Teste 4 - Cálculo Diferencial e Integral 2 2021 1

As soluções são (-1, -1, -1), (1, 1, -1) e (0, 0, 0) e as somas das coordenadas de cada um são -3, 1 e 0. A resposta correta é 0. Sua resposta está correta. Primeiro observamos que p não pertence à superfície. A função que queremos minimizar é F(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z + 2)^2 que da a distância do ponto (x, y, z) ao ponto (0, 0, -2). A função que define a restrição x^2 + xy + y^2 + 3z = 0 é G(x, y, z) = x^2 + xy + y^2 + 3z. Os gradientes são ∇F(x, y, z) = (2x, 2y, 2(z + 2)) e ∇G(x, y, z) = (2x + y, x + 2y, 3). Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, a equação que permite calcular os pontos críticos é {∇G(x, y, z) = λ∇F(x, y, z) G(x, y, z) = 0 {2x + y = 2xλ x + 2y = 2yλ 3 = 2(z + 2)λ x^2 + xy + y^2 + 3z = 0 Gostaríamos de determinar qual ou quais pontos da superfície de equação x^2 + xy + y^2 + 3z = 0 estão mais próximos do ponto p = (0, 0, −2). Utilizando o método de multiplicadores de Lagrange obtemos 3 candidatos. Assinale a soma das coordenadas de algum deles. Escolha uma opção: ○ 0 ○ -1 - √3 ○ -1 ○ 3 ○ -2 ○ 2 Os candidatos a máximo ou mínimo na fronteira são os pontos obtidos junto com vértices do quadrado (0,0), (0,1), (0,2) (4,0), (4,1) e (4,2) e os valores de f nesses pontos são respectivamente 1, \frac{3}{2}, 1, \frac{139}{3}, \frac{269}{6} e \frac{139}{3} Os máximos na fronteira estão em (4,0) e (4,2) os mínimos na fronteira estão em (0,0) e (0,2) e a soma das coordenadas de todos eles é 12 3) O máximo da função é \frac{139}{3} e o mínimo é 1. A soma dos dois números é \frac{142}{3}. Avaliamos a função no lado direito. f(4,y) = \frac{3y^2}{2} - 3y + \frac{139}{3}, calculamos a derivada a respeito de y, 3y - 3 e os zeros da derivada no intervalo 0 < y < 2 são \{1\}. Obtemos o(s) ponto(s) crítico(s) (4,1) Avaliamos a função no lado inferior. f(x,0) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 1, calculamos a derivada a respeito de x, x^2 + 3x que não tem zeros no intervalo 0 < x < 4. Avaliamos a função no lado superior. f(x,2) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 1, calculamos a derivada a respeito de x, x^2 + 3x que não tem zeros no intervalo 0 < x < 4. 1) Para achar os pontos críticos no interior do retângulo resolvemos (0,0) = \nabla f(x,y) (0,0) = \left(x^2 + 3x + \frac{y^2}{2} - y, xy - x - y + 1\right)\begin{\cases}0 = x^2 + 3x + \frac{y^2}{2} - y \\ 0 = yx - x - y + 1\end{\cases} As soluções da equação são \left(\frac{1}{2}\left(-3 - \sqrt{11}\right),1\right) e \left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{11} - 3\right),1\right) e as que ficam dentro do retângulo são \left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{11} - 3\right),1\right) e a soma das coordenadas de todos esses pontos é \frac{1}{2}\left(\sqrt{11} - 1\right). 2) Avaliamos a função no lado esquerdo. f(0,y) = -\frac{y^2}{2} + y + 1, calculamos a derivada a respeito de y, 1 - y e os zeros da derivada no intervalo 0 < y < 2 são \{1\}. Obtemos o(s) ponto(s) crítico(s) (0,1) Avaliamos a função no lado direito. f(4,y) = \frac{3y^2}{2} - 3y + \frac{139}{3}, calculamos a derivada a respeito de y, 3y - 3 c) Indique a soma dos valores máximo e mínimo absolutos de \( f \) \( \frac{62}{3} \) \( \frac{142}{3} \) 34 4 \( \frac{59}{6} \) \( \frac{88}{3} \) Atingiu 0,00 de 1,00 A resposta correta é: \( \frac{142}{3} \). b) Seja \( C \) o bordo de \( D \), e \( g : C \to \mathbb{R} \) a restrição de \( f \). Indique a soma das coordenadas de todos os pontos de máximo e de mínimo absolutos de \( g \) 10 6 8 2 12 7 Atingiu 0,00 de 1,00 A resposta correta é: 