Slide - Modelos Probabilísticos - 2024-1

Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Sumário Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas 1 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas • Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado. • Em geral, nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta, isto é, existe uma “lei” para atribuir probabilidades • Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros • Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas • Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado. • Em geral, nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta, isto é, existe uma “lei” para atribuir probabilidades • Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros • Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas • Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado. • Em geral, nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta, isto é, existe uma “lei” para atribuir probabilidades • Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros • Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas • Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado. • Em geral, nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de uma forma mais compacta, isto é, existe uma “lei” para atribuir probabilidades • Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros • Esses modelos são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por nós construídos 2 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Uma variável aleatória segue o modelo Uniforme Discreto, com valores x1, x2, . . . , xk, se tem função de probabilidade dada por: P(X = x) = p(x) = 1/k; para x = x1, x2, . . . , xk. Usamos a notação X ∼ Ud(E) para indicar que a variável aleatória X possui (ou segue uma..) distribuição de probabilidade Uniforme Discreta, com E sendo o conjunto de valores que X assume. 3 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto: O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplos: a) Lançamento de um dado b) sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos. c) sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS: • Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir, que podem ser qualquer número real. Entretanto, o número de valores diferentes precisa ser finito, pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge. • A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada, e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável. 4 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto: O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplos: a) Lançamento de um dado b) sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos. c) sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS: • Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir, que podem ser qualquer número real. Entretanto, o número de valores diferentes precisa ser finito, pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge. • A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada, e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável. 4 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo uniforme discreto Condições que identificam o Modelo uniforme discreto: O modelo Uniforme Discreto representa situações em que todos os possíveis valores da variável posssui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplos: a) Lançamento de um dado b) sorteio de um equipamento eletrônico em um lote com uma quantidade fixa de equipamentos distintos. c) sorteio de uma pessoa em um determinado grupo de pessoas OBS: • Não há restrição quanto aos valores que a variável pode assumir, que podem ser qualquer número real. Entretanto, o número de valores diferentes precisa ser finito, pois a soma de um número infinito de constantes positivas diverge. • A função de distribuição acumulada de uma variável Uniforme Discreta é uma função escada, e os pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável. 4 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Lançamos um dado equilibrado e observamos a face que ocorreu. Sendo X essa variável aleatória, é fácil verificar que X ∼ Ud(E), com E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sua função de probabilidade é p(x) = 1/6 para x = 1, 2, . . . , 6. 5 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 1 2 3 4 5 6 0.10 0.14 0.18 0.22 x p(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 0.0 0.5 1.0 1.5 x FX(x) G G G G G G G G G G G Figura 1: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para o exemplo anterior 6 / 35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OOOCOD@O0D0NO00O00N00000000000000000 O° Modelo uniforme discreto Se X ~ Ug(E), com E = {x;,..., Xx}, temos: 1 k E(X) = px= KL i=1 { k _ 22 —_ _ 2 Var(X) = 0°(X) = ¢ ) (x ax) i=1 7/35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OOOCOD@O0D0NO00O00N00000000000000000 O° Modelo uniforme discreto Se X ~ Ug(E), com E = {x;,..., Xx}, temos: 1 k E(X) = px= KL i=1 { k _ 22 —_ _ 2 Var(X) = 0°(X) = ¢ ) (x ax) i=1 No quadro! 7/35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Na prática existem muitos experimentos que fornecem apenas dois valores (chamados de variáveis dicotômicos). Exemplos: • Uma peça é classificada como boa ou defeituosa. • Um entrevistado concorda ou não com uma informação. • Uma vacina imunizou ou não uma criança • O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo Estes experimentos recebem o nome de ensaios de Bernoulli e originam uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli. 8 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Uma variável aleatória segue o modelo Bernoulli se assume apenas os valores 0 ou 1. Sua função de probabilidade é dada por P(X = x) = px(1 − p)1−x, para x = 0, 1. (1) Usamos a notação X ∼ Ber(p) para indicar que a variável aleatória X possui (ou segue uma..) distribuição de probabilidade Bernoulli. No modelo Bernoulli, a probabilidade p é denominada um parâmetro do modelo. 