 x 6 x 3 Mo 0 Mo 0 S Fy 0 20 40 80 20x 6 Ro 0 Ro 60KN t b Diagramas de esforgos solicitantes e equacoes Ana Luiza Caldeira 10 Figura 24 Questao 22b Cortante x 24 m V x 20 kN 24 m x 48 m V x 20 40 V x 20 kN x 48 m V x 20 40 80 20x 48 V x 20x 156 kN Momento fletor x 24 m Mx 20x kNm 24 m x 48 m Mx 20x 40x 24 Mx 20x 96 kNm x 48 m Mx 20x 40x 24 80x 48 20x 482 2 Mx 10x2 156x 5184 kNm 23 Prova I 0120183 Apresentamse na Figura 25 trechos do relatorio do Programa INSANE referente a uma viga Gerber Pedese a Desenho completo do modelo com a geometria vinculacoes articulacoes e carregamentos ativos 3Ana Luiza Caldeira 11 b Esforcos de extremidade de todos os elementos c Diagrama de cortante e momento fletor de todos elementos d Decomposicao do modelo em vigas isostaticas o mais simples possıvel e a descricao do processo de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as vigas sem calculalas Figura 25 Questao 23 Unidades m e kN a Desenho completo do modelo Para o desenho da viga os nos devem ser posicionados de acordo com as coordenadas da lista Nodal Coordinates and Angle Em seguida e possıvel tracar os elementos de barra unindo os nos de acordo segundo a lista Elements Attributes Neste caso sao dados 4 nos que formam 3 elementos de barra conforme mostra a Figura 26 1 2 3 4 10 m 10 m 5 m Figura 26 Questao 23a geometria Os apoios sao definidos na lista Nodal Restraints que define as restricoes dos nos do modelo Neste caso o no 1 possui restricoes ao deslocamento em y e a rotacao em torno do eixo z Sabendo que o sistema INSANE nao define graus de liberdade para o deslocamento horizontal no modelo de viga esta configuracao equivale a um engaste no no 1 Alem disso a restricao ao deslocamento em y do no 3 corresponde a um apoio articulado movel neste ponto Na lista Liberations at Elements Extremities sao especificadas as liberacoes das barras definindo possıveis rotulas Neste caso o elemento 12 possui liberacao para rotacao em torno do eixo z em seu 12 no final o que equivale a uma rotula no no 2 conforme ilustrado na Figura 27 1 2 3 4 10 m 10 m 5 m Figura 27 Questao 23a apoios e rotulas Os carregamentos que atuam na estrutura sao definidos nas listas Nodal Loads e Distribuited Loads on Elements Ressaltase que as cargas nodais sao definidas de acordo com o sistema global de coordenadas As acoes sobre os elementos por sua vez sao definidas pelo sistema local de cada elemento eixo x com origem no no inicial apontando para o no final do elemento Neste caso existe uma carga concentrada na direcao y do no 4 negativa portanto para baixo Alem disso ha uma carga distribuıda no elemento 23 Os valores de A e B na lista Distribuited Loads on Elements indicam distˆancias em relacao ao no inicial do elemento para os quais se definem valores de forcas Force at A e Force at B No presente exemplo como o elemento 23 possui comprimento igual a 10 existe uma carga distribuıda constante atuando em toda a sua extensao O desenho completo do modelo e apresentado na figura a seguir 1 2 3 4 20 kNm 100 kN 10 m 10 m 5 m Figura 28 Questao 23a desenho completo do modelo b Esforcos de extremidade de todos os elementos Os esforcos de extremidade sao indicados na lista Action at Elements Extremities Para cada elemento sao informados os esforcos atuantes nos nos inicial e final de acordo com o sistema de coordenadas local Tomando por exemplo o elemento 12 verificase uma forca vertical de 50 kN positiva portanto para cima e um momento de 500 kNm positivo portanto no sentido antihorario atuando no no 1 No no 2 atua apenas uma forca de 50 kN negativa portanto para baixo Os demais elementos seguem raciocınio analogo resultando nos esforcos a seguir 50 kN 500 kNm 50 kN 500 kNm 50 kN 150 kN 100 kN 100 kN 500 kNm 1 2 2 3 3 4 Figura 29 Questao 23b 13 A inspecao de todos os elementos da Figura 29 juntamente com as reacoes de apoio fornecidas na lista Reactions on Inelastic Supports referentes ao sistema global de coordenadas permite verificar o equilıbrio da estrutura c Diagrama de cortante e momento de flexao de todos os elementos 50 50 150 100 500 500 125 m 1 10m 10m 5m 4 3 2 20 kNm 100 kN 625 DV kN DM kNm pl 2 8 Figura 210 Questao 23c diagramas d Decomposicao do modelo em vigas isostaticas o mais simples possıvel e a descricao do processo de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as vigas sem calculalas A separacao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples e feita atraves das rotulas do modelo Neste caso separase o elemento 12 do trecho 234 Feita a divisao do modelo devese verificar qual elemento precisa receber os chamados apoios fictıcios resultantes da separacao da estrutura no no 2 Neste caso verificase que o elemento 12 e isostatico em razao do engaste Logo um apoio fictıcio fixo deve ser adicionado ao no 2 do elemento 23 Finalmente verificase que o trecho 234 e isostatico garantindo a decomposicao da estrutura em vigas isostaticas mais simples O calculo das reacoes de apoio deve ser iniciado no trecho 234 no qual sao obtidas as reacoes dos apoios 2 e 3 Na sequˆencia as reacoes do apoio 2 sao transferidas com sentidos contrarios para o trecho 12 Por fim calculamse as reacoes no apoio 1 conforme ilustra a Figura 211 Figura 211 Questao 23d decomposicao em vigas isostaticas mais simples 14 24 Prova I 012022 Para a viga Gerber representada na Figura 212 pedese a Decompor a viga no conjunto mais simples possivel de vigas isostaticas b Utilizando a decomposigao apresentada na letra a calcular as reagdes em todos os apoios 50kN 20kNm Y PETE T 25kNm A B c D YE IL 2m 2m 2m 2m Limi 2m 2m Figura 212 Questao 24 a Decomposigao da viga Gerber em vigas isostaticas A decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples é feita através das rétulas do modelo Assim a partir da viga Gerber apresentada em Figura 212 obtémse as trés vigas isostaticas representadas abaixo D 25kNm Ss xe 5 x 20kNm St 50kN a A 3 B 2m 2m fy 2m yf 2m yim 2m 2m sy Figura 213 Questao 24 b CaAlculo das reagdes em todos os apoios Iniciando o cdlculo das reacgdes de apoio pela viga 1 da Figura 213 temse SS Mp 0 25 3 x Rp 0 Rp 8333kNt So Fy 0 Ro Rp 0 Re Rp Rp 8333kN 1 Obtidas as reacoes de apoio nos nos D ec E transferemse as reacdes do né D com sentidos contrarios para a viga isostatica 2 conforme Figura 214 Assim calculando as reacdes de apoio da viga 2 temse Mp 0 2x Ro 20 x 4 x 2 4x Rp 0 Ro 96667kNt So Fy 0 Re t Ro 20 x 4 Rp 0 Rg 8333kN J 4 Ana Clara Pedras Bueno 15 D 25kNm ty AE tS 20kNim wR bee 2m 2m lim 2m 2m Figura 214 Questao 24 Transferindo finalmente as reagdes do né B com sentidos contrarios para a viga isostatica 3 obtém se ao calcular as reagdes de apoio da viga 3 D 25kNm ty A E tr 20kNm 1 R P ke Hz D c Rr 5OkN A J i Re A Gs B So Fy 0 50 Rp R 0 Ra 41667kNt S Ma 0 4x Rp 50 x 2 Ma 0 Ma 66668KNm0 25 Prova I 012023 Para cada uma das vigas abaixo desenhar os diagramas de esforco cortante e de momento fletor yoy Ge A BO OA BOA B Jb J jt sf 1 P ny au A cD Ak 7 eA fe L2 Li2 L2 Li2 L p fh A BA L Figura 215 Questao 25 Tulio Roberto Eladio Marques 16 Sao apresentadas nas Figuras 216 217 e 218 as reacoes de apoio e os diagramas de esforcos solicitantes para cada viga solicitada Figura 216 Questao 25 Figura 217 Questao 25 Figura 218 Questao 25 17 26 Prova I 012023 Para a viga da figura pedese obter a a reacao vertical no apoio em B b as equacoes dos esforgos solicitantes para os trechos AB BC CD e DE AKN 10 KN 2 KNm E E A C D 15m 10m 10m 20m X Figura 219 Questao 26 a Calculo da reagao no apoio B S Mp 0 4x 55 Re x 4 10 3 2x21 0 2 Rg 14kN 1 b Equacao dos esforgos Solicitantes Trecho AB Cortante Vx 4 Vv 4kN Momento fletor Ma 4a Mx 4ax kN m Trecho BC Cortante Vx 10 Vx 10kN Momento fletor Ma 4a 14 x w 15 Mx 10x 21 kN m Trecho CD Cortante Vx 0 Va 0 Momento fletor Ma 10a 21 10 x wx 25 Mx 4kN Trecho DE Cortante Vx 2 x a 35 Vx 2a 7 kN Momento fletor x 7 35 2 Ma 2 x a 35 x 7 4 Mx a 7x 825 kN m Tiilio Roberto Eladio Marques 18 27 Prova I 012023 Utilizando as relacoes diferenciais e integrais entre carga distribuida Jo 2p pL pL esforgo cortante e momento fletor Bf E F construir os diagramas de esforco A ty Cc D LA cortante e de momento fletor para a L L L L L viga da figura Indique todas as con xX 4 tas usadas para obter um diagrama 7 a partir do outro Dado Rg 4pL Figura 220 Questao 27 para cima Calculo da reacgdo no apoio E Fy 0 pL 2p x L 4pL pL Rg 0 Rp 4pL 4 Esforcgo Cortante No trecho AB temos apenas a aplicacéo de uma carga concentrada na ponta do balango e portanto o diagrama de cortante é constante igual a pL No ponto B o diagrama sofre um salto igual ao valor da reacao de apoio resultando em 3pL No trecho BC temos carregamento constante e portanto uma variacéo linear do cisalhamento visto que a derivagdéo do esforgo cortante resulta no carregamento igual ao valor da carga 2pL resultando em um valor igual a pL Nos trechos subsequentes BCDE e EF nao ha cargas distribuidas e portanto o diagrama apenas sofre saltos de valor igual as cargas concentradas aplicadas nos pontos D e F e a reacao de apoio no ponto E Momento Fletor O momento fletor pode ser obtido através da integracaéo da fora cortante Visto que a integral de uma funcao corresponde a Area sob a curva por esta descrita podese construir o diagrama de momentos fletores a partir do cdlculo das areas do diagrama de esforco cortante Como no trecho BC ha carregamento linear o diagrama de momento fletor é quadratico fungao do 2 grau Nos demais trechos o diagrama de esforgo cortante é constante e portanto o de mo mento fletor é linear Deste modo partindo do ponto A onde se sabe que o momento fletor é nulo extremidade livre do balango podese tragar os diagramas completos de esforgos conforme mostrado a seguir DVkN 3pL AM3pLpLxL22pL A MpLx LpL pL v pL ot AMpLx LpL Spl AM3pLx L3pL DMkNxm pL pL2 2 grau pL z 1 grau 2pL2 1 grau Figura 221 Questao 27 Tiilio Roberto Elddio Marques 19 28 Prova I 0120238 Decompor a viga Gerber da figura em vigas isostaticas simples Considere a condicao de carre gamento generico no plano Figura 222 Questao 28 A decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples e feita atraves das rotulas do modelo Assim a partir da viga Gerber apresentada na Figura 222 obtemse as trˆes vigas isostaticas representadas na Figura 223 onde a sequˆencia de solucao tambem esta indicada Figura 223 Questao 28 8Tulio Roberto Eladio Marques 20 Capıtulo 3 Porticos 31 Prova I 0120181 Para o portico da Figura 31 pedese a As reacoes de apoio b Abrindo o quadro fechado na rotula H calcular os esforcos nesta secao c Sem utilizar o equilıbrio de barras e nos deter minar os esforcos solicitantes na secao transver sal S da barra CE indicando a natureza dos mesmos normal compressao ou tracao cor tante positiva ou negativa momento tracio nando ou comprimindo o lado interno do qua dro d O equilıbrio de barras e nos e Os diagramas de esforcos das barras EG e CD Figura 31 Questao 31 a O calculo das reacoes pode ser iniciado em diversos pontos Neste exemplo sera considerado o somatorio de momentos no no C conforme mostra o diagrama de corpo livre DCL ao lado Na sequˆencia e possıvel determinar os valores das reacoes atraves das equacoes de equilıbrio Figura 32 Questao 31a DCL 1Ramon P Silva 21 AC 3 youl 0 3H420x3x50 Ha30KN So Fy 0 20x 350HaHp0 Hg 80kN Ss M 0 B 3 5 5R 20 x 3 x 5 40 60 3 x 50 30 x 5 x 3 0 Ra 47kN ft So Fy 0 4 Ra t Rp 305 0 Rp 103kN 1 30 kNm g Z VNIE F G b Observando 0 DCL da Figura 33 podese 25 m 15m notar que a rétula H ja foi substituida por esforos H 4 de acordo com a sugestao do exercicio Para des Tg Vi cobrir os esforcos em Vy e Ny serao utilizadas as c 1m N equacoes de equilibrio das rétulas Ce F V aa H Cc Ne 5 m Figura 33 Questao 31b Esforgos em H HGF 25 yo 0 25Ny 15Vyr 30 x 25 x 0 HGFEC 5 you 0 50Nq 15Vir 30 x 5 x 5 60 0 25Ny 15Vy 9375 2 kN 50Ny15Vy 315 vo Ny 545 kN te Vy 833 30 kNm c Obtidos os valores de Vu e Nu é possivel Tr E F G encontrar os esforgos na secao S Neste exercicio i 15m a dica é pegar os valores em H e levalos até QQ H 4 i UW S descontando ou adicionando os carregamentos t NE 05m 28 33 KN externos de acordo com o sentido deles Na Figura YM 4 34 Vs Ng e Ms foram arbitrados no sentido s S 545 kN positivo para os esforcos em S N Ho m Figura 34 Questao 31c Equilibrio da segao S S Fy 0 2833 Vs 0 Vg 2833 kN S Fy 0 545 30 x 5 Ng 0 Ng 955KN ft 5 iM 0 545 x 5 2833 x 05 30x 5x 5 60 Ms 0 Ms 2833kNm 22 A correta representacao dos esforcos na secao S e apresentada na Figura 35 NS 955 kN compressao VS 2833 kN negativa MS 2833 kNm comprime o lado de re ferˆencia S 9555 kN 955 kN 2833 kNm 2833 kN 2833 kN 2833 kNm Figura 35 Questao 31c Esforcos em S d Equilıbrio de barras e nos Figura 36 Questao 31d e Diagramas das barras EG e CD 23 Figura 37 Questao 31e barra EG Figura 38 Questao 31e barra CD 32 Prova I 0220172 Para o portico da Figura 39 ja foram informadas as reacoes de apoio Pedese para fazer o equilıbrio de barras e nos explicitando o equilıbrio dos nos C e D 2Ana Luiza