P4 Resolvida - Cálculo 2 2020-2

PROVA 4 FINAL CALC 2 2020/2 QUESTÃO 1-A 1) Funções: T(x,y,z) P(y,z) R(P,T) = R( P(y, z); T(x,y,z)) Olhar os valores de x, y e z, no caso aqui, x= 2, y= 2, z= 3. sendo assim tem que se achar δ𝑅 pois se pede a taxa de de δ𝑥 variação do ritmo cardíaco sobre x. Portanto, δ𝑅 δ𝑥 = δ𝑅 δ𝑇 × δ𝑇 δ𝑥 Sabendo de: T(2,2,3) = 2 P(2,3) = 2 R(2,2) e que R(2,2) está relacionado a δ𝑅 (2,2) = 2 δ𝑇 e δ𝑇 (2,2,3) = 2 δ𝑥 δ𝑅 δ𝑥 = δ𝑅 δ𝑇 × δ𝑇 δ𝑥 δ𝑅 δ𝑥 = 2 × 2 δ𝑅 = 4 δ𝑥 QUESTÃO 1-B 1) Seguindo a linha de raciocínio da questão 1-a, T(V,x) z(x,y) B(T,z) = B( T(V,x) ; z(x,y)) Sendo, V=3, x=4, y=2, e sendo pedido δ𝐵 fazendo δ𝑉 δ𝐵 δ𝑉 = δ𝐵 δ𝑇 × δ𝑇 δ𝑉 Sabendo de, T(3,4) = 3 z(4,2) = 2 B(3,2) e que R(2,2) está relacionado a (3,2) = 4 e (3,4) = 4 δ𝐵 δ𝑇 δ𝑇 δ𝑉 δ𝐵 δ𝑉 = δ𝐵 δ𝑇 × δ𝑇 δ𝑉 = 16 δ𝐵 δ𝑉 = 4 × 4 δ𝑅 δ𝑥 QUESTÃO 2 2) Sabendo que, como mostrado na imagem abaixo os vetores gradientes indicam as direções de crescimento do gráfico; E que o ponto sela é onde não se tem nem máximo nem mínimo local, e esses próprios apontam os próprios valores respectivos no gráfico, avaliando assim as curvas de nível da questão: Avaliando os pontos e determinando assim, P1 -> por não possuir nem max nem min é o Ponto Sela P2 -> Máx local como indicado no gradiente de cores ao lado P3 -> Gradiente aponta para direita pois é a direção que o gráfico cresce quando observado no local P4 -> Mín local como indicado no gradiente de cores ao lado P5 -> Gradiente aponta para baixo pois é a direção que o gráfico cresce quando observado no local P6 -> Gradiente aponta para esquerda pois é a direção que o gráfico cresce quando observado no local QUESTÃO 3 3) Sabendo que h(a, c, s) = g( w( x( a) ; y( s) ; z(a, c, s) )) Pedindo para calcular δℎ (2, -1, -1) δ𝑎 Sendo que h(a, c, s) = (2, -1, -1) e relacionando as variáveis: a = 2, c = -1, s = -1; Sabendo portanto que utilizando os valores dados na questão, x(a) -> x(2) = -2 y(s) -> y(-1) = 3 z( a, c, s) -> z(2, -1, -1) = -2 w( x(a) ; y(s) ; x(a, c, s)) -> w(-2, 3, -2) = -1 Usando por fim a Regra da Cadeia δℎ δ𝑎 = δ𝑤 δ𝑥 × δ𝑥 δ𝑎 + δ𝑤 δ𝑦 × δ𝑦 δ𝑎 + δ𝑤 δ𝑧 × δ𝑧 δ𝑎 Sabendo que e utilizando os valores nos dados incluídos na questão relativos a cada sequência encontrada relacionada a cada variável, δ𝑤 = -1 δ𝑥 δ𝑥 = 4 δ𝑎 δ𝑤 = 0 δ𝑦 = ? δ𝑦 δ𝑎 δ𝑤 = 2 δ𝑧 δ𝑧 = 2 δ𝑎 Chegamos à seguinte conclusão: 4 + 0 + 2 2 δℎ δ𝑎 = − 1 × × 0 δℎ δ𝑎 = QUESTÃO 4 4) Sabendo que a função z = f(z, y) possui a derivada direcional na 5 2 direção do vetor v1 = (2,2); Calculando essa derivada, 5 2 = ⛛𝑓(𝑃) . <2, 2> 8 achando pela derivada do vetor u = = 8 𝑣 𝑣 | | < 2 , 2 > 2 2+2 2 = 10 = . < 2 , 2 > 5 2 × 8 ⛛𝑓(𝑃) Agora calculando a segunda derivada pelo segundo vetor 11 10 = ⛛𝑓(𝑃) . <3, 1> 10 achando pela derivada do vetor u = = 10 𝑣 𝑣 | | < 3 , 1 > 3 2+1 2 = 11 = . < 3 ,1 > 11 10 × 10 ⛛𝑓(𝑃) ⛛𝑓(𝑃). < a ,b > A partir disso fazendo um sistema para achar os vetores finais: { (a, b) (2, 2) =10 { (a,b) (3,1) = 11 2a+2b = 10 3a + b = 11 2a = 6 a = 3 b= 5-a b=2 OBS: se for crescimento - > mesmo vetor decrescimento -> vetor (-1) × nulo - > vetor ortogonal QUESTÃO 5 5) Sabendo que S: -xz - 2x - 𝑦 2 + 2𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 p= (1, 3, 0) -> -2 -9 +6 +1 +0 =0 -> 4 q(1, 1, 0) -> -2-1 + 2 + 1=0 -> 0 r(3, 1, 2) -> -6-6-1+2+2+1 = 0 -> -8 T: 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 8𝑥 − 2𝑦 + 9 = 𝑧 p= (1, 3, 0) -> 2 +3 -8 -6 +9 =0 -> 0 q(1, 1, 0) -> 2 +1 - 8 -2 +9 =0 -> 2 r(3, 1, 2) -> 18 +3 -24 -2 +9= 0 -> 4 U:2𝑥 − 𝑦𝑧 + 6𝑦 + 𝑧 − 12 = 0 p= (1, 3, 0) -> 2 +18 -12 = 0 -> 8 q(1, 1, 0) -> 2 +6 -12 =0 -> -4 r(3, 1, 2) -> 6 -2 +6 +2 -12= 0 -> 0 Assim, q S ; p T ; r U ϵ ϵ ϵ Agora, para achar :𝑒 1) Realizar as derivadas parciais de S, T e U S (P0) = (-z - 2, -2y+2, -x +1) ⛛ T (P0) = (4x +y -8, x-2, -1) ⛛ U (P0) = (2, -z+6, -y+1) ⛛ 2) Jogar os valores respectivos de cada ponto com seu plano e fazer as contas: S (q) = (-(0) - 2, -2(1)+2, -(1) +1) = (-2, 0, 0) ⛛ T (p) = (4(1) +(3) -8, (1)-2, -1) = (-1, -1, -1) ⛛ U (r) = (2, -(2)+6, -(1)+1) = (2, 4, 0) ⛛ 3) Substituir os valores obtidos na equação do plano: fx(p0)(x- x0)+ fy(p0) (y- y0) +fz(p0) (z-z0) utilizando os valores originais dos pontos q ->Ps: (-2)(x - x0) -> -2(x- 1) = 0 -> -2x+2=0 p ->Pt: (-1)(x - x0) +(-1)(y-y0)+(-1)(z-z0) = 0 -> -(x-1) -(y-3) -z=0 -> x+y+z -4 =0 r -> Pu: (2)(x - x0) +(4)(y-y0)+(0)(z-z0) = 0 -> 2(x-3)+4(y-1)=0 -> 2x+4y -10 =0 -> x+2y-5=0 4) Por fim realiza a interseção entre os pontos: {-2x+2=0 {x+y+z-4=0 {x+2y-5=0 Assim: 𝑒 (𝑥, 𝑦, 𝑧)= (1, 1, 2) QUESTÃO 6 6) Seja \( D \subset \mathbb{R}^2 \) o retângulo de vértices t_1 = (0, -4), \ t_2 = (0, 4), \ t_3 = (2, -4), \ t_4 = (2, 4) e seja \( f : D \to \mathbb{R} \) a função dada por \( f(x, y) = \frac{x y}{2} - \frac{x^2}{3} + \frac{y^3}{3} - y^2 - 2 \). a) Indique a soma das coordenadas de todos os pontos críticos no interior do retângulo 0 2 \(\frac{1}{2}(7 - \sqrt{11})\) 2 \sqrt{5} - 5 1 + \sqrt{2} b) Indique a soma das coordenadas de todos os pontos de máximo e de mínimo absolutos sobre a fronteira 4 6 0 − 1 − \sqrt{6} 5 3 2 c) Indique a soma dos valores máximo e mínimo absolutos 107 6 275 3 181 6 4 \left( 59 + \frac{11 \sqrt{33}}{4} \right) 40 Seja D \subset \mathbb{R}^2 o retângulo de vértices v_1 = (0, -4) v_2 = (0, 4) v_3 = (2, -4) v_4 = (2, 4) E seja \( f: O \to \mathbb{R} = f(x,y) = \frac{x y}{2} - \frac{x^2}{3} + \frac{y^3}{3} - y^2 - 2 \) A) Qual a soma das coordenadas de todos os pontos críticos no interior do retângulo? - Tire as derivadas parciais e igualá-las a zero. - f_x = \frac{x}{2} = 0 ⟹ x(y-1) = 0 ⟹ x=0 ou y=1 - f_y = \frac{x}{2} + \frac{3y}{2} - 2 = 0 ⟹ \frac{x}{2} + 1 - 2 = 0 ⟹ x = ± \sqrt{2} - \( P_1(0,0), P_2(0,2)\) - \( P_3(\sqrt{2}, 1), P_4(-\sqrt{2}, 1)\) - O único ponto que está no interior do retângulo é \( P_3 \) - Soma das coordenadas = 1 + \sqrt{2} B) Indique a soma das coordenadas de todos os pontos de máximo e de mínimo absolutos sobre a fronteira. - Nos lados: >> LADO 1: x = 0 ⟹ f(0, y) = \frac{y^3}{3} - y^2 - 2 - f'(0, y) = \frac{y}{2} - 2y = -\frac{y}{2} - 0 ⟹ y = 0 ou y = 2 - \( P_1(0,0), P_2(0,2)\) >> LADO 2: - f(x, 4) = 2x^2 - \frac{x^2}{2} - f'(x, 4) = 4x - x = \frac{3}{2}(4^2 - 2) - P_3(0,4) >> LADO 3: x = 2 ⟹ f(2, y) = 2y - \frac{3y^2}{2} - f'(2, y) = 2y = 0 ⟹ x = 0 - L ➔ \sqrt{} y \in \mathbb{R} - >> LADO 4: - f(x, -4) = -2x^2 + (y^3/2) - f'_c(x, -4) = -4x - x = 0 ⟹ x=0 - >> P_4(0,4) • Substituir os vértices e os pontos P1, P2, P3 e P4 em f(x,y): f(P1) = f(0,0) = -2 f(P2) = f(0,2) = 8/3 - 4 - 2 = -10/3 f(P3) = f(0,4) = 6*4/3 - 16 - 2 = -19/3 f(P4) = f(0,-4) = -6*4/3 - 16 - 2 = -118/3 f(V1) = f(0,-4) => V1 = P4 f(V2) = f(0,4) => V2 = P3 f(V3) = f(2,-4) = -142/3 -> menor valor => V3 é mín. absoluto f(V4) = f(2,4) = 28/3 -> maior valor => V4 é máx. absoluto • Soma das coordenadas de V3 e V4 2 + 4 + 2 - 4 = 4 c) Indique a soma dos valores máximo e mínimo absolutos. Compre calculado no exercício anterior, MIN = -149/3 e MÁX = 22/3 Logo, -149/3 + 28/3 = -40 A) B) Y | 4-| 4 | | P4| L004 | P3 | 2-| x | |________________x|__ X -4-| L002 (0) | P1 | | X xP2 -2-| 2 -2-| -2 0 2 4 (A) (B) QUESTÃO 7 7) Sabendo que x+y= é uma superfície cujos pontos estão próximos 𝑧 2 + 1 ao ponto P(2,1,0), 𝑧 2 = 𝑥 + 𝑦 − 1 Em que a somatória total deles g = x+y - =0, 𝑧 2 − 1 utilizando da soma desses pontos com as coordenadas do ponto P sendo d e utilizando pitágoras e 𝑑 2 = (𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 1) 2 + (𝑧 − 0) 2 𝑑 2 = (𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 1) 2 + 𝑧 2 Fazendo as relações de cada ponto com as coordenadas do ponto P onde se deriva d para cada relação, f=𝑑 2 fx = 2(x-2) = 2x -4 fy = 2(y-1)= 2y-2 fz= 2z Derivando g = x+y - =0, 𝑧 2 − 1 gx= 1 gy= 1 gz= -2z Assim a relação de vetores fica < 2x-4, 2y-2 , 2z > = λ < 1, 1 , − 2𝑧 > {2x-4=λ {2y-2=λ x= 3 e y= 2 1 2 Sendo assim, 2z=-2z.λ λ=1 Por fim, 𝑧 2 = 2 − 1 = 1 𝑧 2 z=+-1 Portanto, x+y+z= 1