9 / 35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OOODODODO@OOCOOOOO00DOCOO000000000000 O° Modelo Bernoulli Na pratica, 6 comum atribuir 1 ao evento de interesse, que comumente chamamos de sucesso (Ex: diagnostico positivo em um exame, face cara de uma moeda etc.), e 0 ao evento complementar, que comumente chamamos de fracasso. 10/35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OOOCODCOND@O000O0000C0000000000000000 O° Modelo Bernoulli Na pratica, 6 comum atribuir 1 ao evento de interesse, que comumente chamamos de sucesso (Ex: diagnostico positivo em um exame, face cara de uma moeda etc.), e 0 ao evento complementar, que comumente chamamos de fracasso. Exemplo: O exemplo mais comum de um experimento de Bernoulli é o langamento de uma moeda. X= 0, coroa 1, cara Entao X ~ Ber(p) com p = P(cara). Se a moeda for honesta, entao p = 1/2. 10/35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x p(x) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 x FX(x) G G G Figura 2: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para o exemplo anterior 11 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Bernoulli Se X ∼ Ber(p), então: E(X) = µX = p Var(X) = σ2(X) = p(1 − p) De fato, note que: E(X) = 0.P(X = 0) + 1.p(X = 1) = P(X = 1) = p. Var(X) = E(X 2) − µ2 X. Então, calculemos primeiro E(X 2): E(X 2) = 02.P(X = 0) + 12.P(X = 1) = P(X = 1) = p. Logo Var(X) = p − p2 = p(1 − p) 12 / 35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OCODDDOOOOOO@OO00C000DND0D0O0O000000000 ° Modelo Binomial A repetigao de sucessivos ensaios de Bernoulli 6 fonte de estudo de muitos problemas interessantes. 13/35 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatérias discretas Bibliografia OOODODDODOO@OO0000OOC00000000000000 O° Modelo Binomial A repetigao de sucessivos ensaios de Bernoulli 6 fonte de estudo de muitos problemas interessantes. Considere uma sequéncia de n ensaios de Bernoulli, independentes. Seja X o numero total de sucessos obtidos, na realizagao de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X segue 0 modelo Binomial com parametros ne p e sua funcao de probabilidade é dada por P(X ” ae (X =x) = x p*(1—p)"*, para x = 0,1,2,...,n. Usamos a notagao X ~ B(n, p) para indicar que a variavel aleatéria X possui (ou segue uma..) distribuigao de probabilidade Binomial com parametros ne p. 13/35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 x fx 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x FX(x) G G G G G G G G G G G G G G G GG GG GG Figura 3: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo B(11, 0.35) 14 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20 pessoas foi vacinado, desejamos saber o comportamento probabilístico do numero de pessoas imunizada nesse grupo. Calcule: a) A probabilidade de que exatamente 15 pessoas tenham sido imunizadas. b) A probabilidade de que pelo menos 16 pessoas tenham sido imunizadas c) A probabilidade de que pelo menos 5 pessoas tenham sido imunizadas. No quadro! 15 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20 pessoas foi vacinado, desejamos saber o comportamento probabilístico do numero de pessoas imunizada nesse grupo. Calcule: a) A probabilidade de que exatamente 15 pessoas tenham sido imunizadas. b) A probabilidade de que pelo menos 16 pessoas tenham sido imunizadas c) A probabilidade de que pelo menos 5 pessoas tenham sido imunizadas. No quadro! 15 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Em uma prova de múltipla escolha cada questão possui 5 alternativas, dentre as quais, somente uma é a correta. Nessa prova, há 10 questões. Um determinado aluno não estudou para essa prova, mas, ele decide fazer a prova e tentar a “sorte”. Assumindo que, em cada questão, o aluno chuta cada uma das alternativas com igual chance, calcule: a) a probabilidade de que ele acerte exatamente as 10 questões. b) a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões No quadro! 16 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Em uma prova de múltipla escolha cada questão possui 5 alternativas, dentre as quais, somente uma é a correta. Nessa prova, há 10 questões. Um determinado aluno não estudou para essa prova, mas, ele decide fazer a prova e tentar a “sorte”. Assumindo que, em cada questão, o aluno chuta cada uma das alternativas com igual chance, calcule: a) a probabilidade de que ele acerte exatamente as 10 questões. b) a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões No quadro! 16 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes? No quadro! 17 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes? No quadro! 17 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Binomial Se X ∼ B(n, p), então: E(X) = µX = np Var(X) = σ2(X) = np(1 − p) No quadro! 18 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Binomial Se X ∼ B(n, p), então: E(X) = µX = np Var(X) = σ2(X) = np(1 − p) No quadro! 18 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrico Considere uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, independentes. Defina X como o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso, ou, em outras palavras, o tempo de espera (em termos de ensaios anteriores) para o primeiro sucesso. A variável X segue o modelo Geométrico com parâmetro p, 0 < p < 1, e tem função de probabilidade dada por: P(X = x) = p(1 − p)x, para x = 0, 1, 2, . . . Usamos a notação X ∼ Geo(p) para indicar que a variável aleatória X possui (ou segue uma..) distribuição de probabilidade Geométrica com parâmetros p. 19 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 x fx 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x FX(x) G G G G G G G G G G G G G GG GG GG GG Figura 4: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo Geo(0.35) em 10 ensaios anteriores de Bernoulli antes do primeiro sucesso 20 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Um banco de sangue necessita de sangue do tipo O-Rh negativo. Seja p a proporção de indivíduos na população com esse tipo de sangue. Suponha que as pessoas são escolhidas da população ao acaso para serem examinadas se tem esse tipo de sangue. O número de pessoas examinadas antes de se encontrar a primeira pessoa com esse tipo de sangue tem distribuição geométrica com parâmetro p. Calcule para p = 0, 1 a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada com esse tipo de sangue ser a quinta. No quadro! 