Caldeira 24 Figura 39 Questao 32 Enunciado O equilıbrio de barras e nos esta apresentado na Figura 310 Figura 310 Questao 32a Equilıbrio de barras e nos 25 33 Prova I 0220173 A Figura 311 contem trechos de um relatorio do Programa INSANE referente a um portico composto Pedese a O desenho completo do modelo com a geometria vinculacoes articulacoes e carregamentos ativos b A representacao do sistema de eixos locais e dos esforcos de extremidade do elemento 3 4 c Diagramas e equacoes de esforcos solicitantes do elemento 3 4 d Decomposicao do modelo em estruturas isostaticas o mais simples possıvel e descricao do processo de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as estruturas sem calculalas e Abrir o quadro fechado na rotula 4 e calcular os esforcos atuantes em uma secao logo abaixo e logo a direita da mesma indicando os sinais conforme a convencao f Utilizando os resultados obtidos na letra e calcular os esforcos solicitantes que atuam em uma secao localizada nas coordenadas globais x 4 m e y 5 m indicando os sinais conforme a convencao Figura 311 Questao 33 Unidades kN e m 3Ana Luiza Caldeira 26 a Para o desenho do portico os nos devem ser posicionados de acordo com as coordenadas da lista Nodal Coordinates and Angle Em seguida e possıvel tracar os elementos de barra unindo os nos de acordo com a lista Elements Attributes Neste caso sao dados 8 nos que formam 8 elementos No caso do portico plano atencao especial deve ser dada aos sistema de coordenadas local de cada barra x y Tal sistema tem origem no no inicial de cada elemento com eixo x paralelo a direcao da barra Ja o sentido do eixo y e determinado pelo triedro positivo Os eixos locais de cada elemento sao ilustrados na Figura 312 6 5 4 3 2 7 1 8 3 m 3 m 4 m 4 m x y y x y x y xxx x y y x x y y x Figura 312 Questao 33a Nos elementos e sistemas de eixos locais Por conveniˆencia os eixos locais sao indicados na metade de cada elemento Os apoios sao definidos na lista Nodal Restraints que define as restricoes dos nos do modelo Neste caso os nos 1 e 6 tˆem deslocamentos impedidos nas direcoes x e y o que equivale a um apoio articulado fixo Ja o no 8 tem deslocamento impedido apenas na direcao y o que equivale a um apoio articulado movel Na lista Liberations at Elements Extremities sao especificadas as liberacoes das barras definindo possıveis rotulas No caso do portico plano as rotulas devem ser verificadas elemento a elemento com atencao especial aos nos que unem mais de duas barras Neste exemplo as rotulas estao localizadas nos seguintes pontos Nos 2 e 3 do elemento 23 No 4 do elemento 34 No 5 do elemento 45 No 7 do elemento 73 Ressaltase que as rotulas localizadas nos nos 7 e 5 sao excˆentricas ou seja nao separam as trˆes barras que concorrem no respectivo no Apenas 1 grau de liberdade interno e adicionado em razao de cada uma dessas rotulas Logo a barra 32 tem liberdade de giro em relacao ao conjunto 437 Analogamente a barra 45 tem liberdade de giro em relacao ao conjunto 657 A correta definicao das rotulas e mostrada na Figura 313 Os carregamentos que atuam na estrutura sao definidos nas listas Nodal Loads Concentrated Loads on Elements e Distribuited Loads on Elements Ressaltase que as cargas nodais sao definidas de acordo com o sistema global de coordenadas As acoes sobre os elementos por sua vez sao definidas pelo sistema local de cada elemento 27 6 4 3 1 8 3 m 4 m 4 m 2 7 5 3 m Figura 313 Questao 33a Apoios e rotulas No presente exemplo existe uma carga concentrada de 40 kN na direcao x no no 5 positiva portanto para a direita indicada na lista Nodal Loads Alem disso ha um momento concentrado no elemento 34 conforme indicado na lista Concentrated Loads on Elements O valor em A corresponde a distˆancia do ponto de aplicacao do momento em relacao ao no inicial do elemento Logo existe uma momento concentrado de 50 kNm positivo portanto antihorario na metade da barra 34 Ha tambem cargas distribuıdas em 5 elementos conforme indicado na lista Distribuited Loads on Elements Todas elas correspondem a forcas distribuıdas na direcao y sendo necessaria atencao especial aos eixos locais de cada elemento Os valores de A e B na lista Distribuited Loads on Elements indicam distˆancias em relacao ao no inicial do elemento para os quais se definem valores de forcas Force at A e Force at B Logo existem cargas distribuıdas constantes nos elementos 23 e 34 agindo sobre toda a extensao das barras Ja nos elementos 12 45 e 56 existem cargas distribuıdas triangulares Cabe ressaltar que o sistema INSANE define uma carga distribuıda linear caso os valores informados para Force at A e Force at B sejam diferentes entre si O desenho completo do modelo e apresentado na Figura 314 28 4 3 x y 119375 kN 60625 kN 675 kNm 75 kN 75 kN 50 kNm 45 kNm 2 m 2 m Figura 315 Questao 33b 6 5 4 3 1 8 3 m 3 m 4 m 4 m 2 7 2 m 40 kN 45 kNm 50 kNm 30 kNm 30 kNm Figura 314 Questao 33a Desenho completo do modelo b Os esforcos de extremidade sao informados na lista Actions at Elements Extremities definidos de acordo com o sistema local de cada elemento Logo obtemse o seguinte esquema para o elemento 34 c Diagramas do elemento 3 4 29 3 4 60625 14875 1084 9875 675 119375 4 3 4 3 75 DM kNm DV kN DN kN 265 Figura 316 Questao 33c Cortante V x 60625 45x kN Momento fletor x 2 m Mx 675 60625x 225x2 kN m x 2 m Mx 675 60625x 225x2 50 1175 60625x 225x2 kN m d A separacao do portico em estruturas isostaticas mais simples se inicia com a inspecao das rotulas do modelo Neste caso separase o elemento 23 do trecho 437 Da mesma forma separase o elemento 87 do trecho 573 e o elemento 45 do trecho 657 Em seguida devese verificar qual elemento precisa receber os chamados apoios fictıcios re sultantes da separacao da estrutura nas rotulas Neste caso verificase que o trecho 123 tornase isostatico com a colocacao de um apoio fixo fictıcio no no 3 Na sequˆencia o trecho 5437 tornase isostatico com um apoio fixo fictıcio no no 5 mantendose a rotula no no 4 Finalmente o trecho 6578 e isostatico sem a adicao de nenhum apoio O processo de solucao e ilustrado na Figura 317 O calculo das reacoes de apoio se inicia na estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios 1 e 3 Em seguida as reacoes do apoio 3 sao transferidas com sentidos contrarios para a estrutura II na qual sao obtidas as reacoes nos apoios 5 e 7 Por fim transferemse as reacoes nos apoios 5 e 7 com sentidos contrarios para a estrutura III na qual sao calculadas as reacoes nos nos 6 e 8 30 V3 V3 q H H HH Hy CLS ES Of SSE Stay ty ty t Vv V V 4 V6 Vg Figura 317 Questao 33d e Observando o DCL da Figura 318 é possivel notar que a rétula 4 jd foi substitufda por esforgos na barra 45 Neste caso os esforcos V4 e N4 seréo calculados através das equacdes de momento nulo nas rotulas 5 e 7 45 15 x 3 oe V4 x3 x10 Vy75kN 45687 6 yo 725 x 4 100 x 3 30x 5 x 1 75 x 3 Mx 40 v Ng 119375KN 1 31 Ny Ty g 5 40 kN 7 6 8 30kNim LA H00KN LA tos kN Toons kN 4m Figura 318 Questao 33e A correta representacao dos esforcos logo abaixo e logo a direita da rotula 4 é apresentada na Figura 319 Barra 45 N4 119375 kN compressao e V4 75 kN negativa Barra 43 N4 75 kN compressao e V4 119375 kN positiva 119375 kN 119375 kN A 75kN V 4 4 4 3 75 kN 5 Figura 319 Questao 33e Esforcos na rétula 4 f Obtidos os valores de V4 e N4 é possivel encontrar os esforgos na secdo S solicitada Neste exercicio optouse por utilizar o trecho 45687 levando os carregamentos externos com o devido sinal até a secao S Na Figura 320 Vs Ns e Mg foram arbitrados no sentido positivo para os esforgos em 8 Fy 0 Ng 119375 725 1975 0 Ng 150625 kN 1 30 x 6 So Fr 04Vs75 40 1000 Vs 225kN 30 x 6 YoM 0 Ms 119375 x 4475 x 1 40 x 2 x 3100 x 5725x40 v Ms 45kN m 0 32 6 8 4 m 7 5 V4 N4 30 kNm 40 kN 40 kN 100 kN 725 kN 1975 kN 3 m 3 m Figura 320 Questao 33f A correta representacao dos esforcos em S e apresentada na Figura 321 NS 150625 kN compressao VS 225 kN negativa MS 45 kN m comprime o lado de referˆencia S 150625 kN 150625 kN 45 kNm 45 kNm 225 kN Figura 321 Questao 33f 34 Prova I 0220184 Dado o relatorio do programa INSANE na Figura 322 pedese apenas para a barra 12 a Fazer o desenho da barra indicando os carregamentos esforcos de extremidade e sistema de eixos local b Tracar os diagramas dos esforcos normal cortante e momento fletor Nos diagramas de cortante e momento indicar o grau da curva e representar trˆes pontos No diagrama de momento indicar se houver o ponto de tangente nula c Escrever a equacao do momento fletor 4Karla Fernanda dos Santos 33 Figura 322 Questao 34 a Para a representacao da barra 12 devem ser seguidos os mesmos passos da Questao 33 Dessa forma obtemse o desenho completo mostrado na Figura 323 x y 1 2 5 20 120 25833 25833 4 m 50 Figura 323 Questao 34a 34 b Diagramas da barra 12 Diagrama de Normal 25833 Diagrama de Cortante 2º grau 0 x2 V325 50 Diagrama de Momento 3º grau tg 0 em x4 x2M35 120 Figura 324 Questao 34b c Momento fletor Mx 10 ˆx2 0625 ˆx3 35 Prova I 0220185 Para o portico da Figura 325 pedese a Sem realizar calculos apresentar a decomposicao do portico em estruturas isostaticas o mais simples possıvel e indicar o processo de calculo das reacoes de apoio b Sem realizar a decomposicao da estrutura abrir a malha DBC na rotula D e calcular os esforcos atu antes na extremidade D da barra DC e da barra DB c Com base no resultado obtido na letra b calcular os esforcos atuantes na secao S d Fazer o equilıbrio de barras e nos e Tracar os diagramas de esforcos solicitantes normal cortante e momento fletor das barras DC e CB f Dadas as Reacoes de Apoio g RA 45 kN RB 75 kN e HB 160 kN 4 m A B 30 kNm D 3 m 3 m C S 20 kNm 15 m 2 m 40 kN Figura 325 Questao 35 5Karla Fernanda dos Santos 35 a A decomposigaéo do portico em estruturas isostAticas é feita através da inspecao das rétulas do modelo Apés analisar a adequada separacéo Cc das rétulas devese verificar qual barra precisa us py 1 receber apoios ficticios resultantes da separacao da estrutura Neste caso ressaltase que a rotula localizada em D B D é excéntrica ou seja a barra CD tem liberdade q H de giro em relacéo ao conjunto ADB Separando a barra CD do trecho ADB observase que o R AR trecho DCB tornase isostatico com a adicgao de um apoio ficticio fixo em D mantendose a rétula em C Em seguida verificase que o trecho ADB aR é isostatico sem a adicéo de nenhum apoio Cabe R HY v H ressaltar que o apoio em B no qual concorrem 40 D B B duas barras continua presente tanto no trecho DCB quanto no trecho ADB II A decomposicao e o processo de calculo das reagdes de apoio sao ilustrados na Figura 326 O calculo A das reagdes deve ser iniciado na estrutura I na qual sao obtidas as reacdes em D e B Na sequéncia as reacoes em D e B sao transferidas com sentidos Figura 326 Questao 35 a contrdrios para a estrutura II Finalmente sao calculadas as reagdes em A e B na estrutura II 30 kNm C A b Observando o trecho DBC na Figura 327 pode E se notar que a rétula D ja foi substituida por esforgos 40 kN A na extremidade da barra DC Os esforcos Vp e Np serao calculados através das equacdes de momento nulo nas rotulas C e B D Vv B NY 4m Figura 327 Questao 35 b DC yo 0320x3x154015Vpx30 Vp 50kN DCB yo 0 Np x 440 1520x3x1530x4x20 J Np 225kN 7 36 225 kN 50 kN s Ms ID y rNo 4 c Obtidos os valores de Vp e Np é possivel encon Ns trar os esforgos na secéo S A estratégia mais simples Z a consiste em partir do apoio A e levar todos os esforcos a até S fazendo o caminho ADS conforme indicado na A Figura 328 inl 2m Figura 328 Questao 35 c S 0 Fy 0 45 225 V5 0 Vs 225KN So Fr 0 20x 3450 Ns 0 Ng 110kN 0 45 x 2420x 3x 15 4 225 x 2 Mg 0 Mg 45kNm0 A correta representacaéo dos esforcos em S é ilustrada na Figura 329 k 45 kNm 4 225 kN Ng 110kN compressao Hoke C D ow Vg 225kN positiva SEN V 45 kNm Ms 45kN m traci lado de referénci 3 m traciona o lado de referéncia Figura 329 Esforcos em 8 d Equilibrio de barras e nés 225 Cc 225 30 y 50 nat 225 cC Cc tf 50 15m 40 4 S 3m 15m LID 4 B so A 50 225 Lymn 975 509 4 ry tos 225 975 D 110 pi sov yy 25 uo D Bio 4 hho 60 AC 4m 225 B 45 A 160 45 D 90 75 DH 60 R 4 A A 45 Figura 330 Questao 35 d 37 e Diagramas das barras DC e CB D C 20 15 m 40 15 m 225 50 225 50 C 225 DN kN 20 20 50 50 DV kN 525 DM kNm Figura 331 Questao 35 e Barra DC B 30 3m 4m C 50 225 975 50 C B a cos 08 sen 06 a a a 40 50 30 a 225 135 18 265 48 975 50 a 585 78 30 a 40 985 48 30x4 5 24 24 a 192 144 DNkN 265 985 DVkN 48 48 DMkNm 60 Figura 332 Questao 35 e Barra CB 36 Prova II 0120186 Para a estrutura da Figura 333 pedese 6Lorena Leocadio 38 a Decomposicao em estruturas isostaticas o mais simples possıvel b Descrever o processo de solucao a partir da de composicao indicando a sequˆencia e os esforcos transferidos A D E F P C B G Figura 333 Questao 36 a A decomposicao do portico em estruturas isostaticas e feita atraves da inspecao das rotulas do modelo e adicao de apoios fictıcios conforme apresentado nas Questoes 33 e 35 Para o presente exemplo obtemse a seguinte