Slide - Comprimento e Áreas em Coordenadas Polares

Comprimento e ´areas em coordenadas polares Equipe de C´alculo II Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Matem´atica Equipe de C´alculo II (UFMG) Curvas Polares 1 / 10 Revisao Relembre que: Revisao Relembre que: Dados dois pontos Pi(x1, v1) e Po(x2, y2) no plano, a distancia entre P; e Pp é dada pela expressdo d(P1, Po) = \/ (x2 — x1)? + (y2 — 1)? = y/ (Ax)? + (Ay)?. Relembre que: Dados dois pontos Pi(x1, v1) e Po(x2, y2) no plano, a distancia entre P; e Pp é dada pela expressdo d(P1, P2) = \/ (x2 — x1)? + (v2 — yu)? = y/ (Ax)? + (Ay)?. Theorem (Teorema do Valor Médio) Seja f uma fun¢ao real continua no intervalo [a, b] e diferencidvel no intervalo (a, b). Entao existe c € (a,b) tal que f(b) — f(a) = f’(c)(b— a). Revisao Sejam f : [a, b] + R uma fun¢ao e Pix9=a< xy < Xo <1 << Xp < xX, = bd uma parti¢do do intervalo [a, b]. INITIO Sejam f : [a, b] + R uma fun¢ao e Pix9=a< xy < Xo <1 << Xp < xX, = bd uma parti¢do do intervalo [a, b]. Uma soma de Riemman de f sobre [a, b] com parti¢ao P é definida como n n So FOP )04 = x11) = SO FOF) AX, i=1 i=1 onde x} € [xj-1, xi]. INITIO Sejam f : [a, b] + R uma fun¢ao e Pix9=a< xy < Xo <1 << Xp < xX, = bd uma parti¢do do intervalo [a, b]. Uma soma de Riemman de f sobre [a, b] com parti¢ao P é definida como n n So FOP )04 = x11) = SO FOF) AX, i=1 i=1 onde x} € [xj-1, xi]. A integral de Riemann de f em [a, b] é definida como a n f(x)dx = — lim f (x7) Ax; | ( ) malt so 2 ( i) ” desde que o limita exista e independa da escolha dos x;‘’s e da parti¢ao do intervalo [a, b]. Comprimento Seja r = f (θ), a ≤ θ ≤ b, uma curva polar. Seja P : θ0 = a < θ1 < θ2 < · · · < θn−1 < θn = b uma parti¸c˜ao do intervalo [a, b]. Equipe de C´alculo II (UFMG) Curvas Polares 3 / 10 Comprimento Seja r = f (θ), a ≤ θ ≤ b, uma curva polar. Seja P : θ0 = a < θ1 < θ2 < · · · < θn−1 < θn = b uma parti¸c˜ao do intervalo [a, b]. Equipe de C´alculo II (UFMG) Curvas Polares 3 / 10 Comprimento Os pontos que pertencem a curva tém coordenadas cartesianas (f(8) cos(@), f(A) sin(@)). Os pontos que pertencem a curva tém coordenadas cartesianas (f(8) cos(@), f(A) sin(@)). Escreva x; = f(0;) cos(0;) = g(0;) e y; = f(6;) sin(@;) = h(0;). Sabemos que a distancia entre os pontos (xj-1, yi-1) e (xi, yi) € dada por L;=4/ (Ax;)? + (Ay;)?. Os pontos que pertencem a curva tém coordenadas cartesianas (f(8) cos(@), f(A) sin(@)). Escreva x; = f(0;) cos(0;) = g(0;) e y; = f(6;) sin(@;) = h(0;). Sabemos que a distancia entre os pontos (xj-1, yi-1) e (xi, yi) € dada por L;=4/ (Ax;)? + (Ay;)?. Observe que Ax; = g(6;) — g(6i-1) e Ay; = h(6;) — h(O;_1). Os pontos que pertencem a curva tém coordenadas cartesianas (f(8) cos(@), f(A) sin(@)). Escreva x; = f(0;) cos(0;) = g(0;) e y; = f(6;) sin(@;) = h(0;). Sabemos que a distancia entre os pontos (xj-1, yi-1) e (xi, yi) € dada por Li = \/ (Axi)? + (Ayi)?. Observe que Ax; = g(6;) — g(9j-1) e Ay; = h(6;) — h(6;_-1). Aplicando o Teorema do Valor Médio as fungdes g e A no intervalo [0;-1, 6;], encontramos 6%, 0** € (6;-1,;) tais que Ax; = g’(0*)A6; e Ay; = h'(0**)A6;. Logo, L; = /(e'(08))? + (H())PA6;, Os pontos que pertencem a curva tém coordenadas cartesianas (f(0) cos(@), f(@) sin(@)). Escreva x; = f(0;) cos(@;) = g(9;) e yi = £(6;) sin(0;) = h(0;). Sabemos que a distancia entre os pontos (x;-1, yi-1) € (xj, yj) € dada por L;= 4/ (Ax;)? + (Ay;)?. Observe que Ax; = g(9;) — g(9;-1) e Ay; = A(6;) — A(6;-1). Aplicando o Teorema do Valor Médio as fun¢cdes g e fh no intervalo [0;-1, 0;], encontramos 67,07" © (0;-1,0;) tais que Ax; = g’(0*)A6; e Ay; = h'(0*)A6;. Logo, L; = \/(e'(97))? + (h'(07*))? Aj. Assim, 0 comprimento da curva r = f(6@),0 € [a, b], 6 aproximadamente de Vv (e'(8))? + (Al (8#*))P?4G;. Portanto, o comprimento da curva r = f(6),6 © [a, b], é dado por b | Ver +H @pae. a Portanto, o comprimento da curva r = f(6),6 © [a, b], é dado por b | Ver +H @pae. a Lembrando que g(0) = f(@) cos(@) e h(0) = f(8)sin(@), temos que g' (9) = f'(A) cos(@) — f(8) sin(@) e A’(8) = f'(8) sin(@) + F(A) cos(@). Assim, (g/(9))° + (h'(0))? = (0)? + F(0)?. Portanto, o comprimento da curva r = f(6),6 © [a, b], é dado por b | Ver +H @pae. a Lembrando que g(0) = f(@) cos(@) e h(0) = f(8)sin(@), temos que g' (9) = f'(A) cos(@) — f(8) sin(@) e A’(8) = f'(8) sin(@) + F(A) cos(@). Assim, (g'(8))? + (h(8))? = #8)? + F(A). Com isso, o comprimento da curva r = f(0),6 © [a, b], € dado por b / /#1(0)2 + F(0)2d0. a Exemplo: Encontre o comprimento da curva polar r = 3sin(6), 1 0<d<-H. 3 Exemplo: Encontre o comprimento da curva polar r = 3sin(6), 0<0< > Aqui, f(@) = 3sin(@). Logo, [ \/f1(0)2 + F(0)2d0 = I \/9.cos(0)2 + 9sin(6)2d0 = 7. 0 0 ´Area Seja r = f (θ), a ≤ θ ≤ b, uma curva polar. Seja P : θ0 = a < θ1 < θ2 < · · · < θn−1 < θn = b uma parti¸c˜ao do intervalo [a, b]. Equipe de C´alculo II (UFMG) Curvas Polares 7 / 10 ´Area Seja r = f (θ), a ≤ θ ≤ b, uma curva polar. Seja P : θ0 = a < θ1 < θ2 < · · · < θn−1 < θn = b uma parti¸c˜ao do intervalo [a, b]. Equipe de C´alculo II (UFMG) Curvas Polares 7 / 10 Area Em cada sub-intervalo [0;-1, 6;], escolha 67. A drea da regido delimitada por 6;_1 e 6; sera aproximadamente a drea do setor circular de raio (07) e angulo central A6;. Area Em cada sub-intervalo [0;-1, 6;], escolha 67. A drea da regido delimitada por 6;_1 e 6; sera aproximadamente a drea do setor circular de raio (07) e angulo central A6;. Logo, o valor da area da regido delimitada pela curva polar r = f(0) e pelos raios 0 = ae @ = b, com 0 < b—a < 27, sera aproximadamente “1 de at (GAG, i=1 , . ~ 1 2 que é uma soma de Riemann da fun¢do g(6) = 5f(9) ; Em cada sub-intervalo [0;-1, 6;], escolha 67. A drea da regido delimitada por 6;_1 e 6; sera aproximadamente a drea do setor circular de raio (07) e angulo central A6;. Logo, o valor da area da regido delimitada pela curva polar r = f(0) e pelos raios 0 = ae @ = b, com 0 < b—a < 27, sera aproximadamente “1 So 5 F(07)° AG, c4 2 i=1 , . ~ 1 2 que é uma soma de Riemann da funcdo g(@) = 5f(9) Com isso, definimos a area da regido delimitada pela curva polar r = f(0) e pelos raios 0 = ae 0 =b por 1 b = / f(0)*d0. 2 a Area Exemplo: Calcule a drea dentro de um laco da curva r = 3cos(50). Area Exemplo: Calcule a drea dentro de um laco da curva r = 3cos(50). 2 A f \ : - | RS | “sah 7 <o\\\ Exemplo: Calcule a drea dentro de um laco da curva r = 3cos(56). 3 A 3 = 3 v 5 . : T 1 , oe r=0= 3c0s(50) =0=> 50 = 77 d= To: Logo, o valor da area é igual a 1 fi 10 9 fio 9 = i 9cos?(50)d0 = 9 |” cos*(50)d@ = = fe + cos(100))d@ = a 2 J_x 0 2 Jo 20 Area Exemplo: Encontre a area da regido que esta dentro da curva r =1-—sin(@) e fora da curva r= 1. Area Exemplo: Encontre a area da regido que esta dentro da curva r =1-—sin(@) e fora da curva r= 1. \ He | Exemplo: Encontre a area da regido que esta dentro da curva r =1-—sin(@) e fora da curva r= 1. is er ib; 1—sin(@) = 1= sin(0) =0 > 0=0 ou 0 =7. Logo, a area é dada por 1 Qa 1 Qn >| ((1 — sin(@))? — 1)d@ = >| (sin2(@) — 2sin(0))d0 = T Tv 1 Qa i| (1 — cos(20) — 4sin(0))dg = 78. 4 J, 4