21 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Um banco de sangue necessita de sangue do tipo O-Rh negativo. Seja p a proporção de indivíduos na população com esse tipo de sangue. Suponha que as pessoas são escolhidas da população ao acaso para serem examinadas se tem esse tipo de sangue. O número de pessoas examinadas antes de se encontrar a primeira pessoa com esse tipo de sangue tem distribuição geométrica com parâmetro p. Calcule para p = 0, 1 a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada com esse tipo de sangue ser a quinta. No quadro! 21 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito. A partir da manuntenção, o equipamento tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Deseja-se planejar o cronograma de manutenção preventiva e, para tal, decidiu-se avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida. No quadro! 22 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito. A partir da manuntenção, o equipamento tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Deseja-se planejar o cronograma de manutenção preventiva e, para tal, decidiu-se avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida. No quadro! 22 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Se X ∼ Geo(p), em que X contabiliza o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso, então: E(X) = µX = 1 − p p Var(X) = σ2(X) = 1 − p p2 No quadro! 23 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Se X ∼ Geo(p), em que X contabiliza o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso, então: E(X) = µX = 1 − p p Var(X) = σ2(X) = 1 − p p2 No quadro! 23 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Geométrio Para o modelo Geométrico, se X contabiliza o número de ensaios necessários para a ocorrência do primeiro sucesso, então a função de probabilidade apresentada anteriormente sofrerá uma leve alteração, e esta será apresentada por: P(X = x) = p(1 − p)x−1, para x = 1, 2, . . . E neste caso, E(X) = 1 p Var(X) = 1 − p p2 24 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo Uma empresa precisa consultar informações públicas disponibilizadas em um site governamental que é protegido com um sistema de CAPTCHA. Para isso, ela programou um algoritmo baseado em OCR (optical character recognition) que resolve corretamente as CAPTCHAS com p = 0.5. Calcule: a) Qual a probabilidade de quebrar a CAPTCHA na segunda tentativa? b) Se o site tiver uma regra de bloquear o acesso após 7 ou mais tentativas erradas, para evitar ação de robô, qual a chance dela ser bloqueada? 25 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Propriedade de falta de memória da distribuição geométrica Se X é variável aleatória discreta com distribuição geométrica dada por p(x) = p(1 − p)x para x = 0, 1, 2, . . ., então para todo j, k=1, 2, . . . tem-se: P(X ≥ j + k|X ≥ j) = P(X ≥ k). (2) A expressão em (2) reflete a propriedade de falta de memória ou desgate da distribuição geométrica. 26 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Propriedade de falta de memória da distribuição geométrica • Considere um objeto cujo tempo de vida é uma variável aleatória X com distribuição geométrica com parâmetro p. • Assuma que esse tempo de vida é medido em unidades discretas de tempo, ou seja, ao final do dia verifica-se se o aparelho continua a funcionar ou não. • A expressão em (2) nos diz que se o objeto funcionou até o instante j, então a probabilidade de que ele funcione por mais k unidades de tempo é a mesma que a probabilidade de que um objeto novo funcione por k unidades de tempo. 27 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos em determinada unidade (de tempo, volume, comprimento, área, ...). Exemplos: a) Número de consultas a uma base de dados em um minuto. b) Número de acidentes de trabalho por semana em uma fábrica. c) Número de pequenas manchas por m2 no esmaltado de uma geladeira. d) Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa a cada 10 min. e) Número de carros que chegam ao campus entre 7:00 e 8:00h. f) Número de microorganismos por cm3 de água contaminada. 28 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Uma variável aleatória X segue o modelo de Poisson de parâmetro λ (e denotaremos por X ∼ P(λ)), λ > 0, se sua função de probabilidade for a seguinte: P(X = x) = e−λλx x! , x=0,1,. . . , em que x é o número de eventos em unidades de medida, e λ indica a taxa de ocorrência por unidade de medida 29 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 x fx 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x FX(x) G G G G G G G G G G G G G G G G G GG GG Figura 5: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo P(λ = 4) 30 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo O número de mensagens eletrônicas (em centenas) recebidas por um provedor em horário comercial foi modelado por uma variável Poisson com taxa de 15 centenas por dia. As instalações disponíveis podem vender, com o padrão de qualidade desejado, até 2 mil mensagens diárias. Você diria que tem havido muita reclamação pelo serviço do provedor? 31 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Exemplo As chegadas a um posto de atendimento ocorrem de forma independente seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a média de chegadas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade de que este posto receba no máximo 2 solicitações em um intervalo de 2 minutos? 32 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Do exemplo anterior constatamo que sendo X ∼ P(λ), em que X contabiliza o número de ocorrências de um evento em um certo intervalo de tempo, variando-se o intervalo de interesse, X continua sendo uma distribuição Poisson, mas, com parâmetro λ ajustado proporcionalmente. Assim, X ∼ P(λt). 33 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Modelo Poisson Se X ∼ P(λ), então: E(X) = µX = λ Var(X) = σ2(X) = λ 34 / 35 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa. 35 / 35