decomposicao D E F P C A D C A C B RC I HC I RD I HD I HD I RD I RC II HC II HA II RA II RA II HA II RA III HA III RC I RC II HC I HC II RB III HB III I II III G Figura 334 Questao 36a b O processo de solucao e iniciado na estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios C e D Em seguida resolvese a estrutura II que recebe as reacoes do apoio D calculadas na estrutura I Na sequˆencia calculamse as reacoes nos apoios A e C Finalmente a solucao e encerrada na estrutura III Neste caso as reacoes do apoio C calculadas nas estruturas I e II sao somadas e transferidas para a estrutura III Alem disso as reacoes do apoio A da estrutura II tambem sao transferidas para essa estrutura Finalmente calculamse as 39 reagoes nos apoios A e B 37 Prova I 012022 Para o portico representado na Figura 335 cujas reacdes de apoio jé séo conhecidas pedese a Abrir o quadro CDFE em uma segao trans versal localizada na rétula E e calcular os 20 KN fn esforgos internos atuantes ferritin b Equilibrio de barras e nds da estrutura E F 10kNm c Tracgar os diagramas dos esforgos normal cortante e momento na barra FD gq 25kNm oy d Tragar os diagramas dos esforgos normal cortante e momento na barra CA 20KN im pp epee ee a dG Or e Obter as equacgées do esforgo cortante e do C D esforco momento na barra CA Dadas as Reagoes de Apoio a Ra 9625 kNt Ha 30 kN ULE Rp 6375 kNt e Hp 5 kN Observagao Em cada diagrama deve ser 30kN fm Hy30kN Hp5 kNAdy p informada uma ordenada e sua respectiva A q posigao no eixo local da barra caso seja uma R49625 KN RB6375 k 4m fungaéo constante duas ordenadas e suas posigdes caso seja uma fungaéao linear e Figura 335 Questio 37 trés ordenadas e suas posigdes para fung6es quadraticas e ctibicas 20 kNm vy vp PET TTT ae s a Abrindo o quadro CDFE em uma segcao f 10kNm transversal na rotula E e adicionando as correspon 25kNm dentes esforcos internos temse o DCL apresentado 4 na Figura 336 Aplicando o equilibrio de momento fletor nas rotulas dos nos C e D obtémse Cc 7 am ie Figura 336 Questao 37 EC Yo Mel 0 3x H250 H 8333kN EFD My 0 3x A 20x 4 2410x2x 1 4X V 0 V5125kN tT 7 Ana Clara Pedras Bueno 40 b Equilıbrio de barras e nos 25kNm C E F 10kNm 30kNm 20 kNm 5125 kN 833 kN 2875 kN 833 kN 45 kNm E 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN F 2875 kN 833 kN 2875 kN 833 kN 45 kNm 45 kNm 2875 kN 833 kN E C 2875 kN D F 20 kNm C D 45 kN 35 kN 2833 kN 2833 kN 20 kNm 2833 kN D 2875 kN 2875 kN 2875 kN 2833 kN 2833 kN 35 kN 20 kNm 6375 kN 5 kN C 5125 kN 833 kN 9625 kN 15 kN 2833 kN 45 kN A C 9625 kN 30 kN 9625 kN 15 kN D B 10kNm 40kN 6375 kN 5 kN 5 kN 6375 kN 20 kNm 45 kNm 20 kNm Figura 337 Questao 37 c Diagramas dos esforcos normal cortante e momento da barra FD estao apresentados na 338 d Diagramas dos esforcos normal cortante e momento da barra CA estao apresentados na 339 41 2875 kN DN kN DV kN DM kNm 229 kN Yj a Cf F Y 1OkN Vi j Tom GY J Yj j ie WY o V1 Va 2833 kN 4 2875 2833 2875 kN Figura 338 Questao 37 9625 kN DN kN DV kN DM kNm t 15 KN jj e y 3 grau v3 Ye ee BY 012 Y Cet 2 grau 7 J a Vi Dh 30kNm 4 Go kn 9625 30 9625 kN Figura 339 Questao 37 e Tomando x igual a zero na extremidade do nd Cconforme Figura 340 a equacdéo do esforco cortante da barra CA é dada por 9625 kN t 15 kN 2 Va 154 Vx 15 5a y10x i Ill Fazendo Vx igual a zero obtémse Vr 0 15 5a 0 00 34 Vv3 Figura 340 Questao 37 Do mesmo modo temse que a equacéo do momento fletor da barra CA é 10x 5a Ma 15a 5 Mx 15e 42 Assim tomando x 3 temse que o momento fletor maximo na barra CA e dado por Mmax M 3 15 3 5 33 3 Mmax 10 3 38 Prova II 0120228 Para o portico composto representado na Figura 341 apresente a decomposicao nas formas mais simples possıveis e indique o procedimento de solucao para o correto calculo das reacoes de apoio A B C D H G E F Figura 341 Questao 38 A decomposicao do portico em estruturas isostaticas e feita atraves da inspecao das rotulas do modelo e da adicao de apoios fictıcios conforme ja apresentado em questoes anteriores O presente portico tem a seguinte decomposicao conforme Figura 342 E F G E D H I II D A H III IV G C B H HE I RE I RE I HE I HG I RG I HH II RH II HD II RD II RD II HD II HH III RH III RG I HG I RH II RH III HH IIHH III Figura 342 Questao 38 O processo de solucao iniciase pela estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios E e G Posterior mente resolvese a estrutura II que recebe as reacoes do apoio E calculadas na estrutura I e transferidas com sentido contrario Assim calculamse as reacoes nos apoios D e H As reacoes obtidas para o apoio D na estrutura II sao transferidas para a estrutura III com sentido contrario Em seguida as reacoes dos apoios A e H sao calculadas Por fim calculamse as reacoes dos apoios B e C da estrutura IV que re cebe as reacoes do apoio G obtidas na estrutura I e da soma das reacoes do apoio H obtidas nas estruturas II e III 8Ana Clara Pedras Bueno 43 39 Exame Especial 012015 Dado o portico triarticulado da Figura 343 pedese a Calcular as reagdes de apoio 50 kN 100 kN 40 kNm 25 kNm b Apresentar o equilfbrio de barras e nds 20 kNm C tm PD c Esbogar os diagramas de esforos soli 5 citantes da estrutura completa a d Apresentar as equagoes dos esforos so g y SU Nan licitantes das barras AC e CD 5 A Observagéo indicar claramente na fi rs m 2m 3m gura o lado de referéncia e as varidveis usa das nas equagoes Figura 343 Questao 39 xr A Figura 344 apresenta as reacdes de apoio no D sentido considerado positivo As linhas tracejadas 7 lL representam o lado de referéncia para o calculo i I dos esforos solicitantes em cada barra I s A NB Up Tr Por fim também sao apresentados os sistemas de ASS referéncia utilizados nas equacées dos esforcos soli Ha t citantes nas barras A varidvel x indica a posicéo f em cada barra Vs Figura 344 Referéncia a Calculo das reagoes de apoio BD 5020x3 2 yu 03 3Hp 20x 3x 15 OOH 2 3 2 39 D 2 3 Hp 60kN 50 20 x 3 HW 0 Ha Hp 3020 x 35 0 v Hy 75kN 50 20 x 3 2 SoM 0 Vp x8 Hy x 14203 15 10 PIS 310 30x 4100 x52550x340x3x150 J Ve 63125kN ft SV 0 Va Ve 40 x 350 1000 J Va 206875 kN 7 Neimar Aparecido da Silveira Filho 44 b O equilıbrio de barras e nos e apresentado na Figura 345 Para barra inclinada AC e necessario decompor as solicitacoes nas suas direcoes normal e transversal 40 kNm 50 kN 100 kN 25 kNm 30 kN 20 kNm 50 kNm A D C B CC D 2 m 206875 75 86875 140625 75 140625 140625 86875 36875 75 75 75 140625 36875 45 63125 63125 63125 45 45 63125 45 60 63125 A C 144 kNm 192 kNm 2105 64125 7875 1145 Figura 345 Questao 39 b c Os diagramas de esforcos solicitantes estao apresentados na Figura 346 63125 A D C B 2105 1145 75 45 DN kN A D C B DV kN 64125 7875 36875 63125 45 60 A D C B DM kNm 14278 445 140625 214375 189375 39573 161 445 2 161 Figura 346 Questao 39 c 45 d As equacoes para os esforcos normais nas barras sao NAC 210 192x kN NCD 75 kN se 0 x 2 45 kN se 2 x 5 NDB 63125 kN Para o esforco cortante nas barras as equacoes sao VAC 64125 144x kN VAC 0 x 445 m VCD 36875 kN se 0 x 2 63125 kN se 2 x 5 VDB 45 20x 10x x 2 45 20x 5x2 kN VDB 0 x 161 m Por fim as expressoes para o momento fletor nas barras sao MAC 64125x 144x x 2 64125x 72x2 kN m Mmaxx 445 14278 kN m MCD 140625 36875x kN m 0 x 2 214375 25 63125x 2 kN m 2 x 5 Mmaxx 2 214375 kN m MDB 45x 20x x 2 10x x 2 x 3 45x 10x2 5 3x3 kN m Mmaxx 161 39573 kN m 310 Prova I 01202310 Calcular os esforcos solicitantes nas secoes S1 e S2 do portico plano da fi gura Indicar claramente a convencao de sinais adotada Dado RC 7075 kN para cima Obs o lado de referˆencia para o mo mento fletor e indicado pela linha tra cejada na Figura 347 Figura 347 Questao 310 10Tulio Roberto Eladio Marques 46 Calculo da reagao no apoio A So Fy 0 Ra 200 x 40 Ro 15 x 060 Ra 1825KN t So Fy 0 Ha 200 15 x 080 Ha 320kN Esforcgos Solicitantes na Segao 1 Cortante V15x0 Vx 90kN Normal N15x08 Nx 120KN tracao Momento fletor Ma 1 x 15 x 08 05 x 15 x 06 Mx 165 kNm Esforcgos Solicitantes na Secao S82 Cortante V 3220 Vx 120 kN Normal N 1825 Nx 1825 kN compressao Momento fletor Ma 2 x 32 20 x 05 Mx 540 kNm 311 Prova II 012023 Para o portico composto da figura pedese 200 kN 25 kNm a Decompor a estrutura em porticos isostaticos simples rr Cc D E b Usando a decomposigao do item a calcular as reagoes nos apoios A Ge B E t 1 A 4 G 30 kNm 30 KNm ee Oe Figura 348 Questao 311 Talio Roberto Eladio Marques AT a A decomposigéo do pértico 25 kNm 25 kNm em estruturas isostaticas é feita itt itty através da inspecéo das rétulas rae Eran do modelo e da adigaéo de apoios ccd Ho 2777 i ae ficticios O presente pértico tem a if aot seguinte decomposicao conforme Fi B Re F 200 kN wo gura 349 Ps kim A Y RY Ro y G 30 kNm Hot t te 30 kNm c ID E H Figura 349 Questao 311 b O calculo das reagées de apoio se inicia pelos pérticos secundarios que sao simétricos AB 30 x 4 2x4 So Ms 0 a x4 PRI CKD gy s00KN H Por simetria Hg 400kN Continuando 30 x 4 Fr 0 He 0x4 H0 Hl 200kN 30 x 4 2x4 SMe 04 Ra x 4 Ha x 7 PY OXY 4 5 4 25 x4 x2 0 J Ra 650kN tT Por simetria Rg 650kN t Continuando So Fy 0 Ro 25x 4 Ra0 2 Ro 350KN tf Por simetria Rj 350kN t Quanto ao portico central as equacées de equilfbrio fornecem So Fr 0HyHoOHp0 Hy 00kN So Fy 0 Ry 3535 200 25x 40 2 Ry 370KN tf Por simetria My O0kNm 48 312 Prova II 01202312 Para o portico plano da figura dados HA 44 kN RA 16 kN e RC 58 kN pedese a Desenhar o diagrama de equilıbrio de barras e nos b Desenhar os diagramas de esforcos so licitantes para a barra AB Figura 350 Questao 312 a Equilıbrio de barras e nos Figura 351 Questao 312 12Tulio Roberto Eladio Marques 49 b Diagrama de esforcos da barra BC Figura 352 Questao 312 50 Capitulo 4 Arcos 41 Prova II 012018 Para o arco apresentado na Figura 43 cuja geometria é dada pela Equacao 41 pedese o calculo dos esforgos solicitantes na segao S momento fletor cortante e normal indicando os sinais de acordo com a convencéo Para o momento fletor considerar como referéncia o lado interno do arco y 02 2 41 20 kNm S C y 16 of A x B 5 ST oT A A Vv V lm lm 6am lm oe Figura 41 Questao 41 A solugao se inicia com o calculo das reacdes de apoio 20 x 8 BC yo 0 80x220x1x05Hpx160 Hg 9375kN Fy 0 Ha 9375kN Na sequéncia é feito o equilibrio na secao 5 conforme mostra a Figura 42 Lorena Leocddio 51 20 N 9375 sen yyyery y S 9375 o a V A 9375 cos a 60 Zoe 60 cos a 60 80 201 60 9375 v t 1m lm Figura 42 Questao 41 Equilfbrio Os valores de sen a e cosa sao obtidos através da equacaéo do arco dy te a 02xr1 gla a 2a sena 0514 tg a5 02x 2106 8 e2 ae 0857 De posse dos valores de sena e cosa obtémse os esforgos na seao solicitada So Fy 0 60 x sena 9375 x cosa Ng 0 Ng 11118kN compressao S 0 Fy 0 60 x cos 9375 x sena Vg 0 Vg 323KN positiva Mz 0 80 x 2 9375 x 16 20x 1x 05 Ms 0 Ms 0 42 Prova II 022018 Para o arco apresentado na Figura 43 cuja geometria é dada pela Equacao 42 pedese o calculo dos esforgos solicitantes na segao S momento fletor cortante e normal indicando os sinais de acordo com a convencéo Para o momento fletor considerar como referéncia o lado interno do arco Dadas as reacoes de apoio Ra54kNt Rp 66kNt H 4125 kN area a 4 5 8 20 kN 40kN 42 Y a5 tT 5 42 J 4m A B sm ples m Figura 43 Questao 42 Lorena Leocddio 52 Os esforcos sao obtidos a partir do equilibrio da segéo S conforme mostra a Figura 44 10 3 M wN G 4125 sena N 20 S 4125 pA oY A vj 4125 cosa 24 sen q 24 cos a 24 336m Nl 54 2010124 4125 a al ul Lea 2m pa im Figura 44 Questao 42 Equiltbrio Os valores de sen a e cosa sao obtidos através da equacaéo do arco tg a 8 8 a 2 2 25 5 sena 0539 tg 2 064 8 Meas er 0842 A coordenada y na secaéo S é dada por 4x9 8x3 336 US 95S Finalmente de posse dos valores de sena e cos obtémse os esforgos na secao solicitada S For 0 24 x sena 4125 x cosa Ng 0 v Ng 4767kN compressao So Fy 0 24 x cosa 4125 x sena Vg 0 J Vg 203 kN negativa S Mz 0 54x 3420x1410 x 1x 05 4125 x 336 My 0 v Mg 160kN m comprime o lado de referéncia 53 43 Prova II 012022 Determinar a forma do arco correspondente a linha de press6es para o carregamento e a geometria da Figura 45 Considere a simetria do arco e lembrese que a presenca da forca concentrada define uma mudanga na descricéo da geometria do arco 50kN 50kN 10kKN m Oo C 5 i A oB i my 4m ple 4m lt mi Figura 45 Questao 43 Para determinacéo da forma do arco podese partir do esquema apresentado na 45 onde A B e C representam pontos das extremidades e do centro do arco respectivamente Assim a solucdo se inicia pelo calculo das reacdes de apoio verticais V4 Vp 10 x 5 50 100 kN7 Em seguida como o ponto C esta situado na linha de pressao do arco para determinar a reacao de apoio horizontal podese fazer equilibrio de momento fletor em C temse portanto AC yo Mol 0 100 x 5 10 x 5 x 25 50 x 4 H x 3 0 v Hf 5833kN Assim a expressao geral de momento fletor pode ser escrita como 10x M 5833y 100x 50 1ps1m 9 20 Finalmente para determinar as expressGes que descrevem a geometria do arco devese isolar y na expresséo acima Avaliando x 1m da esquerda para direita temse y 52 1002 00875x 1714 5833 Avaliando agora 1m x 5m da