Exercícios - Introd à Mecânica dos Sólidos - 2024-1

10a Questão Para o tensor tensão em um ponto indicado na figura, a) Expresse o tensor tensão no sistema x, y, z em notação matrizial. b) Expresse os componentes do tensor tensão no sistema x', y' e z' rotacionado de 30° no sentido anti-horário no entorno do eixo z. c) Determine os componentes principais do tensor tensão d) Determine a matriz dos cossenos diretores [L], em 3D, das normais aos planos principais, em relação ao sistema x, y e z. Questão 01 a 04 Para cada um dos casos a seguir determine: 1) a) Deslocamento U (em função de k1, k2 e F) b) Forças internas nos modos k1 e k2. PRECISAMOS ENCONTRAR AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO, AS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS E AS EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE: EQUILÍBRIO: F = f1 CONSTITUTIVAS: f1 = k1 * U COMPATIBILIDADE: Δx1 = Δx2 - DESLOCAMENTO U = ? - FORÇAS INTERNAS EM K1 e K2 8a Questão Para o estado de tensão no ponto indicado no lado: a) Represente o tensor tensão em notação matrizial no sistema x, y, z. b) Represente o tensor tensão, em notação matrizial, no sistema x', y' e z' rotacionado de 30° sentido anti-horário no entorno do z. 9a Questão Para o estado de tensão da 2a questão, determine: a) Componentes principais do tensor tensão b) Cossenos diretores das normais aos planos principais em relação ao sistema x, y e z. 2) Ko -> Mola rotação Kl -> Mola linear Barra AB é rígida. a) Deslocamento do ponto B b) Rotação no apoio A c) Força na mola Kl d) Momento na mola Ko. 1) Δu = x₀' - x₀ = u Δx₁ = x₁' - x₁ = u f₁ = k₁Δ₁ = k₁u 2) ΣFx = 0 => F₁ - f₁ = 0 => F₁ = f₁ = k₁u u = F / (k₁ + k₂) f₁ = k₁F / (k₁ + k₂) f₂ = k₂F / (k₁ + k₂) a) Deslocamento u (em termos k₁, k₂, F) b) Forças internas nas molas k₁ e k₂ 2) Ko: mola rotação Kl: mola linear Barra AΒ é rígida a) Deslocamento do ponto B b) Rotação no apoio A c) Força na mola Kl d) Momento na mola Ko. 3) Δx = -b senθ = -bθ Δy = -a senθ = -aθ ΣMo = f₁a - f₂b - n₀ - n₀ = Ko(-aθ) - K₂(-bθ)b = M Koθ - pL - Kl(Lθ)L = 0 => Koθ - pL - kLθL² = 0 θ = -pL / (Ko + KlL²) 4) Pegando C como referência f₁ = Κ₁Δ₁ Io = Pb + K₁(α1 + Δ2) = K₂(aθ - bθ) Pb = abk₁ - b²Ke - KoP = θε(abKl - KOV) AB + b̂Kl = theta/Kappa b) θ = -M / (a²k₁ + b²k₂) a) Deslocamentos de B e C b) Rotação da haste AB em relação a OC c) Força em K₁ e K₂ d) Momento em Ko. q_1\begin{bmatrix}\sigma_1'&\tau_{12}'&\tau_{13}'\\\tau_{12}'&\sigma_2'&\tau_{23}'\\\tau_{13}'&\tau_{23}'&\sigma_3'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}100\\20\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}100\\-50\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\200\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_1/\psi_1&\xi_2/\psi_2&\xi_3/\psi_3\\\cos30&\cos60&\cos90\\\cos60&\cos30&\cos60\\\cos90&\cos0&\cos0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}100&20&0\\20&0&200\\0&200&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos30&\cos60&\cos90\\\cos60&\cos30&\cos60\\\cos90&\cos0&\cos0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\n\sigma_1'\begin{bmatrix}-7.5&0&5\\5&-7.5&-0.5\\0&0&20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\\cos30\end{bmatrix}\left\{\begin{aligned}-300L_{1x}+201L_{1y}=0\\20L_{1x}+250L_{1y}=0\end{aligned}\right\}\begin{bmatrix}0.9645&0.6668\\0.1402&0.7765\\0&0.0015\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\1\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\text{I}_1&\text{I}_2&\text{I}_3\\0&0&0\end{bmatrix}\\\text{Rotation}*\begin{bmatrix}\frac{1}{15}\begin{pmatrix}0.961&0.7615\\0&0.031\end{pmatrix}\end{bmatrix}\ q_3\begin{bmatrix}\sigma_1'&\tau_{12}'&\tau_{13}'\\\tau_{12}'&\sigma_2'&\tau_{23}'\\\tau_{13}'&\tau_{23}'&\sigma_3'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}100\\10\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}100\\50\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\-100\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi_1/\psi_1&\xi_2/\psi_2&\xi_3/\psi_3\\\cos30&\cos60&\cos90\\\cos60&\cos30&\cos60\\\cos90&\cos0&\cos0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}100&0&10\\10&50&0\\0&0&-100\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos30&\cos60&\cos90\\\cos60&\cos30&\cos60\\\cos90&\cos0&\cos0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\n\sigma_1'\begin{bmatrix}-2.5&0.5&7.5\\0&-5.0&2\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\-0.5\\\cos30\end{bmatrix}\left\{\begin{aligned}-500L_{1x}+300L_{1y}+0=0\\50L_{2x}+0L_{2y}+0=0\end{aligned}\right\}\begin{bmatrix}0.9705&0.4928\\0.1513&0.2644\\0&0.0054\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\text{I}_1&\text{I}_2&\text{I}_3\\0&0&0\end{bmatrix}\\\text{Rotation}*\begin{bmatrix}\frac{1}{1}\begin{pmatrix}0.194&0.8033\\0.004&1.364\end{pmatrix}\end{bmatrix}\