12. Seja \( D \subseteq \mathbb{R}^2 \) o retângulo de vértices \( v_1 = (0, 0), v_2 = (0, 2), v_3 = (4, 0), v_4 = (4, 2) \) e seja \( f : D \to \mathbb{R} \) a função dada por \[ f(x, y) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{xy^2}{2} - xy - \frac{y^2}{2} + y + 1. \] a) Indique a soma das coordenadas de todos os pontos críticos no interior do retângulo \( \frac{7}{4} \) \( \frac{1}{2} (\sqrt{11} - 1) \) -1 2 \( 4 - \sqrt{\frac{3}{2}} \) \( \frac{5}{3} \) Atingiu 1,00 de 1,00 A resposta correta é: \( \frac{1}{2} (\sqrt{11} - 1) \). então obtemos: ⎧ 2z = 0 ⎨ 4x − y + 2z − 1 = 0 ⎩ −2x − 3z − 4 = 0 Para as equações dos 3 planos. A única solução desse sistema de equações é (−2, −9, 0) Primeiramente, substituímos as coordenadas dos pontos p, q, r nas equações. Um ponto pertence à superfície quando a equação é satisfeita nesse ponto. Obtemos p ∈ U, q ∈ T, r ∈ S. Se escrevemos as equações de forma implícita fS(x, y, z) = 2x² − yx − 8x + 2y − z + 8 = 0 fT(x, y, z) = 4x − 3y + yz − z + 5 = 0 fU(x, y, z) = 2y² + xy + yz + y + z² + xz + 2 = 0 obtemos os vetores normais aos planos nos pontos dados: ⎧ ∇fS(x, y, z) = (4x − y − 8, 2 − x, −1) ⎨ ∇fT(x, y, z) = (4, z − 3, y − 1) ⎩ ∇fU(x, y, z) = (y + z, x + 4y + z + 1, x + y + 2z) ⎧ ∇fS(2, 0, 0) = (0, 0, −1) ⎨ ∇fT(0, 3, 2) = (4, −1, 2) ⎩ ∇fU(1, 0, −2) = (−2, 0, −3) Determine o ponto de interseção dos 3 planos tangentes, nos pontos correspondentes. ○ (−2, −9, 0) ○ (−1, −3, −1) ○ (3, −1, 2) ✖ ○ (0, −1, 2) ○ (10, 7, −1) ○ (1, 6, −1) ○ (−6, 4, 0) ○ (4, 1, −1) Atingiu 0,00 de 3,00 A resposta correta é: (−2, −9, 0). Considere as superfícies dadas pelas equações S : 2x^2 - xy - 8x + 2y + 8 = z T : 4x + yz - 3y - z + 5 = 0 U : xy + xz + 2y^2 + yz + y + z^2 - 2 = 0 e os pontos p = (1, 0, -2) q = (0, 3, 2) r = (2, 0, 0) Associe cada ponto com a superfície à qual pertence ○ p ∈ U, q ∈ S, r ∈ T ○ p ∈ T, q ∈ U, r ∈ S ○ p ∈ S, q ∈ T, r ∈ U ○ p ∈ T, q ∈ S, r ∈ U ○ p ∈ U, q ∈ T, r ∈ S ✔ ○ p ∈ S, q ∈ U, r ∈ T Atingiu 1,00 de 1,00 A resposta correta é: p ∈ U, q ∈ T, r ∈ S. Seja f(x, y) uma função diferenciável e F(s, t) = f(e^s + cos(π + t), -2s^2 + 2st + 2t^2). Dados os valores \( \frac{\partial f}{\partial y} \left( \frac{1}{e^s} - \cos(3), -18 \right) = 0 \text{ e } \frac{\partial f}{\partial x} \left( \frac{1}{e^s} - \cos(3), -18 \right) = -1, \) determine a derivada direcional de F no ponto (-3, 3) na direção do vetor (3, -1) Escolha uma opção: ○ \( \frac{2e^3 \sen(3) + 11}{\sqrt{13} e^3} \) ○ 0 ○ \( \frac{-2 \sen(3) + 15 + 2e^3}{\sqrt{5}} \) ○ \( \frac{2\left(10 \sen(6)+e^4\right)}{\sqrt{5}} \) ○ 6 ○ \( \frac{e^3 \sen(3) -3}{\sqrt{10} e^3} \) ❌ incorreta. ○ \( \frac{-26}{\sqrt{5}} \) Sua resposta está incorreta. A resposta correta é: \( \frac{e^3 \sen(3) -3}{\sqrt{10} e^3} \). obtemos \[ \frac{\partial h}{\partial x} (-2, 2, 3) = \left( \frac{\partial a}{\partial z} (r, u, z) \right) \frac{\partial v}{\partial a} (a(r, u, z), c(r, u, z)) + \frac{\partial c}{\partial z} (r, u, z) \frac{\partial v}{\partial c} (a(r, u, z), c(r, u, z)) \] utilizamos as igualdades: r = -2 u = 2 z = 3 obtemos \[ \frac{\partial h}{\partial x} (-2, 2, 3) = g'(v(a(-2, 2, 3), c(-2, 2, 3))) \left(\frac{\partial a}{\partial z} (-2, 2, 3) \frac{\partial v}{\partial a} (a(-2, 2, 3), c(-2, 2, 3)) \] utilizamos as igualdades: a(-2, 2, 3) = 2 c(-2, 2, 3) = 4 \[ \frac{\partial a}{\partial z} (-2, 2, 3) = 2 \] \[ \frac{\partial c}{\partial z} (-2, 2, 3) = 2 \] obtemos \[ \frac{\partial h}{\partial x} (-2, 2, 3) = g'(v(2, 4)) \left( 2\frac{\partial v}{\partial a} (2, 4) + 2\frac{\partial v}{\partial c} (2, 4) \right) \] utilizamos as igualdades: v(2, 4) = -2 \[ \frac{\partial v}{\partial a} (2, 4) = 3 \] \[ \frac{\partial v}{\partial c} (2, 4) = 2 \] obtemos \[ \frac{\partial h}{\partial x} (-2, 2, 3) = 10g'(-2) \] utilizamos as igualdades: g'(-2) = -3 Finalmente obtemos \( \frac{\partial h}{\partial x} (-2, 2, 3) = -30 \) A resposta correta é: -30. Seja \( h\left(r,u,z\right) = g\left(v\left(a\left(r,u,z\right),c\left(r,u,z\right)\right)\right) \) Suponha que \( \frac{\partial a}{\partial r} (-2,-2,3) = 0, g'(-2) = -3, c(-2,2,3) = 4, \frac{\partial c}{\partial r} (-2,2,3) = 2, \frac{\partial c}{\partial z} (-2,2,3) = 2, a(-2,3,2) = -2, \frac{\partial v}{\partial c} (4,2) = 2, \frac{\partial v}{\partial a} (-2,2,3) = -1, \frac{\partial v}{\partial a} (2,4) = 1, v(2,4) = -2, \frac{\partial a}{\partial z} (-2,2,3) = 2, \frac{\partial v}{\partial c} (2,4) = 3, a(-2,2,3) = 2 e v(4,2) = 1 \). Calcule \( \frac{\partial h}{\partial z} (-2,2,3) \). Escolha uma opção: O -30 O -6 O 24 O 18 O 0 O -19 O 8\hspace{10pt} \checkmark\text{ correta} Seja \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) uma função \( C^1 \) cujas curvas de nível estão desenhadas no seguinte gráfico. Indique a informação correta satisfeita pelos pontos \( A, B, C, X, W \) e \( Z \). A: Gradiente aponta à esquerda \hspace{10pt} \checkmark B: Gradiente aponta à direita \hspace{10pt} \checkmark C: Gradiente aponta para cima \hspace{10pt} \checkmark X: Ponto de sela \hspace{10pt} \checkmark W: Gradiente aponta para cima \hspace{10pt} \checkmark Z: Gradiente aponta à direita \hspace{10pt} \checkmark A salinidade da água \( S \) está dada pela seguinte composição: \( S = S(P(x,y),T(x,y)) \) Calculamos a derivada utilizando a regra da cadeia. obtemos \( \frac{\partial S}{\partial y} = \frac{\partial S}{\partial P}(P(x,y),T(x,y)) \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) + \frac{\partial T}{\partial y}(x,y) \frac{\partial S}{\partial T}(P(x,y),T(x,y)) \) utilizamos as igualdades: \{ x = 4 \newline y = -2 \} obtemos \( \frac{\partial S}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial y}(4,-2) \frac{\partial S}{\partial P}(P(4,-2),T(4,-2)) + \frac{\partial T}{\partial y}(4,-2) \frac{\partial S}{\partial T}(P(4,-2),T(4,-2)) \) utilizamos as igualdades: \( P(4,-2) = 3 \newline T(4,-2) = -3 \newline \frac{\partial P}{\partial y}(4,-2) = 2 \newline \frac{\partial T}{\partial y}(4,-2) = 2 \) obtemos \( \frac{\partial S}{\partial y} = 2 \cdot \frac{\partial S}{\partial P} (2,-3) + 4 \cdot \frac{\partial S}{\partial T} (2,-3) \) utilizamos as igualdades: \{ \frac{\partial S}{\partial P} (2,-3) = -4 \newline \frac{\partial S}{\partial T} (2,-3) = 2 \} Finalmente obtemos \( \frac{\partial S}{\partial y} = 8 \) Marcos, o jacaré, está mergulhando na lagoa da Pampulha, com uma posição no mapa dada pelas variáveis x, y e uma profundidade z. Sabemos que a temperatura da água T depende de x e y, por meio da função T(x, y) e a pressão P depende de x e y, por meio da função P(x, y) por sua vez, a salinidade da água S depende da pressão P e da temperatura da água T, por meio da função S(P, T). São conhecidos os seguintes dados: \frac{\partial S}{\partial P}(2, -3) = 4, \frac{\partial S}{\partial T}(-3, 2) = 1, T(4, -2) = -3, \frac{\partial P}{\partial x}(-2, 4) = 1, \frac{\partial T}{\partial x}(4, -2) = 4, \frac{\partial T}{\partial y}(4, -2) = 4, P(4, -2) = 2, \frac{\partial P}{\partial y}(-2, 4) = -2, P(-2, 4) = 3, \frac{\partial T}{\partial x}(-2, 4) = -1, \frac{\partial S}{\partial P}(2, -3) = -2 e T(-2, 4) = 0 Calcule a taxa de variação da salinidade da água S com respeito a y, quando x = 4 e y = -2. resposta: -4 (A resposta é um número inteiro.)