esquerda para direita temse 1 Y say 52 50x 50 00875x 0857x 0857 5833 3 Ana Clara Pedras Bueno 54 44 Prova II 022016 Para o arco apresentado na Figura 46 calcule os esforcos solicitantes na secao S localizada a 45 do apoio C 4 kNm B A S o Zz 6 45 6 45 C Figura 46 Questao 44 Inicialmente é necessdrio determinar as reagdes no apoio C alternativamente a solucéo também é possivel partindo do apoio A Temos que CB 4 kNm M 0 2M tty 20 Vo x 200 He x 204x 20x 0 a 8 Sy SM F 0 Vo x 20 20 cos 45 He20 sen 45 ZF 20 20 cos 45 4 x 0 b 45 2 C Se Ho e a solugao do sistema de equagées formado por a e b resulta em f Vo Hg 48284kN Vo 88284 kN ft Partindo do apoio C os esforgos horizontais e verticais na g secao S sao A 48284 kN 45 Hg 48284kN bosses kN Vg 88284 4 x 20 20 cos 45 64852 kN 7 45 Decompondo essas forgas nas direcdes normal e transversal a secao S obtemos o esforco normal Ng e o esforco cortante Qs 8 atuantes na secao Kh S S NS Ng 48284 sen 45 64852 cos 45 80kN C b Qs 48824 cos 45 64852 sen 45 11716kN 45 Neimar Aparecido da Silveira Filho 55 Por fim o momento atuante na secao S e MS 88284 20 20 cos 45 48284 20 sen 45 4 20 20 cos 452 2 234312 kN m O sinal negativo de MS indica tracao nas fibras superiores do arco 56 Capitulo 5 Grelhas 51 Prova II 012018 Para a grelha apresentada na Figura 51 pedese a As reagoes de apoio b O equilibrio de barras e nds c Os diagramas de esforgos solicitantes de todas as barras Z z y 4kNmm q q 80k 80 kN x c y 4kNmm A D if iskwm ss D 15kNm i x 40 kN AO KN I Cc 3m a 2m A con 12kNm B 15kNm 12kNm q 15kNm B 2m 2m 4m a perspectiva b planta Figura 51 Questao 51 a Calculo das reagées de apoio Yo Me 0 Ra x 4415 x5 x 280 x 4120 v Ra 4550kN Yo M 0 Re x4 4455x1415x5x2540x24x 415 0 Rg 305kN 0 F 0 Rat Rp t Ro 15x 540800 v Ro 1380kN 8 Lorena Leocadio 57 b Equilıbrio de barras e nos D B A C 264 12 455 kN 15kNm B 1205 90 249 305 15 320 320 1205 C 130 16 16 80 320 320 50 320 80 16 C 50 16 320 320 90 320 249 α α α 1992 1494 256 192 B A 455 1205 96 72 B 264 4054 72 80 4 40 Figura 52 Questao 51b c Diagramas de todas as barras 72 AB BC 320 320 264 DT kNm DM kNm DV kN CD 16 1205 90 80 455 50 1606 4054 151 84 16 Figura 53 Questao 51c 58 52 Prova II 022018 Para a grelha apresentada na Figura 54 pedese 4m 4m a As reagoes de apoio r1 p A 4kNmm D B b O equilibrio de barras e nds 10kNm c Os diagrama de esforgos solicitantes de to y 0 das as barras Pa A 5m Zz Dados 25m 15kNm 80 KN G cr cos 08 sen0 06 2m 2m Figura 54 Questao 52 a Calculo das reagées de apoio Yo Mr 0 80 x 5415 x 4x 5440 x 25 10 x 08 Ro x544x80 Ro 800KN YIM 0 80x 2415 x4 x440x 4410 x 06 Rp x 88 x 60 J Re 2475kN SF 0 8 2475 40 80 15 x 4 Ra 0 v Ra 1275kN b O equilibrio de barras e nds estdé apresentado na Figura 55 c Os diagramas de esforgos em todas as barras estéo apresentados na Figura 56 Lorena Leocddio 59 51 4 32 150 12 A 6 D 16 51 16 99 1275 2475 12 150 32 1275 1275 16 99 4 2475 2475 16 B 8 40 0 144 28 130 15 F E 22 130 144 50 28 14 80 50 C 14 15 22 8 Figura 55 Questao 52b 16 DT kNm AD DM kNm DV kN 51 1275 16 99 2475 150 144 32 70 62 12 28 zero 50 80 130 725 zero 8 22 05 1467 m 75 213 1467 m 14 DB DE FE EC Figura 56 Questao 52c 60 53 Prova II 0120223 Para a grelha representada na Figura 57 pedese a Equilıbrio de barras e nos b Diagramas de esforcos solicitantes da barra EF indicando um dois e trˆes valo res para diagramas constantes lineares e quadraticos respectivamente Observacoes A barra EF esta submetida a uma forca distribuıda de valor 15kNm e a um momento de torcao distribuıdo de valor 30kNmm Reacoes de apoio fornecidas todas positivas segundo eixo z RC 88125 kN RD 625 kN RF 21875 kN x y z D A B E F C 30kNmm 30kN 15kNm 15kN 30kNm 15kNm 15kNm 2 m 2 m 15 m 2 m 30kN 15 m 075 m Figura 57 Questao 53 a Equilıbrio de barras e nos 5125 kNm 14625 kNm D A E F C 30kNmm 30kN 15kNm 15kN 15kNm 15kNm 88125 kN B 58125 kN 30 kNm B 15625 kN 553125 kNm 5125 kNm 30625 kN B 30kN 5125 kNm 60 kNm 60 kNm B 3250kN 95 kNm 6250kN E 553125 kNm 15625 kN 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm 21875 kN E 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm B 58125 kN 3250kN 95 kNm 14625 kNm 30kN 30kN 60 kNm 30625kN 5125 kNm 60 kNm Figura 58 Questao 53 3Ana Clara Pedras Bueno 61 b Para facilitar o desenvolvimento dos diagramas de esforcos solicitantes da barra EF devese decompor os esforcos nas extremidades da barra das coordenadas globais para as coordenadas locais da barra Assim temse 2 m 15 m x y x y α 553125 cos α 331875 x y x y α 5125 sen α 41 5125 cos α 3075 F 30kNmm 15kNm 21875 kN E 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm 553125 553125 sen α 4425 5125 F 30kNmm 15kNm 21875 kN E 15625 kN 75 kNm 78125 kNm 2 m 15 m Figura 59 Questao 53 Representando a barra EF e suas solicitacoes no plano XY temse DV kN DM kNm DT kNm 15 kNm 30 kNm E F 75 kNm 78125 kNm 15625 kN 21875 kN 21875 15625 78125 1595 75 10417m 15625 Figura 510 Questao 53 62 54 Prova II 022016 Para a grelha apresentada na Figura 511 pedese a Calcular as reagdes de apoio indicando o sentido b Apresentar o equilibrio de barras e nos c Apresentar os diagramas de esforgos solicitantes em todas as barras ze c 5dkNm p 5 kNm y F a vi 1 Ww fakNmm 5 0kN ay Cc D o RS A A 10kN B it 15 kN y B15 kNm I 4m 3m a perspectiva b planta Figura 511 Questao 54 a Calculo das reagoes de apoio So F03Va105x30 V4 25kN 0 Yo Me 0 Mj 10 x24x 35 x 3x 44320 MA1145kNm J M 0MA155x3x30 MA30kN A b O equilfbrio de barras e nds estaé apresentado na Figura 512 ia cle 6 5 kNm 15 MI3MOOOOeK C D O15 225 225 225 f 15 cH Y r 4kNmm B 1145 345 345 t 15 15 30 a 10kN Bp 30 15 O o B 15 km 25 15 345 30 Ls Figura 512 Questao 54 b Neimar Aparecido da Silveira Filho 63 c Os diagramas dos esforgos nas barras estaéo apresentados na Figura 513 DT kNm DV kN DM kNm 1145 A B A ip A Lo 15 45 B C B C B C 315 225 5 5 C D C D C D Figura 513 Questao 54 c 55 Prova II 012011 Para a grelha apresentada na Figura 514 pedese a Calcular as reagdes de apoio indicando o sentido b Apresentar o equilibrio de barras e nos c Apresentar os diagramas de esforgos solicitantes em todas as barras Cc y ah 2 Le 2 50 kN vw Cc 50kN z 1D Ne A 40 kN 7 a 40 kNm 7s E M4 Pitne Cd A OS D B 4m 4m a perspectiva b planta Figura 514 Questao 55 a Calculo das reagoes de apoio Yo Me 04 Vo x 350 x 15 0 Vo 25KN 0 4 YIM 0 Vo x 8 Vo x4 40 x 4x 5 15 x3450x 6 0 Vp 70625 kN So F03VaVotVp40x4500 V4 114375 kN b O equilibrio de barras e nds esta apresentado na Figura 515 Neimar Aparecido da Silveira Filho 64 40 kNm A B 114375 45625 1375 B 45625 1375 45625 1375 45625 1375 45625 1825 B C x y z 136875 C 45625 1825 25 1825 136875 15 kNmm 20625 136875 20625 136875 50 kN 1825 70625 C D 20625 50 kN 228125 70625 C D Figura 515 Questao 55 b c Os diagramas dos esforcos nas barras estao apresentados na Figura 516 A B C D C B A B C D C B A B C D C B DT kNm 1825 1375 15 DV kN DM kNm 136875 114375 45625 45625 20625 70625 2859 m 228125 2859 m 1375 Mmax16352 1765625 40 Figura 516 Questao 55 c 65 56 Prova II 012023 Para a grelha da Figura 517 pedese 52 obter A y a As reagées de apoio AO kN B 50 kNm b Os diagramas de esforgos solici 20 kNim tantes de todas as barras ho 10 kNmm x A D Cc Avy B N 40 kN 50 kNm N Cc A 10 kNm De ty a PP PDP x l 4m ap 4m Figura 517 Questao 56 a Calculo das reagoes de apoio Yo Mz 0 5040 x24 Rp x410x40 Jv Rp 250kN 0 Yo M 0 94x 40 20x 4x 6 Rp x4 Ro x80 Ro 8125kN SF 0 40 20x 4 Rat Re Ro 0 v Ra 4125kN b Diagramas de todas as barras Barra AD You 0410x4470 Eizo v PT40kNm 0 4125 x 4 M 0 M165kNm F 0 RaV0 V 4125kN Tiilio Roberto Eladio Marques 66 t X pp sep oe nO ay oe T fo P 4125 Vv 4m DV kN DM KNm ki Y Y a 1650 Figura 518 Questao 56 Barra DC You 07T0 T00 YIM 0 8125 x420x4x2M0 M165kNm SF 0 8125 20x4V 0 o V125kN M 16502 20 x 478 M1255kN 20 kNmm Zz CL i ft f exe 4m DV KN 125 ddd 8125 DM KNm CMO 1650 DT KNm nulo Figura 519 Questao 56 67 Barra DB M 0T0 Eizo T00 YoM 0 40x 225 x 4450M0 M400kNm SF 0 2540V 0 v V425kN Z M 40 kN A tc qT t D 50 kNm B V 25 l 2m we 2m 425 COTY 400 DV KN WEY poco ee 25 400 50 D M Wb zee KNm LEY GJ 450 1063 m DT nulo kNm Figura 520 Questao 56 68 4 Capitulo 6 e Trelicas 61 Prova II 012018 Para a trelica apresentada na Figura 61 pedese a Utilizando 0 método das segoées calcular o esforgo normal na barra CD b Preencher a tabela a seguir calculando os esforgos nas demais barras pelo método dos nés CompTragio AB LO 40uN Bo cD TK im DE INVA on f P por 2 u BHO Po Figura 61 Questao 61 PIN PoON of A ee lb a Fazendo um corte nas barras IJ NJ e CD apre i Nu sentado ao lado é possivel calcular o valor de Nep da Nyy seguinte forma 4m N S My 0 Nep x 440 x 55 20 15 0 A C Non Nep 475 kN T ty kN 1 kN 4m 15 m Figura 62 Questao 6la Lorena Leocadio 69 b Analisando o né G ilustrado na Figura 63 verifica x se a presenga de uma barra GB néocolinear a duas Non barras colineares AG e GH Neste caso as normais G Neu e Nag sao iguais entre sie Ngp é nula Non SS Fy 0 New 0 Nac SS Fy 0 Neu Nac 0 Figura 63 Questdo 61b N6 G Neo Nac Procedendo de maneira andloga na metade esquerda da estrutura temos Nes Neu Nuc Nnu Nin 0 Nac Neu Nar Nis Nwno Nuns Nap Nes Desse modo as demais barras solicitadas no enunciado podem ser calculadas utilizando apenas o equilfbrio dos nés Ce A Fazendo o equilibrio do né C New sena 0936 cosa 0351 Nc a C 47 SKN S Fy 0 Non x sena 20 0 Non 21368 kN 20kN Fy 0 Now x cosa 475 Ngo 0 Figura 64 Questaéo 61b N6 C Neo 550kN Nac Fazendo o equilibrio do né A 0 sen 0588 cos 0809 du 6 6 t S 0 Fy 0 Nag x sen 40 0 40 kN Nag 68027kN Figura 65 Questao 61b N6 A Os esforcos de todas as barras solicitadas no enunciado séo apresentados na Tabela 61 Tabela 61 Questaéo 61 Esforcgos nas barras Barra Esforgo kN ComprTragao Barra Esforgo kN ComprTragao AB 550 Tracao IJ 68027 Compressao BC 550 Tracao GB 0 CD 475 Tracao BH 0 DE 550 Tracao HC 0 DF 550 Tragao HN 0 AG 68027 Compressao IN 0 GH 68027 Compressao CN 21368 Tracao HI 68027 Compressao NJ 21368 Tracao 70 62 Prova II 0120222 Para a trelica representada na Figura 66 pedese a Marque na folha da prova as barras com esforco nulo b Usando o metodo das secoes calcular os esforcos nas barras JH HI e GE Indicar se o esforco e de tracao ou compressao c Usando o metodo dos nos calcular os es forcos nas barras ON e OM Indicar se o esforco e de tracao ou compressao A B D C E F G H 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 20 kN 20 kN 20 kN J K I 3 m M L 30 kN 30 kN 3 m 3 m 3 m N O Q P R 4 m 30 kN 200 kN 120 kN 1120 kN 920 kN Figura 66 Questao 62 a Como as barras QR e QORO e RP PO e PN sao barras nao colineares sem forca apli cadaem seus respectivos nos o esforco normal destas barras e nulo Como no no M ha duas barras colineares MO e MI e uma barra nao colinear MN sem forca aplicada a barra nao colinear MN pos sui esforco normal nulo De modo analogo temse respectivamente para os nos G C e K as barras GH CD e KI com esforco normal nulo R Q O O P R N O P nulo nulo nulo nulo nulo nulo Figura 67 Questao 62 N M I O nulo E G I H D C E A nulo nulo nulo K I N L Figura 68 Questao 62 2Ana Clara Pedras Bueno 71 Ao analisar o no B temse um apoio articu D lado mével e por isso néo ha reagao horizontal Como a reacao vertical do apoio é colinear com a barra BD temse esforgo normal nulo na barra AB A tulo B A Portanto as barras QR QO RO RP PO PN MN NI GH CD e AB possuem esforgo 920 kN normal nulo Figura 69 Questao 62 b Fazendo um corte horizontal nas barras GE r 3m a 3m a 3m t am 7 HE e HF como representado na Figura 610 é R p K possivel calcular o esforgo normal na barra GE x Ee 30KN F Assi licand ilibrio d fl ssim aplicando 0 equilibrio de momento fletor no t 20KN t no H temse Q O M J 7 S Mu 0 Negx330x430x8200x9 0 200 kN G He conn t oe NGE 720kN C E EO F Y Figura 610 Questao 62 Fazendo agora um novo corte horizontal nas barras GI HI e HF conforme Figura 611 é possivel determinar do esforgo normal na barra JH 3 3 3 3 TT R 6 S k 30kKN 7 E E T t 30kN t Q Oo M J E vt 200 kN 7 G Hu Figura 611 Questao 62 Aplicando o equilibrio de momento fletor no né I temse S My 0Nuu x 3 30 x 4 200 x 6 0 2 Nyy 440KN T Finalmente para determinacgaéo do esforgo normal na barra HI aplicase 0 equilibrio de forcga horizontal Obtémse entéo 0 Fy 0 Nu1cosa 30300 Nur 100KN T c Fazendo o equilibrio do né O lembrando que os esforgos normais nas barras QO QR e OP sao nulos temse N Fy 0 Non sena 200 0 Ac sena08 Non 250kN T O M So Fr 0 Nom Non cosa 0 sod Nom 150kN cosa 06 Nom 50 C Figura 612 Questao 62 72 63 Prova II 022016 Para trelica apresentada na 613 pedese 50 kN C Dy Tae a Identificar todas as barras cuja forga normal i I i A é nula considerando o carregamento apre A sentado na Figura 613 4 aim 14 we b Usando 0 método das segées calcular o es 1 NN H forgo normal da barra LK Z3 Figura 613 Questao 63 a Observase que o carregamento apresentado possui esforgos apenas na 1 JI diregao vertical de modo que o equilibrio de esforgos horizontais resulta em Hy 0 Assim por equilibrio do né I resulta em Ay Nar SS Fi 0 Nar 0 Vi Agora que Ny ja foi determinado podese avaliar o equilibrio