Lista 2 - Análise Estrutural - 2023-2

Lista # 2 1. Para a treliça do Exemplo 1: a) Calcular o deslocamentovertical do nó A, para uma redução de temperatura de T1 graus nas barras AB e AC e um aumento de T2 graus na barra BD; b) Calcular o deslocamentohorizontal do nó A, considerando que as barras AB e AC têm comprimento(L + e), a barra BC (√2 L - e) e a barra CD (L - e). 2. Para o pórtico da Exemplo 2, considere que o apoio A sofreu um recalque igual a 2 cm (↓) e o apoio D sofreu um recalque igual a 6 cm (↓) . Calcular a translação horizontal em B e a rotação em C. Lista # 2 cont No Exemplo 3, assumir w = 5 kN/m, P = 6 kN, LAB = 4 m; LBC = 6 m; LCD = 4 m. 1) Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga hiperestática da Figura (a). Obter esse diagrama a partir da superposição de efeitos (Fase L, [Fase 1 x Q1] e [Fase 2 x Q2]); 2) Obter as reações de apoio na estrutura hiperestática a partir da superposição de efeitos (Fase L, [Fase 1 x Q1] e [Fase 2 x Q2]). 2 Na treliça do Exemplo 4, considere que o nó A está sujeito a uma força horizontal igual a 3P (orientada para a esquerda ←) e o nó B uma força vertical igual a 2P (↓). Assumir P = 2 kN e L = 1,5 m. a) Obter os hiperestáticos Q1 e Q2 tomando-os como: (i) a reação no apoio B (Q1); e (ii) a força axial na barra BC (Q2); b) Obter as reações de apoio na treliça hiperestática a partir da superposição de efeitos (Fase L, [Fase 1 x Q1] e [Fase 2 x Q2]); c) Obter a força axial na barra AB da treliça hiperestática a partir da superposição de efeitos (Fase L, [Fase 1 x Q1] e [Fase 2 x Q2]). Apresentar os cálculos de forma organizada em uma tabela. 3 Lista # 2 cont Exemplo 1 - Treliça Variação de temperatura • 1 (translação horizontal do nó B) para um aumento de temperatura de T graus na barra BD. • 2 (deslocamento relativo entre os nós A e D) ….. ? FASE U (1) FASE U (2) 2 = (- 1/√2)  L T 2 = -  L T/ √2 ➢ E I = 3 x 105 kN.m2 6 A D 40 kN 3 m B C 5 m Exemplo 2 10 kN Exemplo 3 EI constante ao longo de todo o vão; não há recalques de apoios. 7 GIE = 2 EIF → Fase L → Fase 1 → Fase 2 Exemplo 3 8 ← Fase L ← Fase 1 ← Fase 2 [F]{Q} = {Dale} - {Dae}; ∴ [F]{Q} = - {Dae} Dae1 = \frac{wl^3}{24EI} + \frac{PL^2}{16EI} = \frac{PL^2}{8EI}, Dae2 = \frac{PL^2}{16EI}; {Dae} = \frac{L^2}{48EI}\begin{pmatrix} 2wl + 3P \\ 6P \end{pmatrix} F11 = \frac{2L}{3EI}, F21 = \frac{L}{6EI} ; F12 = \frac{L}{6EI} F22 = \frac{2L}{3EI} [F] = \frac{1}{6EI}\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix} Então: \frac{1}{6EI}\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Q_1\\ Q_2 \end{pmatrix} = - \frac{L^2}{48EI} \begin{pmatrix} 2wl + 3P\\ 6P \end{pmatrix} 4Q_1 + Q_2 = - \frac{1}{8}(2wl + 3P)L Q_1 + 4Q_2 = - \frac{1}{8} \cdot 6PL 32Q_1 + 8Q_2 = -2wl^2 - 3PL 8Q_1 + 32Q_2 = -6PL 32Q_1 + 8Q_2 = -2 wl^2 - 3PL \underline{-32Q_1 - 128Q_2 = -24PL} -128Q_2 = -2wl^2 + 21PL Q_2 = \frac{wl^2}{60} - \frac{7PL}{40}, Q_1 = -\frac{wl^2}{15} - \frac{PL}{20} Superposição de efeitos 10 ← Fase L ← Fase 1 x Q1 ← Fase 2 x Q2 GIE = 2 (condiçãode isostaticidade: b + v = 2 n; 6 + 4 = 10 > 2 x 4 = 8) Exemplo 4 - Treliça EIF • EA cte para todas as barras • Q2: ação da barra sobre o nó, representada como