Slide - Funções de Duas Variáveis

Funções de Várias Variáveis 1 - Introdução: funções de duas variáveis Equipe de Cálculo II Universidade Federal de Minas Gerais 1 Funções de Duas Variáveis Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x, y) ∈ D ⊂ R2 um único número real, denotado como f(x, y). O conjunto D é denominado domínio de f e sua imagem são os valores atingidos de f, ou seja, {f(x, y)|(x, y) ∈ D}. Exemplo Parabolóide de rotação: z = f(x, y) = x2 + y2 variáveis independentes x, y variável dependente z 2 Domínios O domínio de uma função é parte essencial de sua definição. Deve conter apenas pontos nos quais as operações envolvidas no cálculo da função podem ser efetuadas. Exemplo f(x, y) = x ln(y2 − x) Domínio (em azul): D = {(x, y)|x < y2} Imagem: R 3 Exemplo f(x, y) = √x + y + 1 (x − 1)2 Domínio (em azul): D = {(x, y)|x + y + 1 ≥ 0, x ̸= 1} Imagem: {z ≥ 0} 4 Gráfico de uma função Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que z = f(x, y) e (x, y) ∈ D. Em geral, esse gráfico será uma superfície. 5 Exemplo Gráfico da função z = y e−(x2+y2) 6 Exemplo Gráfico da função z = sen ( π √ x2 + y2 ) 7 Exemplo Gráfico da função z = (x2 − 1)(y2 − 4) + x2 + y2 − 5 (x2 + y2 + 1)2 8 Observação Uma equação nas variáveis x, y, z pode ter várias soluções e portanto implicar em várias funções z = f1(x, y), z = f2(x, y), etc. Exemplo x2 + y2 + z2 = 25 ⇒ { z = f1(x, y) = + √ 25 − x2 − y2 z = f2(x, y) = − √ 25 − x2 − y2 Esfera de centro em (0, 0, 0) e raio 5. 9 Quádricas As equações quadráticas em x, y e z fornecem vários exemplos interessantes de superfícies e de funções de duas variáveis (uma variável em termos das outras duas). Exemplo Elipsóide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 10 Exemplo Parabolóide elíptico z c = x2 a2 + y2 b2 11 Exemplo Parabolóide hiperbólico z c = y2 b2 − x2 a2 12 Exemplo Cone elíptico z2 c2 = x2 a2 + y2 b2 13 Exemplo Hiperbolóide de uma folha x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 14 Exemplo Hiperbolóide de duas folhas −x2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1 15