de forcas no no H A reacéo no apoio é somente vertical Assim o equilibrio de forgas 9 New horizontais no né resulta em Nugs So Fi 0 Nussen6 0 Nyy 0 Nur Isto é como Vy e Nagy sao colineares na direcgao vertical e Nyy 0 o l equilibrio do no H sé é possivel se Ney 0 Esse raciocinio é aplicado sucessivamente para outros nos N6 G Nez 0 N6J3N FJ O N6 E Ner 0e Npg 0 pois nao ha forgas externas no nd N6 C Nez 0 pois Ngoc e Nep sao colineares N6 M Ney 0 N6 B Nez 0 pois Nap e Ngo sao colineares N6 L Npz 0 pois Nz e Nz sao colineares Ao final do processo as seguintes barras possuem forca normal nula Nut Nas Nes Nes Nerv Noe Next Nem Net Noi 0 b O método das segdes pode ser aplicado Nep Do seccionandose as barras CD LD e LK con Cc 50 kN 8 forme apresentado na Figura 614 Assim po B Nip demos obter Nz x ao impor o equilibrio de mo a mentos no nod D Notando que as linhas de A Ml lL KY acao de Nzp e de Nop passam pelo né D Jo 4m 2m temos Figura 614 Questao 63 b 0 Nye xX 15450x4420 Nex 200kN C 3Neimar Aparecido da Silveira Filho 73 64 Prova II 012011 Para treliga apresentada na Figura 615 pede 30 kN 20 kN se 0 15 kN Q x w a Calcular as reagdes de apoio a B DR YX TK D b Calcular as forgas normais nas barras in g Q VF G 7 dicando por meio de uma tabela o valor e iL a natureza tragéo ou compressao dessas b forgas 2m 2m 2m 2m Figura 615 Questao 64 a Calculo das reagoes de apoio youl 0 E Q Q p V4 x 830x8420x415x30 TOA NP v Va 34375 kN fT y ct S Fy 0 Vi Va 30 20 0 Al LE Vp 15625kN t t t Va Ve So Fy 0Ha150 Ha 15kN b A forca normal em cada barra é determinada por meio do equilibrio nodal A partir dos nds F e G temos que N3 Ng 0 O equilibrio dos nés B e D resulta em N5Ng0 Ny 30kKNC Nip 15kKN T Observando que Ng é nulo o equilibrio do n6é E é facilmente determinado Fy 0 Nz cos6 15625 0 ww Nz 26042 kN C a Fy 0 Nrsen Ny 0 Nj 20833 kN T Ve 15625 O equilibrio do né C nos permite determinar N4 Assim 20 kN Ng N7 26042 kN C a Co Ni S Fy 0 N4cos6 No cos 20 0 oN Ns7291kNT N 819 Ng Neimar Aparecido da Silveira Filho 74 Notando que N4 N2 todas as forcas normais foram determinadas Podese entao construir a Tabela 62 que apresenta o valor e a natureza da forca normal em cada barra da estrutura Tabela 62 Questao 64 b Barra Esforco kN Natureza 1 300 Compressao 2 7291 Tracao 3 00 4 7291 Tracao 5 00 6 00 7 26042 Compressao 8 00 9 26042 Compressao 10 150 Tracao 11 20833 Tracao 65 Prova II 0120235 Para a trelica plana da Figura 616 da dos PH 20 kN PV 50 kN HT 20 kN RT 275 kN RU 225 kN pedese a Indicar as barras com esforco nor mal nulo cada indicacao errada anula uma indicacao correta b Calcular pelo metodo das secoes o es forco normal nas barras CD DH e HI indicar se o esforco e de tracao ou de compressao c Calcular pelo metodo dos nos o es forco normal nas barras AB AG BG e BC indicar se o esforco e de tracao ou de compressao Figura 616 Questao 65 a Como no no M ha duas barras colineares MJ e MO e uma barra nao colinear ML sem forca aplicada a barra nao colinear ML possui esforco normal nulo De modo analogo temse respectivamente para os nos N Q e R as barras NO QP e RS com esforco normal nulo Figura 617 Questao 65 5Tulio Roberto Eladio Marques 75 Ao analisar o né U temse um apoio articulado mével e por isso nao ha Ss reacao horizontal Como a reacao vertical do apoio é colinear com a barra SU temse esforgo normal nulo na barra TU T nulo U 225 kN Como as barras JK e KF sao barras nao colineares sem fora apli F E nulo af cada no no K o esforco normal destas barras é nulo Como o esforgo normal na barra KF é nulo e as barras EF e FJ sao barras gl nao colineares sem fora aplicada no nd F o esforco normal destas e 7 barras é nulo Portanto as barras ML NO QP RS TU JK KF j nulo K v EF e FJ possuem esforgo normal nulo J K b Fazendo um corte vertical nas barras CD DH e HI como representado na Figura 610 é possivel calcular o esforgo normal nas respectivas barras B C Neo OD O Pr a Nobu G H y HI Py Figura 618 Questao 65 Assim aplicando o equilibrio de momento fletor no né D temse S Mp 0 Nur x 15 50 x 6 20 x 15 oe Nur 180kN C Aplicando o equilibrio de momento fletor no né H temse S Mu 0 Nop x 15 50 x 4 Nep 13333kN T A partir do somatorio de forgas verticais temse So Fy 0 Now x sena 50 como sena 06 Npg 8333kN T c Fazendo o equilibrio do né A temse B So Fy 0 Napsena 500 como sena 06 Nap 8333kN T 200 kN AAO G S Fr 0 Nag Nap cosa 20 0 50 kN como cosa08 Non 4666kN C 76 Fazendo o equilibrio do né B temse B Cc Fy 0 Napcosa Nag 0 como cosa 06 Ngg 50kN C a A G Fr 0 Ngo Nagsena 0 como sena08 Ngo 6666 kNT 77 Capıtulo 7 Linhas de Influˆencia 71 Prova III 0120181 Para a trelica apresentada na Figura 71 considerando o carregamento vindo por cima pedese a A linha de influˆencia para o esforco normal da barra BF b Dada a linha de influˆencia do esforco normal da barra FE calcular os valores maximo e mınimo para esse esforco considerando o tremtipo fornecido e uma forca permanente de 20 kNm 3 16 9 16 9 16 LI de NFE Figura 71 Questao 71 a Utilizando o metodo das secoes com o corte apresentado na Figura 72 e possıvel calcular o valor de NBF em funcao da reacoes de apoio RG e RE Sabendo que cosα 06 e sinα 08 te mos RG RE C B F A NBF NBC NGF D NBC NBF NGF α α x 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m Figura 72 Questao 71a Calculo de NBF 1Thaianne Simonetti de Oliveira 78 Para x 6 m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria So Fy 0 Ner x 08 Rep 0 Nerp 125Re 71 Para x 12 m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenga da carga unitdria So Fy 0Ngr x 08Rg0 Ner 125Re 72 Na sequéncia é necessdrio tracar as linhas de influéncia das reacgdes Rg e Re 125 LL de R oo G E2 025 125 r LIL deR a 025 9G E 3m 4 12m x 3m y Figura 73 Questao 71a Linhas de influéncia das reagdes Rg e Rp Finalmente a linha de influéncia de Ngr é tracada utilizando as Equacoes 71 e 72 e as linhas de influéncia de Rg e Re B F R 125 03125 933125 LIde N Pek 6 031 25 Q3125 125 Figura 74 Questao 71a Linha de influéncia de Nar 79 b Os valores extremos do esforco desejado neste caso o esforco normal em uma barra de trelica sao dados pela superposicao das acoes do peso proprio forca permanente com as acoes do tremtipo forcas acidentais moveis A forca distribuıda permanente deve ser imposta sobre toda a extensao da linha de influˆencia Ja as forcas moveis sao aplicadas de forma a minimizar ou maximizar o esforco analisado definindo posicoes crıticas para o tremtipo Essas posicoes sao escolhidas tendo em vista que o valor resultante e dado pelas seguintes contribuicoes Soma dos produtos de cada forca concentrada pela correspondente ordenada da linha de in fluˆencia Soma dos produtos de cada forca distribuıda pela correspondente area da linha de influˆencia Para obter a parcela relativa ao peso proprio calculamse as areas da linha de influˆencia fornecida A1 3 16 3 1 2 3 32 028125 triˆangulo de altura 316 A2 9 16 12 1 2 54 16 3375 triˆangulo de altura 916 A3 9 16 3 1 2 27 32 084375 triˆangulo de altura 916 Area total AT A1 A2 A3 225 De posse da area total e do valor da forca distribuıda permanente qPP obtemse o esforco normal devido ao peso proprio NPP qPP AT 20 225 NPP 45 kN Na sequˆencia e necessario calcular os esforcos extremos mınimo e maximo provocados pelas forcas moveis As posicoes crıticas do tremtipo devem seguir as seguintes orientacoes As distˆancias entre as cargas concentradas relacionadas ao veıculotipo devem ser mantidas fixas Considerando a acao do tremtipo nos dois sentidos do percurso horizontal a posicao das forcas concentradas pode ser espelhada caso necessario No caso do tremtipo apresentado na Figura 71 existe uma unica magnitude de forca distribuıda relacionada a carga de multidao Neste caso tal forca pode ser estendida ou interrompida o tanto quanto desejado quando se buscam as condicoes mais desfavoraveis para o esforco em questao Dito isso o esforco normal mınimo devido as forcas moveis NMovel MIN e obtido na configuracao da Figura 75 A posicao do tremtipo e tal que a maior forca concentrada e aplicada sobre a menor ordenada da linha de influˆencia com a forca distribuıda imposta sobre todas as areas negativas 916 316 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 916 30 kN 2 m 30 kN 3 m 10 kN 04375 025 916 316 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 916 30 kN 2 m 30 kN 01875 3 m 10 kN 15 kNm 15 kNm 15 kNm Figura 75 Questao 71b Configuracao para o esforco normal mınimo 80 5 9 NMevel 30 x 55 30 x 01875 15 x 084375 028125 39375 kN De maneira andloga definese a posigéo do tremtipo para o esforgo normal mdAximo devido as forcas moéveis N Move 5 9 NMevel 30 x tet 30 x 04375 10 x 025 15 x 3375 83125 kN 10 kN 30kN 30kN 15kNim i v y v v y v v v y v y 916 ge 316 N 025 04375 916 3m 3m 3m 3m 3m 3m yy Figura 76 Questao 71b Configuragaéo para o esforco normal maximo Finalmente os valores extremos do esforgo normal séo dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forgas méveis Nuax NMOS Npp 83125 45 128125 kN Nuun NNO Npp 39375 45 5625 72 Prova II 022018 Tragar as linhas de influéncia indicando pelo menos duas ordenadas em cada segmento de reta a Momento fletor na secgao S da viga Gerber abaixo A S B C D E F G 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m Figura 77 Questao 72a b Esforgo normal da barra HD da treliga abaixo F G H I J NISSAN OOOO 4 ma4 m rle4 m 4 m Figura 78 Questao 72b Lorena Leocddio 81 a A solucao se inicia com a decomposicao da viga Gerber em estruturas isostaticas mais simples conforme mostra a Figura 79 Verificase que as vigas V2 e V3 transferem esforcos para a viga V1 na qual esta localizada a secao de interesse para a linha de influˆencia do momento fletor S A B S C D E F F E D C A B S G G V2 V3 V1 Figura 79 Questao 72a Decomposicao da viga Gerber Feita a separacao da viga Gerber e possıvel construir a linha de influˆencia analisando as vigas V1 V2 e V3 lembrando sempre que estamos interessados no momento fletor na secao S 1 Primeiramente analisamos a forca unitaria percorrendo a viga V1 Uma vez que a secao S se encontra nessa propria viga podemos obter a linha de influˆencia de MS a partir das reacoes de apoio RA e RB A B S 1 1 2 m 2 m 2 m V1 1 05 1 15 LI de RA LI de RB LI de MS x 2 Ms 2 RB x 2 Ms 2 RA 3 05 05 2 x Figura 710 Questao 72a LI de MS viga V1 82 2 Em seguida analisamos a forca unitaria per correndo a viga V2 Neste caso basta analisar a transferˆencia dos esforcos de V2 para V1 feita por meio do apoio fictıcio em C Caso a reacao em C seja nula nenhuma forca sera transmitida para a viga V1 o que resultara em MS igual a zero Uma vez que V2 e uma viga biapoiada sabemos que a reacao em C sera nula quando a forca unitaria for aplicada so bre o apoio D conforme mostra a Figura 711 Logo podemos simplesmente ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio D e prolongar a reta ate a extremidade de V2 A B S 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m V2 C D E 1 1 0 0 1 1 MS 0 1 1 1 V1 Figura 711 Questao 72a LI de MS viga V2 F E D C A B S G 1 1 1 V3 1 0 0 0 0 0 MS 0 1 1 1 1 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m V2 V1 Figura 712 Questao 72a LI de MS viga V3 3 Finalmente analisamos a forca unitaria per correndo a viga V3 para construir o trecho final da linha de influˆencia veja Figura 712 Como os esforcos sao transferidos de V3 para V2 por meio do apoio fictıcio em E podemos usar o mesmo procedimento do item anterior a reacao no apoio E e nula quando a forca unitaria e aplicada sobre o apoio F Neste caso nenhuma forca sera transmitida para V2 e consequentemente para V1 implicando em MS igual a zero Desse modo basta ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto corres pondente ao apoio F e prolongar a reta ate a extremidade de V3 b Utilizando o metodo das secoes com o corte representado na Figura 713 e possıvel calcular o valor da normal NHD em funcao das reacoes RB e RD Figura 713 Questao 72b Corte para o calculo de NHD 83 Sabendo que cosa 08 e sena 06 temos Para x 8 m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria oR S Fy 0 Nuyp x 06 Rp 0 Nup 73 Para x 12 m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenga da carga unitdria oR S Fy 0 Nup x 06 Rp 0 Nup 74 Na sequéncia é necessario tracar as linhas de influéncia das reacoes Rg e Rp 15 1 05 15 LIL deR 05 4m 4m p 4m a Figura 714 Questao 72b Linhas de influéncia das reagdes Rg e Rp Finalmente obtémse a linha de influéncia de Nyp a partir das Equacoes 73 e 74 e das linhas de influéncia de Rp e Rp F G H I J A B C D E 4m 4m pie 4m la 4m 5 3 5 6 5 5 6 6 3 Figura 715 Questaéo 72b Linha de influéncia de Nyp 84 73 Prova II 0220183 Para a linha de influˆencia representada abaixo referente ao momento fletor em uma certa secao de uma viga Gerber calcular os valores extremos deste esforco considerando o tremtipo e o carregamento permanente fornecidos a tremtipo 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m b linha de influˆencia Figura 716 Questao 73 Primeiramente calculamse as areas da