tração. Exemplo 4 - Treliça FASE L FASE 1 FASE 2 (6) EA DQL1= - 3,828 PL; (7)EA DQL2= - 2 PL; (8) EA F11 = 3,828 L; (9) EA F12 = EA F21= 2,707 L; (10) EA F22 = 4,828 L. Barra L NL N1 N2 NL N1 L NL N2 L N12 L N1 N2 L N22 L (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) AD 2 L 0 0 1 0 0 0 0 2 L AB L P 0 - 2/2 0 - 2/2 PL 0 0 L / 2 AC L -2 P 0 - 2/2 0 2 PL 0 0 L / 2 BD L P - 1 - 2/2 - P L - 2/2 PL L 2/2 L L / 2 CD L 0 0 - 2/2 0 0 0 0 L / 2 CB 2 L - 2 P 2 1 - 2 2 PL - 2 PL 2 2 L 2 L 2 L 14 Superposiçãode efeitos: Equaçõesde compatibilidadede deslocamentos: Redundanteshiperestáticos: • Q2: sinal negativo significa o oposto à condição inicialmente assumida; portanto a barra AD está comprimida. Exemplo 4 - Treliça 15 Procedimento Obter o GIE; Definir a EIF e incógnitas (hiperestáticos); Fase L: Cálculo dos deslocamentos DQL1 e DQL2 ; Fase 1: Cálculo de F11 e F21; Fase 2: Cálculo de F12 e F22; Equação de compatibilidade: Resolução do sistema de equações e obtenção dos hiperestáticos Q1e Q2. Em forma matricial: Exemplo 4 - Treliça Exerc´ıcio 1 Parte (a) Para calcular o deslocamento vertical do n´o A devido a uma varia¸c˜ao de temper- atura nas barras, utilizamos a express˜ao para a dilata¸c˜ao (ou contra¸c˜ao) linear das barras: ∆vA = αL(−T1 √ 2 + T2) onde: • α ´e o coeficiente de dilata¸c˜ao t´ermica do material das barras, • L ´e o comprimento original das barras, • T1 ´e a redu¸c˜ao de temperatura nas barras AB e AC, • T2 ´e o aumento de temperatura na barra BD. Parte (b) Para calcular o deslocamento horizontal do n´o A considerando as varia¸c˜oes de comprimento das barras, temos: ∆hA = L − √ 2 2 e − e onde: • L ´e o comprimento original das barras AB e AC, • e ´e a varia¸c˜ao de comprimento dada. Exerc´ıcio 2 Dado o p´ortico na Exemplo 2, com o apoio A tendo um recalque de 2 cm e o apoio D um recalque de 6 cm, calcularemos as rea¸c˜oes nos apoios e as rota¸c˜oes nos pontos B e C. Os deslocamentos nos apoios s˜ao dados por: δA = −2 cm δD = −6 cm Usando o m´etodo dos deslocamentos, assumimos que o p´ortico ´e indeform´avel em seu plano e que as rota¸c˜oes nos n´os B e C s˜ao iguais devido `a simetria das for¸cas e geometria. Portanto, a rota¸c˜ao em B e C, denotada por θB e θC, ser´a a mesma. 1 Para um elemento de pórtico com uma constante de rigidez à flexão EI, a relação entre o momento fletor M e a rotação θ é dada por: M = EI \cdot θ\hspace{0.25cm} (1) O momento no ponto B, causado pelo recalque em A, pode ser calculado por: M_B = \frac{EI}{L_{AB}} \cdot δ_A \hspace{0.25cm} (2) onde L_{AB} é a distância entre os pontos A e B. O momento no ponto C, causado pelo recalque em D, é: M_C = \frac{EI}{L_{CD}} \cdot δ_D \hspace{0.25cm} (3) onde L_{CD} é a distância entre os pontos C e D. A rotação nos pontos B e C pode ser expressa como: θ_B = θ_C = \frac{M_B + M_C}{EI}\hspace{0.25cm} (4) Agora, aplicando as condições de equilíbrio estático, podemos encontrar as reações de apoio. Para o equilíbrio vertical: \textstyle \sum F_y = 0 \Longrightarrow R_A + R_D - P = 0 \hspace{0.25cm} (5)\displaylines{} onde P é a soma das cargas verticais aplicadas. Para o equilíbrio do momento em A: \textstyle \sum M_A = 0 \Longrightarrow M_B + M_C - P \cdot d = 0 \hspace{0.25cm} (6)\displaylines{} onde d é a distância horizontal da carga P ao ponto A. Substituindo M_B e M_C nas equações de equilíbrio, obtemos as reações R_A e R_D. Exercício 3 Para a viga hiperestática dada, com uma carga distribuída de w = 5 kN/m e uma carga pontual de P = 6 kN, e comprimentos L_{AB} = 4 m, L_{BC} = 6 m, e L_{CD} = 4 m, procedemos da seguinte forma: Parte 1: Diagrama de Momentos Fletores Primeiramente, calculamos os momentos fletores através da superposição dos efeitos das cargas em cada fase da estrutura: Fase L: Para uma carga distribuída w, o momento em qualquer ponto é dado por \frac{wL^2}{2}. • Fase 1 e Fase 2: Os momentos Q1 e Q2 s˜ao determinados pela resolu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes proveniente das condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio est´atico. Com os momentos Q1 e Q2 calculados, superpomos os efeitos para obter o diagrama de momentos total. Figure 1: Diagrama de Momentos Fletores para a viga hiperest´atica. Parte 2: Rea¸c˜oes de Apoio As rea¸c˜oes de apoio s˜ao calculadas pela superposi¸c˜ao dos efeitos das rea¸c˜oes devido `a carga distribu´ıda w e os momentos Q1 e Q2: RA = RL1 + RQ1A = w(LAB + LBC + LCD) 2 + Q1 LAB RB = RL2 + RQ2B = w(LAB + LCD) + Q2 LBC RC = RL2 + RQ2C = w(LAB + LCD) − Q2 LBC RD = RL3 + RQ1D = w(LAB + LBC + LCD) 2 − Q1 LCD Substitu´ımos os valores de w, P, LAB, LBC, LCD, Q1, e Q2 para obter as rea¸c˜oes num´ericas nos apoios. 3 RA = 17.62 kN RB = 43.07 kN RC = 36.93 kN RD = 52.38 kN Estes resultados representam a combina¸c˜ao das rea¸c˜oes devido `a carga dis- tribu´ıda e aos momentos de hiperestaticidade Q1 e Q2. Exerc´ıcio 4 No Exemplo 4, consideramos uma treli¸ca sujeita a cargas externas e internas hiperest´aticas. O n´o A est´a submetido a uma for¸ca horizontal de 3P para a esquerda e o n´o B a uma for¸ca vertical de 2P para baixo. As for¸cas internas desconhecidas Q1 e Q2 s˜ao determinadas a partir da condi¸c˜ao de compatibilidade de deslocamentos. Dados e Cargas Aplicadas • For¸ca horizontal em A: 3P • For¸ca vertical em B: 2P • Onde P = 2 kN e L = 1.5 m. C´alculo das For¸cas Axiais As for¸cas axiais em cada barra foram calculadas considerando a superposi¸c˜ao dos efeitos das fases L (carga aplicada), 1 (devido a Q1), e 2 (devido a Q2). A rigidez de cada barra foi assumida como constante (EA). Equa¸c˜oes de Compatibilidade de Deslocamentos Resolvemos o sistema de equa¸c˜oes matriciais para encontrar os valores hiper- est´aticos Q1 e Q2, que s˜ao essenciais para determinar as for¸cas nas barras e as rea¸c˜oes de apoio. Rea¸c˜oes de Apoio e For¸cas Axiais Com as for¸cas Q1 e Q2 conhecidas, calculamos as rea¸c˜oes de apoio e as for¸cas axiais nas barras, como mostrado na tabela a seguir. Interpreta¸c˜ao dos Resultados O sinal negativo na for¸ca axial da barra AD indica compress˜ao, enquanto a rea¸c˜ao no apoio B ´e positiva, indicando uma rea¸c˜ao para cima. 4 Barra For¸ca Axial (Ni) (kN) Rea¸c˜ao no Apoio B (kN) For¸ca Axial na Barra BC (kN) AD -0.486 6*-2.775 6*6.898 AB 0.142 AC -6.830 BD -2.202 CD -2.344 CB 6.898 Table 1: For¸cas axiais e rea¸c˜oes de apoio na treli¸ca hiperest´atica. 5