linha de influˆencia fornecida A1 2 8 2 8 triˆangulo de altura 2 A2 1 4 2 2 triˆangulo de altura 1 A3 05 3 2 075 triˆangulo de altura 05 Area total AT 8 2 075 675 De posse da area total e possıvel calcular a parcela do momento fletor relativa ao carregamento permanente MPP qPP AT 10 675 675 kNm Na sequˆencia definemse os carregamentos moveis que levam aos momentos fletores mınimo e maximo Mmovel MIN e Mmovel MAX Seguindo os mesmos passos da Questao 71 obtemse Mmovel MIN 80 1 40 05 20 2 100kNm 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m 40 kN 80 kN 3 m 20 kNm Figura 717 Questao 73 Configuracao para o momento fletor mınimo Mmovel MIN 3Lorena Leocadio 85 Mmovel MAX 80 2 40 05 20 8 075 355kNm 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m 40 kN 80 kN 20 kNm 3 m 20 kNm 05 Figura 718 Questao 73 Configuracao para o momento fletor maximo Mmovel MAX Finalmente os valores extremos do momento fletor sao dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forcas moveis MMIN 675 100 325kNm MMAX 675 355 4225kNm 74 Prova III 0220164 a Para a viga Gerber da Figura 719 tracar a linha de influˆencia do momento fletor na secao C A B C D E F G H I J 2 m 5 m 2 m 5 m 2 m 5 m Figura 719 Questao 719 b Dada a linha de influˆencia da forca normal de uma determinada barra de trelica calcular a forca normal maxima e mınima segundo o trem tipo apresentado na Figura 720 067 067 0333 p 20 kNm 40 kN 100 kN 2 m Força acidental Força permanente 32 m 32 m 64 m 64 m Figura 720 Questao 719b 4Thaianne Simonetti de Oliveira 86 a Seguindo os mesmos passos da Questao 72 obtemse a seguinte linha de influˆencia A B C D E G H J 1 125 1 04 2 m 25 m 25 m 2 m 5 m 2 m 5 m Figura 721 Questao 719a Linha de influˆencia do momento fletor na secao C b Seguindo os mesmos passos das Questoes 71b e 73 a solucao se inicia com o calculo das areas da linha de influˆencia A1 0333 32 2 05328 triˆangulo de altura 0333 A2 067 96 2 3216 triˆangulo de altura 067 A3 067 64 2 2144 triˆangulo de altura 067 Area total AT A1 A2 A3 16048 De posse da area total calculase a parcela relativa ao carregamento permanente NPP qPP AT 20 16048 321 kN Em seguida definemse os carregamentos moveis para os esforcos normais mınimo e maximo NMovel MIN e NMovel MAX posicionando corretamente o tremtipo sobre a linha de influˆencia 067 067 0333 32 m 32 m 64 m 64 m 100 kN 40 kN 30 kNm 2 m 0461 Figura 722 Questao 719a Carregamento movel para o esforco normal mınimo 87 NMovel MIN 100 067 40 0461 30 05328 3216 1979 067 067 32 m 32 m 64 m 64 m 40 kN 30 kNm 2 m 0461 100 kN Figura 723 Questao 719a Carregamento movel para o esforco normal maximo NMovel MAX 100 067 40 0461 30 2144 1498 kN Finalmente os valores extremos do esforco normal sao dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forcas moveis NMIN 321 1979 230 kN NMAX 321 1498 1177 kN 75 Prova III 0120225 Pedese a A linha de influˆencia do esforco momento de flexao na secao S da viga Gerber representada na Figura 724 indicar duas ordenadas por seg mento A B D E H G S C F 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1 m 1 m 1 m Figura 724 Questao 75 b A linha de influˆencia do esforco normal da barra EH da trelica representada na figura ao lado indicar duas ordenadas por segmento Considere o carrega mento no banzo inferior A B C E G D H I K 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 3 m J L F Figura 725 Questao 75 5Ana Clara Pedras Bueno 88 c O intervalo de variacao do esforco cor respondente momento a linha de in fluˆencia representada na Figura 726a considerandose o carregamento aciden tal Trem Tipo e o carregamento per manente indicados 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 a linha de influˆencia q 20 kNm 40 kN 80 kN 3 m b carregamento acidental p 10 kNm c carregamento permanente Figura 726 Questao 75 a Inicialmente devese realizar a decomposicao da viga Gerber em vi gas isostaticas mais simples conforme apresentado na Figura 727 Verificase assim que as vigas V1 e V3 transferem esforcos para a viga V2 na qual esta localizada a secao de interesse para a linha de influˆencia do momento fletor Feita a decomposicao da viga Gerber e possıvel construir a linha de influˆencia do momento fletor na secao S analisando as vigas V1 V2 e V3 da seguinte forma 2m 2m 2m 1m 1m 1m 2m 1m H G F S E F C D B C A V1 V2 V3 C B A D E F G H S Figura 727 Questao 75 1 Devese primeiramente analisar a forca unitaria percorrendo a viga V2 uma vez que a secao S esta localizada nesta viga podese entao obter a linha de influˆencia de MS a partir das reacoes de apoio RD e RE D E F 2m 1m 2m 1m S C 125 1 05 025 125 05 1 025 LI de RD LI de RE x2 MS 2RE x2 MS 2RD 05 1 05 LI de MS V2 x Figura 728 Questao 75 89 2 Em seguida devese analisar a forca unitaria percorrendo a viga V1 Neste caso basta analisar a transferˆencia dos esforcos de V2 para V1 por meio do apoio fictıcio em C Caso a reacao em C seja nula nenhuma forca sera trans mitida para a viga V1 o que resultara em MS igual a zero Como V2 e uma viga biapoiada sabese que a reacao em C sera nula quando a forca unitaria for aplicada sobre o apoio B conforme mos tra a Figura 729 Assim podese sim plesmente ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio B e prolongar a reta ate a extremidade A de V2 A D E F 2m 2m 1m 1m 2m 1m S C LI de MS 05 1 05 V2 V1 B C MS0 0 0 1 05 1 05 025 Figura 729 Questao 75 3 Finalmente para analisar a forca unitaria percorrendo a viga V3 para construir o trecho final da linha de influˆencia devese transferir os esforcos da viga V2 para a viga V3 por meio do apoio fictıcio F Para tal podese usar o mesmo procedimento descrito no passo anterior a reacao no apoio F e nula quando a forca unitaria e aplicada sobre o apoio G Neste caso nenhuma forca sera transmitida para V2 implicando em MS igual a zero Desse modo basta ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio G e prolongar a reta ate a extremidade H de V3 A D E F 2m 2m 2m 1m 1m 1m 2m 1m G H S C LI de MS V2 V1 B C MS0 0 0 1 05 1 05 025 0 0 V3 F 0 025 05 1 05 025 Figura 730 Questao 75 b Fazendo um corte na trelica como representado na Figura 731 e aplicando o Metodo das Secoes e possıvel calcular o valor da normal NEH em funcao das reacoes RC e RI A B C E G D H I K 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 3 m J L F NFH NHF NEG NGE NEH NHE α α Figura 731 Questao 75 Como cos α 08 e sen α 06 temse 90 Para x 8m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria R 5R So Fy 0 Ry Nex x sena0 we Ney L 2 06 3 Para x 12m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenca da carga unitaria R 5R Fy 0 Ro Neu x sena 0 oo Ney 2 2 06 3 Na sequéncia fazse necessario tracar as linhas de influéncia das reagdes Ro e Ry B D F H J L A E G iK 4 id 2 3 1 LideR pO 13 2 tot sd Liide R eo 4m 4m 4m yy 4m yy 4m yy Figura 732 Questao 75 Finalmente a partir das equag6des anteriores e das linhas de influéncia de Rc e R obtémse a linha de influéncia de Ney B D F H J L A E G iK 5 1 8 Boe 5 Q rg 5 NS 9 ue 9 ph 3 4m 4m 4m 4m 4m Figura 733 Questao 75 91 c Devese inicialmente calcular as areas da linha de influˆencia da Figura 726a conforme indi cado na Figura 734 A1 1 4 2 2 A2 1 4 2 2 A3 1 4 2 2 A4 1 2 2 1 AT 2 2 2 1 1 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 A1 A2 A3 A4 Figura 734 Questao 75 De posse da area total e possıvel calcular a parcela do momento fletor relativo ao carregamento permanente MPP qPP AT 10 1 10 kNm Na sequˆencia definemse os carregamentos moveis que levam os momentos fletores mınimo e maximo Mmovel MIN e Mmovel MAX Seguindo os mesmos passos da Questao 71 obtemse Mmovel MIN 80 1 20 1 2 140 kNm Mmovel MAX 80 1 20 2 2 160 kNm 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 20 kNm 40 kN 80 kN 20 kNm 80 kN 40 kN 20 kNm 20 kNm Figura 735 Questao 75 Finalmente os valores extremos do momento fletor sao dados pela soma do momento fletor devido ao carregamento permanente com a dos momentos fletores devido aos carregamentos moveis MMIN 10 140 130 kN m MMAX 10 160 170 kN m E portanto 130 kN m M 170 kN m 92 76 Prova III 012015 Calcular as seguintes linhas de influéncia a Momento fletor na seco S da viga Gerber apresentada na Figura 736a b Esforgo normal na barra AB da treliga apresentada na Figura 736b Considerar que a carga atua no tramo inferior da trelica 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m A 4m 3m lm 2m 2m P A B cAD Ly S B a b Figura 736 Questao 76 a De inicio é necessdrio decompor a viga 4m 3m Im 2m 2m Gerber em estruturas isostaticas da forma mais A B simples possivel O conjunto de vigas resultan LAL tes é apresentado na Figura 737 A viga biapoi ada AB possui um apoio ficticio que representa Ve Cc oD a reacdo transferida para a viga BD no ponto B Vp A viga BD também biapoiada possui um Vp apoio ficticio em D cuja reacao Vp é transferida para a ultima viga A viga DE na qual a secao g S se encontra 6 uma viga em balango A construgao da linha de influéncia do momento fletor na segéo S Ms se inicia pela avaliagao do momento na viga DE devido a uma carga vertical Som para baixo P Como a viga esta em balango K O Nn quando a carga esta entre a segao Se o engaste em E nao ha solicitacgéo na secéo S Quando a carga se encontra entre D e a secao S temos que Ms Px em que Z é a distancia da carga 6 até S e o sinal negativo indica tracéo nas fibras superiores da secdo P é para baixo Portanto Figura 737 Questao 76 a 7 Decomposigao da entre a secdo S e a extremidade D do balango V84 Gerber e linha de influéncia de Ms Msg varia linearmente partindo de 0 em S até Msg 2P em D quando z 2 Em seguida considerase a acgéo da mesma carga P na viga biapoiada BD O objetivo agora é obter a variacao da reagéo Vp e multiplicdlo pelo valor da linha de influéncia de Ms no ponto D que é igual a 2 e assim determinar o momento Mg Se P esta em cima do apoio em D a reagao Vp é igual ao préprio P e Mg 2Vp 2P Se P esta sobre 0 apoio em C temos que Vp 0e Mg 0 Quando P esta na extremidade B a reagaéo Vp é obtida pelo equilibrio da viga YoM 0 P x44Vo x10 Vo4P So Fy 04VpVeP0 Vp 3P Logo Ms 2Vp 2 x 3P 6P Neimar Aparecido da Silveira Filho 93 O mesmo processo é feito para a viga AB Agora contudo Mg é obtido ao se aplicar o valor da reacao Vg pelo seu valor na linha de influéncia no ponto B isto é 6 Quando P esta sobre o ponto B a reacao Vp é iguala Pe Mg 6Vp 6P Se P esta sobre A Vg 0 e Mg 0 Entre esses pontos Vg varia linearmente com a distancia até a carga P Esses resultados permitem a construcéo da linha de influéncia do momento fletor na segao S conforme apresentado na Figura 737 na qual P foi considerada unitadria P 1 b A estrutura treligada é biapoiada com um trecho em balango onde a barra AB esta se encontra Nao ha solicitagéo no trecho em balango quando a carga P esta entre os apoios da estrutura e nessa situacao Nap 0 Resta entaéo determinar os valores de Nag quando P esta no trecho em balango Partindo da extremidade do balancgo quando P se encontra em uma posicao qualquer antes do nd B o esforco na barra Nap pode ser determinado pelo método das secoes Fazendo um corte que passa pela barra Nyp conforme apresentado na Figura 738 o equilibrio de forgas verticais implica em P SV 0 NapcosP0 Nag V2P cos 6 Se a forga P esta sobre o apoio fixo a reagdo vai diretamente para o apoio e N4p 0 Entre o apoio eo no B a normal na barra AB varia linearmente Assim considerandose P 1 podemos construir a linha de influéncia de N4p tal como apresentado na Figura 738 N aN B v2 Figura 738 Questao 76 b Método das segées e linha de influéncia de Nyp 77 Prova III 012015 A Figura 739 apresenta a linha de influéncia que representa a variacaéo de esforco normal de uma barra de trelica e os carregamentos atuantes na estrutura Pedese a Determinar os carregamentos que causam a solicitagaéo maxima e minima da barra b Obter os valores maximo e minimo do esforgo normal na barra p15kNm 4m 4m 4m 4m tet y eyed dy Carga permanente TENTH 2m 0833 qg 15 kNm 1111 Im Im Carga acidental a linha de influéncia b carregamento Figura 739 Questao 77 Neimar Aparecido da Silveira Filho 94 a A solicitacao mınima ocorre quando ha somente carga permanente isto e quando a carga aci dental nao atua Quanto a solicitacao maxima o carregamento permanente e constante e assim sempre causa o mesmo efeito na estrutura O carregamento acidental por sua vez inclui duas forcas concentradas O estado de solicitacao maximo da barra ocorre quando tais forcas sao posicionadas sobre os valores maximos possıveis da linha de influˆencia Assim a carga de maior valor isto e 100 kN deve ser posicionada no ponto maximo da linha de influˆencia igual a 1111 Quanto a carga de 40 kN sabemos que sua distˆancia ate a carga de 100 kN e de 2 m Assim devemos comparar o valor da linha de influˆencia 2 m a esquerda e 2 m a direita de onde a carga de 100 kN foi colocada O valor a esquerda e 0833 e a direita 0556 Como 0833 0556 a carga 40 kN deve ser posicionada a esquerda da carga de 100 kN O resultado obtido e apresentado na Figura 740 1111 0833 0556 0556 8 m 15 kNm 30 kNm 40 kN 100 kN 4 m 4 m Figura 740 Questao 77 a b A influˆencia das cargas concentradas e obtida multiplicandoas pelos seus respectivos valores na linha de influˆencia Quanto as cargas distribuıdas sua influˆencia e obtida multiplicandoas pelas areas sob a linha de influˆencia na regiao onde essas cargas atuam A area sob a linha de influˆencia pode ser obtida pela composicao da area de dois triˆangulos um com base igual a 12 m e altura 1111 e o outro com base 4 m e altura 0556 Assim A A1 A2 12 1111 2 4 0556 2 7778 m Notar que a unidade de A e metro pois os valores da linha de influˆencia sao adimensionais A contribuicao da carga permanente e entao Np pA 150 7778 116667 kN De forma similar a contribuicao da parcela uniformemente distribuıda da carga acidental e Nq qA 300 7778 233333 kN A contribuicao das cargas concentradas ambas pertencentes ao carregamento acidental e NQ 100 1111 40 0833 144444 kN Assim lembrando que o esforco mınimo ocorre na ausˆencia de carregamento acidental temos Nmin Np 116667 kN T Nmax Np Nq NQ 116667 233333 144444 494444 kN T 95 78 Prova III 0120238 Obter a linha de influˆencia do momento fletor na secao transversal distante 15L entre B e C da viga Gerber da figura Considere L 1 m Figura 741 Questao 78 Inicialmente devese realizar a decomposicao da viga Ger ber em vigas isostaticas mais simples conforme apresentado na Figura 742 Verificase as sim que a viga V1 transfere es forcos para a viga V2 na qual esta localizada a secao de inte resse para a linha de influˆencia do momento fletor Figura 742 Questao 78 Feita a decomposicao da viga Gerber e possıvel construir a linha de influˆencia do momento fletor na secao S analisando as vigas V1 V2 e V3 da seguinte forma 1 Devese primeiramente analisar a forca unitaria percorrendo a viga V2 uma vez que a secao S esta localizada nesta viga podese entao obter a linha de influˆencia de MS a par tir das reacoes de apoio RB e RD 8Tulio Roberto Eladio Marques 96 2 Em seguida devese analisar a forga unitaria percorrendo a viga V1 Neste caso basta analisar a transferéncia dos esforgos de V2 para V1 por meio do apoio ficticio em D Caso a reagéo em D seja nula nenhuma forga seraé transmitida para a viga V2 Como V2 é uma viga biapoiada sabese que a reacgao em C sera nula quando a forca unitdria for aplicada sobre 0 apoio E Assim podese simplesmente ligar a linha de influéncia até zero no ponto correspondente ao apoio E e prolongar a reta até a extremidade D de V2 Como a viga V1 isostatica nao transfere esforos para a viga V2 na qual esta a secaéo analisada a linha de influéncia correspondente a este trecho é nula 050 é Q O E A B oe D A 075 2L 3L L 4L 79 Prova III 012023 Obter a linha de influéncia do esforgo normal da barra FH da trelicga plana da figura quando a carga se movimenta do ponto A ao ponto K 4m 4m 4m 4m 4m af Ip OTe OTH OT T oO v A c UE G K Figura 743 Questao 79 Como almejase obter o esforgo na barra FH devese realizar um corte que atinja esta barra para efetivar a andlise da treliga pelo método das secgdes conforme apresentado na Figura 744 B DF Nei O Q o AINE O O OP A Cc EA Nee Figura 744 Questao 79 Para se obter uma equacdéo para o esforgo normal na Barra FH podese fazer 0 somatério de momentos no ponto E O028 SY Mp0 Nex x 30 10 x 82 0 8 2 Neg FH 3 Tiilio Roberto Elddio Marques 97 Avaliando a equacao nos pontos crıticos para construcao da linha de influˆencia x 0 NFH 8 3 kN x 8 NFH 00 Quando a forca movel passa a ordenada de 80 m todas as forcas concorrem no ponto E e portanto nao ha esforco normal na barra FH x 8 NFH 00 Desta forma chegase na linha de influˆencia exposta na imagem 745 Figura 745 Questao 79 710 Prova III 01202310 Para a linha de influˆencia dada na figura calcular os valores extremos positivo e negativo considerando o TremTipo e a carga permanente tambem mostrados na figura Figura 746 Questao 710 Figura 747 Questao 710 Figura 748 Questao 710 Devese inicialmente calcular as areas da linha de influˆencia conforme indicado na Figura 749 10Tulio Roberto Eladio Marques 98 A1 9 4 3 2 3375 A2 3 4 4 2 15 A3 1 2 4 2 10 A4 1 6 2 30 A5 1 2 1 2 025 AT 3375 15 1 3 025 0125 Figura 749 Questao 710 De posse da area total e possıvel calcular a parcela do esforco relativo ao carregamento permanente QPP qPP AT 10 0125 125 kN m Na sequˆencia definemse os carregamentos moveis que levam os momentos fletores mınimo e maximo Qmovel MIN e Qmovel MAX Figura 750 Questao 710 Qmovel MIN 80 9 4 20 3375 1 025 2725 kN m Qmovel MAX 80 1 40 1 4 20 15 3 1800 kN m Finalmente os valores extremos do esforco sao dados pela soma do momento fletor devido ao carregamento permanente com a dos momentos fletores devido aos carregamento moveis QMIN 125 2725 27375 kN m QMAX 125 1800 17875 kN m 99 Capıtulo 8 Princıpio dos Trabalhos Virtuais 81 Prova III 0120181 Para o portico apresentado na Figura 81 cujas reacoes de apoio sao informadas pedese a Os diagramas de momento fletor e esforco normal de todas as barras para o carregamento dado b A rotacao da secao transversal no ponto E desprezando o efeito das deformacoes de cisalhamento e apresentando as contribuicoes do esforco normal e de flexao Dados Propriedades da secao EA 2106 kN EI 4105 kN m2 Reacoes RA 765 kN HA 108 kN RB 21735 kB Figura 81 Questao 81 a De posse das reacoes de apoio fornecidas podese efe tuar o equilıbrio de barras e nos conforme ilustrado na Fi gura 82 Figura 82 Questao 81a Equilıbrio de barras e nos 1Thaianne Simonetti de Oliveira 100 Com base no equilıbrio de barras e nos obtˆemse os diagrama dos esforcos solicitantes requeridos 765 21735 Zero Zero 486 486 1875 Zero Figura 83 Questao 81a Diagrama de esforco normal e momento fletor b Para a obtencao da rotacao requerida e necessario determinar o diagrama dos esforcos solicitantes forca normal e momento fletor da Fase U quando e aplicada a acao unitaria Figura 84 Questao 81b Fase U A partir do Figura 84 podese realizar o equilıbrio de barras e nos da estrutura na fase U Figura 85 Questao 81b Equilıbrio de barras e nos fase U 101 Em seguida obtémse os diagrama de esforcos solicitantes para a fase U 1 KE Ye yy Zero Zero Yj o1 a Dn kN Dm KNm Figura 86 Questao 81b Diagrama de esforgo normal e momento fletor fase U Finalmente calculase a rotagéo no ponto F relativa ao esforgo normal y e ao momento fletor Om i 2 765 01 6 21735 01 a za Zz a 0 0 1 6885 13041 123525 On 00000617625 rad 7 1875 10 1 5 4 l ee 1875 OM T08 Ii Oe ox we WM 0 0 Ou 1 2 x 33675 1875 10 1 1875 x 5 w oye ig C1 Bx 83675 1875 x 104 5 x 1 x 1875 x5 1 4975 Ou Tx 105 810 3125 T1087 Oy 000124375 rad Valor final da rotacgaéo no ponto E 660ny Oy 0 0001182 rad 82 Prova III 012018 Para a grelha indicada na Figura 87 cujas reagdes de apoio foram informadas considerando que além do carregamento existe uma variacéo de temperatura AT 30C na face superior e AT 20C na face inferior pedese Thaianne Simonetti de Oliveira 102 a Os diagramas do momento fletor e de torgao de todas as barras para ae o carregamento dado co D b A rotagéo na diregéo do eixo CD da secao transversal D con 7 siderando separadamente os efei 20 KN PP 50 KNm 0 tos das deformagées de flexdo e de torgao devido a apenas o carrega 10 kNn mento dado 2 y ALBSSeeeg B 4m 5m c A rotagéo na diregéo do eixo x CD da segéo transversal D con 7 siderando o efeito da variagao de Figura 87 Questao 82 temperatura Dados Propriedades da segao EI4x10kNm GJ20x10kNm a1x1071C Altura da secao h 05m Reacoes Ra 200kN Rp 450 kN Ro 50kB Equagaéo do MCU nN mM tT fsvV a ra art f want az i f dx est EA est EI est GJ est GA AT AT naATog dx ma dr est est h a De posse das reagdes de apoio fornecidas podese efetuar o equilibrio de barras e nés conforme ilustrado na Figura 88 25 C 25 Oe s 5 20 10 20 sé D 69 6S 6d 69 6S 6e 50 25 ee eee 20 B 20 2 3 45 Figura 88 Questao 82a Equilfbrio de barras e nos fase L 103 Com base no equilıbrio de barras e nos obtˆemse os diagramas dos esforcos solicitantes requeridos momento de flexao e de torcao Figura 89 Questao 82a Diagramas de momentos fletor e torsor fase L b Para obtencao da rotacao requerida e necessario determinar os diagramas de esforcos solicitantes momentos fletor e torsor da Fase U quando e aplicada a acao unitaria Figura 810 Questao 82b Fase U A partir do Figura 810 podese realizar o equilıbrio de barras e nos da estrutura na fase U Figura 811 Questao 82b Equilıbrio de barras e nos fase U 104 E em seguida obter os diagramas de esforcos solicitantes A Zero B B Cc Cc Zero D Dm kNm 1 1 Y WY Ay A Zero B Bo Zero a w Y Yj Dt kKNm Cc D Figura 812 Questao 82b Diagrama de momentos fletor e torsor fase U Finalmente calculase a rotacéo na segao transversal D sentido do eixo CD devido ao momento fletor 07 e ao momento de torcgao Ar 1 Noe 8M T4108 Nef 95 B 1 625 1 Cc aw LO O 05 B 05 625 1 25 1 05 x 625 x 25 x 2 x 05 x 125 41 x 25 05 x 25 1 x 125 4 x 105 3 9 6 9 9 260417 364583 620 6 000015625 rad T 4x 10 4x10 1 1 WHEEL 25 7 Vg Vy dx 2x 105 Us Yi c 1 1 625 2x 10 x 3 x 1 x 25 xo 2x 10 we Or 00003125 rad c Neste caso definese a mesma fase U do item a Para calcular a rotacgéo considerando o efeito da temperatura 047 empregase o momento fletor da fase U e as temperaturas nas faces superior e inferior AT AT gat ma dx est h 105 θT 105 10 05 1 5 2 θT 00005 rad 83 Prova III 0220163 Na Figura 813 encontrase um relatorio do programa INSANE para uma grelha isostatica Pedese para calcular usando o Metodo da Carga Unitaria o deslocamento vertical no ponto 4 devido as deformacoes da barra 23 oriundas dos esforcos de flexao e torcao Indicar se o deslocamento ocorre no sentido positivo ou negativo do eixo y Figura 813 Questao 83 Relatorio do programa INSANE para uma grelha isostatica 3Thaianne Simonetti de Oliveira 106 A partir do relatorio apresentado podese tracar a grelha isostatica em analise Ressaltase que para o modelo de grelha o eixo y global e positivo no sentido 1 4 10 5 2 3 4 15 z x 4 m 3 m 3 m y Figura 814 Questao 83 Grelha isostatica E possıvel ainda obter os esforcos nas extremidades da barra 23 o que por sua vez permite determinar o diagrama dos esforcos solicitantes momentos fletor e torcor da fase L Figura 815 Questao 83 Diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 Fase L As caracterısticas do material tambem podem ser obtidas a partir do relatorio GJ 15000 kNm2 EI 52000 kNm2 Iz 26 103 m4 J 18 103 m4 Para a fase U definese a seguinte acao unitaria Figura 816 Questao 83 Fase U 107 A partir da Figura 816 sao obtidos os diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 na fase U Figura 817 Questao 83 Diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 Fase U Finalmente e possıvel calcular o deslocamento vertical 4 no no 4 devido as deformacoes da barra 23 oriundas dos esforcos de flexao e torcao 4 1 15000 1 2 3 345 225 3 1 52000 1 3 45 3 3 4 265 15000 135 52000 00171 000256 4 00197 m 84 Prova III 0220164 Para o portico indicado na Figura 818 pedese a Os diagramas de momento fletor de todas as barras b A rotacao do no C utilizando se do Metodo da Carga Unitaria considerando apenas os efeitos das deformacoes oriundas da flexao Informar se e horaria ou antihoraria Dados EI 50000 kN m2 A 4 m 25 m 25 m 2 m 2 m 1 m B C D 50 kN 10 kNm 5 kNm Figura 818 Questao 84 4Thaianne Simonetti de Oliveira 108 a A solugao se inicia com o calculo das reagées de apoio AB Hx550x250 Ha 25kN dM Rax410 x 4x 250 x 15 25 x 150 Ra 625 kN J SOF 2550Hp0 2 Hp 25kN SOF 62510x4Rp0 Rp 4625 kN 1 y Em seguida efetuase o equilfbrio de barras e nds 10 ee I 105 B i 625 4625 4625 50 5 Ae bg t 4625 625 Figura 819 Questao 84 Equilibrio de barras e nés do pértico da Fig 818 fase L A partir do equilibrio de barras e nés obtémse o diagrama de momento fletor qL 20 q 105 8 O ey MD 7 105 D Yffyj Y j 7 Ye Uf Y yy Yi 625 Gy 50 oD ff Uf UY 7 DM kNm Figura 820 Questao 84 Diagramas de momento fletor das barras do pértico da Fig 818 fase L 109 b Para o calculo da rotacao do no C definese a seguinte acao unitaria para a Fase U Figura 821 Questao 84 Fase U Em seguida obtemse o diagrama de momento fletor da fase U Figura 822 Questao 84 Diagramas de momento fletor das barras do portico da Fig 821 fase U Finalmente e possıvel calcular a rotacao θC no no C relativa as deformacoes oriundas dos esforcos de flexao 110 11 1 1 0 EI E x 105 x 1 x43 x 20x 1 A Ey M0 2667 11333 06 0 2267 x 107 rad 50000 os eeees rad 7 85 Prova III 022016 Para a trelica representada na Figura 823 pedese para calcular utilizando o Método da Carga Unitaria o deslocamento vertical no ponto B para uma variacao de temperatura uniforme em todas as barras de 20C Informar se ocorre para baixo ou para cima Cc G E fA H F D B ik ee ee Ps Figura 823 Questao 85 Dados do problema L 1 m E 2 x 10 kNm A 25 x 107 m a1 x 107C7 nN mM tT fsvuV a raat f want az i f dz est EA est EI est GJ est GA AT AT naATog dx ma dx est est h A acao unitdria na fase U corresponde a uma forca vertical aplicada sobre o né B Desse modo é possivel definir previamente os seguintes esforgos normais Nope Ner Neg New Nuc Nac 0 Ngp Npr Nru Naa Nee Nec Nea Logo para a solucéo da fase U basta efetuar o equilibrio do né B cos 08 sen 0 06 N pe 0 yd B SOF Nee xX send10 we Nee 1667 Ne if y So F Nzp 1667 x cos9 0 Ngp 1334 x Thaianne Simonetti de Oliveira 111 Para o calculo do deslocamento vertical Ag devido a variacgaéo de temperatura aplicase a seguinte integral sobre toda a estrutura Ap naAToa dx est Uma vez que os trechos BC e BA possuem esforcos normais constantes iguais a 1667 e 1334 kN respectivamente obtémse Ap 1667 x a x AT x Lpo 1334 x a x AT x Lea 1667 x 10 x 20 x 5 1334 x 107 x 20 x 4 5998x10 4m Ag 06 mm 1 86 Prova III 012022 Para o portico representado na Figura 824 pedese a O deslocamento vertical em B considerando apenas o carregamento dado 25C 15kNin b O deslocamento vertical em B considerando apenas a variacao de temperatura indicada B clip E c O deslocamento vertical total em B con D siderando o carregamento e a variacaéo de g temperatura indicados 25C 15C 19 ObservacgGes A Desconsiderar o efeito das deformagoes oriundas do cisalhamento 2m 4m 2m A variagdéo de temperatura indicada Figura 824 Questo 86 somente ocorre nas barras AC e CD Dados EI4x10kNm EA2x10kN a1x10C Altura da secaéo h 030m nN mM tT fsuV a rant ar ant az i f dz est EA est EI est GJ est GA AT AT naATog dx ma dz est est h a Para calcular o deslocamento vertical em B devese aplicar o Método da Carga Unitaria MCU Assim determinando inicialmente os diagramas de esforcos internos no sistema real temse Sistema real Calculo das reagdes de apoio S F 0 H0 SS Mp 0 4 Va x 4 15x 6x10 1 V4 225KN 1 S Fy 0 225 15 x 6 Vp 0 1 Vp 675KN tf Ana Clara Pedras Bueno 112 Equilıbrio de barras e nos 15kNm A B C E C C 675 kN 225 kN 225 kN 225 kN C 225 kN 225 kN Figura 825 Questao 86 Diagramas de esforcos internos DN kN 225 DM kNm 30 Figura 826 Questao 86 Sistema virtual para determinacao do sistema virtual devese aplicar uma carga unitaria em B conforme Figura 827 2m 4m 2m 5m A B C D E 1 Figura 827 Questao 86 113 Calculo das reagdes de apoio Fy 0 Ha 0 S Mp 0 Va x 4 1x 60 2 Va 15KN 1 So Fy 151Rp0 Rp 05kN t Equilibrio de barras e nés kN LkN 1kN 05 kN 05 kN P45 cts of 2kNm 2kNm 15 kN 05 kN 15 kN c A i 15 kN Figura 828 Questao 86 Diagrama de esforgos internos DN KN DM kNm i 7 OZ 2 15 Figura 829 Questao 86 Assim através da aplicacao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV podese finalmente calcular Ap fazendo D 7 c 225 1 ie Zz dx 1 dx A VPRO LL a TEE af XK OY EA ts c 1s A 114 B 1 EI 1 6 2 2 15 0 4 1 EA225 15 5 B 40 EI 16075 EI B 1 104 84375 105 B 15625 105 m b A variacao de temperatura indicada no problema deve ser decomposta em suas respectivas parcelas constante e linear conforme ilustrado na Figura 830 15 C 25 C 20 C 5 C 5 C Figura 830 Questao 86 Assim temse uma parcela de deformacao normal e uma parcela de deformacao de flexao dadas como apresentado abaixo dδ α T dx α 20C dx α20dx dθ T2 T1 α dx h 5C 5C α dx 03 α10dx 03 Por fim a partir dos resultados para o sistema virtual obtido no interior anterior Figura 829 podese fazer ΔB c D 2 α10dx A C 15 03 α20dx B 1333 103 15 103 B 1667 104 m c O deslocamento vertical total em B considerando o carregamento e a variacao de temperatura indicados no problema pode ser obtido atraves da superposicao do deslocamento devido somente ao carregamento com o deslocamento devido apenas a variacao de temperatura Ou seja o deslocamento vertical total e obtido da soma do deslocamento obtido no item a com o deslocamento obtido no item b temse assim BT otal C B T B 15625 105 1667 104 BT otal 1823 104 m 115 87 Prova III 012022 Considerando que no mesmo portico da Questao 25C 15kNjm 86 seja introduzido um apoio articulado movel em B temse uma estrutura hiperestatica Fi E Cf ic a gura 831 Calcule para os mesmos dados da B D Questao 86 a reacao de apoio em B Omer a A 2m 4m 2m Figura 831 Questao 87 Resolvendo a estrutura hiperestatica temse como sistema principal Sistema principal 25C 15kNim B E A Cc isc xX D 25C 15C Lo A v 22M vy 4m p 2M Figura 832 Questao 87 Para a estrutura apresentada na Figura 832 temse a seguinte equacao que impoe o deslocamento nulo no apoio articulado B 0d10 O11 X X1 Onde X Vg sendo Vg a reacao de apoio que se deseja calcular Assim utilizando o resultado obtido da Questéo 86 que corresponde ao di9 que é o deslocamento da estrutura em B se nao houvesse o apoio basta determinar 6 Ainda como 61 é obtido do produto CASO 1 x CASO 1 e o CASO 1 é idéntico a situacéo do Sistema Virtual da Questao 86 podese utilizar os resultados obtidos anteriormente e fazer simplesmente Cc D Cc 2 2 2 1 dx 1 dx 1 dx 5s i at a af a alle raf B Cc A 1 1 1 1 8 1125 Op 5x2 x24x2x44155 0 by m O u er 3 73 pa u TT BA 611 5625 x 107 2 x 10 25625 x 10m 7 Ana Clara Pedras Bueno 116 Finalmente podese obter Vg equacionando 0 25625 x 10 Vg 1823 x 104 Vp 711kN J 88 Prova III 012015 Para a grelha apresentada na Figura 833 pedese a Calcular as reagdes de apoio indicando o sentido b Apresentar o equilibrio de barras e nos c Apresentar os diagramas de esforgos solicitantes em todas as barras d Calcular a contribuigéo da deformagao por torgao apenas da barra BC para o deslocamento vertical do né F Indicar o sentido do deslocamento para cima ou para baixo Considerar as seguintes propriedades de rigidez EA2x10KN EI45x10kNm GJ45 x 10kNm E G q q y Z zt v S A o Ngan B C z i a z SHYE ws q at i S B 5 kNan c D F D F 2m 2m a perspectiva b planta Figura 833 Questao 88 a Calculo das reagoes de apoio SF0Va10x410x40 Va 80KN 0 Me 0M445x20 MA10kNm 03 MA4x102410x4x40 MA 240kNm J A b O equilibrio de barras e nds esta apresentado na Figura 834 Neimar Aparecido da Silveira Filho 117 5 kNmm 10 kNm A B 10 kNm 10 kNm 10 kNm D E C F G B B B C C 20 20 240 80 10 80 80 20 20 10 40 80 40 20 20 20 20 B B 80 80 10 10 20 20 20 20 40 10 80 C 40 20 20 20 20 C x y Figura 834 Questao 88 b c Os diagramas dos esforcos nas barras estao apresentados na Figura 835 A B D B B C A B D B B C A B D B B C DT kNm 10 5 DV kN 40 20 10 DM kNm 80 80 20 tg 0 10 B E C H F C 240 B E C H F C B E C H F C 20 tg 0 20 tg 0 20 tg 0 80 20 10 20 10 20 10 Figura 835 Questao 88 c 118 z d Uma vez que se deseja determinar o desloca ZY mento vertical do né F devido a torgéo da barra E G BC podese utilizar o Método da Carga Unitaria B Nesse sentido considerase uma fora virtual ver A 4 C tical com valor unitdrio atuando no no F tal D F como apresentado na Figura 836 Figura 836 Questao 88 Carga unitaria Realizando o equilibrio da estrutura sujeita a carga unitaria obtemos as seguintes reacdes de apoio A A SF 0 Ra 18 Yo Me 0 Mz 2 2M 0M 4 7 Buscamos apenas a contribuicéo que a torcgaéo na barra BC realiza para o deslocamento vertical em F Logo precisamos determinar o diagrama de torcdo nessa barra O equilibrio de barras e nds apresentado na Figura 837 indica que a torcaéo na barra BC constante e igual a 2 E G 8 y 1 Oo L B 1 2 C x 4 2 2 r 830 e3 9s EC 2 1 1 225 B Om B c 2 1 1 2 D F 1 Figura 837 Equilibrio de barras para carga unitaria Pelo Principio do Trabalho Virtual temos entaéo que 1 2 1 2 2 10 Arp tec x Tec de x xd r ai Bo BC caren 1 1 Ap 5 x 10 x 2x 2 B 4x 10 KN m2 10 Ar 000005 m 005 mm Destacase que o sinal negativo indica que o deslocamento é no sentido oposto ao da forca unitaria Como a forca foi aplicada para cima o sinal indica que o deslocamento é para baixo 119 89 Prova III 012023 Para determinadas condigoes de carregamento os momen A Xx B tos fletores do portico da figura variam de acordo com as ee equacoes abaixo para tracao no lado de referéncia indi cado Barra AB Ma 6x 28x 64 kN m Barra CB My 10sen27yL kN m AY me Pedese obter a rotacao do no B considerando L 4m e EI 2 x 10kNm L i Obs considerar apenas os efeitos de flexdo Figura 838 Questao 89 Primeiramente devemos obter as equacdes para o momento fletor referente ao sistema virtual sendo este obtido a partir da aplicagéo de um momento unitdrio no né B ponto que se deseja conhecer a rotagao A Figura 744 exibe o sistema virtual adotado e suas respectivas reagdes de apoio A M1 5 t 14 Tc Y L 14 Figura 839 Questao 89 Equagao analitica para o momento fletor do sistema virtual 1 Barra AB Mx 1 kN m Barra CB My 00 kN m Visto que a equacgéo do momento fletor na Barra BC é nula no sistema virtual basta empregar os esforcos da barra AB na obtencéo do deslocamento procurado mM 03 dx BarraaB EI 9 x 609 2827 64 d x 28x xt BP 2x108 J 4 1 6x4 03 x 7x 16x d B 2x 108 qt Or ae Portanto podese obter o deslocamento a partir da equacao abaixo adotandose x 40 1 6x 7x 16x 0p x d B aya0 Gxa7 a tp 64 x 10 rad sentido horario Tiilio Roberto Elddio Marques 120 810 Prova III 012023 Para a viga da figura onde L 1m Q 50kN M 40kNm P 80kN q 24kNm E 2x 10kNm G 1 x 10kNm I 216 x 103 m4 A 72 x 107 m f 65 a1x 107C AT 40C AT 10C secao retangular com h 06m pedese obter o deslocamento vertical para baixo na ponta do balango considerando a Somente os efeitos dos esforcos cortantes devido a carga Q b Somente os efeitos dos momentos fletores devido a carga Q c Somente os efeitos dos esforgos cortantes devido ao bindrio M d Somente os efeitos dos momentos fletores devido ao binario M e Somente os efeitos dos esforgos cortantes devido a carga P f Somente os efeitos dos momentos fletores devido 4 carga P g Somente os efeitos dos esforgos cortantes devido ao binario q h Somente os efeitos dos momentos fletores devido ao bindrio q i Somente os efeitos de flexao devido 4 variagao de temperatura Q M Pp q Ne ye Pos A B Cc ATp 15L L L 2L Figura 840 Questao 810 Formulario nN mM tT fsuV a raat mae az i f dz est EA est EI est GJ est GA AT AT naATog dx ma da est est h Sistema virtual Visto que P10 em todos os itens se deseja eee Cc D obter o deslocamento vertical A B Ary A sos 15L L L 2L 38 no no A é necessaério cons 152 ft at truir apenas um sistema vir Dv tual que é obtido a partir 38 da aplicagéo de uma carga unitaria neste ponto A Fi oe gura 841 exibe este sistema 10 virtual suas reagdes de apoio 15 DM e diagramas de esforco solici tantes momento fletor e forcga cortante Figura 841 Questao 810 10TYGlio Roberto Eladio Marques 121 Sistema real carga Q 300 A partir da decomposicao da E carga Q para emprego apenas B Ay A ge P 15L L L 2L 1125 de sua componente vertical na 4125 obtencao do sistema real refe pv rente a este carregamento 1125 Qy 500 x 06 300kN 300 A Figura 841 exibe este sis 450 DM tema real suas reacoes de apoio e diagramas de esforco solicitantes momento fletor e forga cortante Figura 842 Questiio 810 a A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV B10 300 E 38 1125 aff Ss f GA Ja GA Jp A Is 1 x 30 x 15 0375 x 1125 x 4 GA 61875 Aa 1031 x 1077 A Gags POSt x 10 m 1 b A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV E 15 450 A dex EI Ja Aa x 15 x 45 x 15 4 A EI 3 12375 Aa 2865 x 1073 A 432x108 m 1 Sistema real bindrio M 400 A Figura 843 exibe este sis CY E tema real suas reagdes de A B AY C D A apoio e diagramas de esforco est de 2 F100 solicitantes momento fletor e 100 forga cortante DV ey ee 1 DM 400 Figura 843 Questao 810 122 c A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV E38 100 wad t GA Jp Ay 254 x 10 x 0375 GA 15 Aa Sox 72 10 m t d A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV 15 400 if oN oN aaa ON Oa EI Jp Aa x 15 x 40 x 4 A EI 3 800 3 Sistema real carga P A Figura 844 exibe este sistema real suas reacdes de apoio e diagramas de esforco solicitantes momento fletor e forga cortante 800 E 7 ZL 15L L L 2L 200 DV 600 Fo CUO 200 DM 600 Figura 844 Questao 810 e A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV ff Le 1 Jay t Le Le A dz d A GA J GA Io Aa al x 60 x 0375 3 x 20 x 0375 Ag 00m 123 f A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular A através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV BTS 600 A2 dx EI Jp 1 1 3 1050 Aa 2431 x 1073 A 732 x 104 431 x 10 m T Sistema real carga q A Figura 845 exibe este sistema real suas reacdes de apoio e diagramas de esforco solicitantes momento fletor e forga cortante 24 ee Oe oye A 15L t L L 2L 360 120 DV 20 oT O5L 360 DM 240 lL Mmax 270 Figura 845 Questao 810 g A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV 38 120 a ff Le L Jaa ds f E360 dx GA Jp GA Jp fs 1 Ag 2 x 12 x 0375 x 0375 x 12 36 x 15 05 GA 2 A 00m h A partir dos diagramas de esforgos expostos anteriormente podese calcular Ay através da aplicagao do Principio dos Trabalhos Virtuais PTV Dp 6 EO eS Ag i om 240 dx i oe 240 dx EI Jp EI Jp 1 1 1 Aa zr l6 240 x 15 2 x 075 x 2 6 075 x 240 2 x 270 x 2 420 Aa 9722 x 104 A 735 x igi 99722 x 10 m 1 124 i A variagéo de temperatura indicada no problema deve ser decomposta para obter sua parcela linear con forme ilustrado na Figura 846 Assim obtémse a parcela de deformacao de flexao 40C 15C AT ATxaxd 15C 15C x a x da 10C Zee ts tC 06 Figura 846 Questao 810 380adx 06 A partir dos resultados para o sistema virtual obtido no inicio da questaéo Figura 841 obtémse BTS Lom A 06 15x55 30 x 107 Aga AO y DUAN 2 06 Aa 20625 x 107 m J 125