Exercício Mecânica Racional

4a e 5a Semana 1 Considere um oscilador harmônico fortemente amortecido submetido a uma força externa Ft F₀τ t eαt α F₀ τ 0 a 2 pontos Encontre uma solução geral b 2 pontos Identifique as soluções estacionária e transiente 2 Considere os campos de forças dados por i vecFvecr U₀a³ 2xy yz y² hati x² xz 2xy y² hatj yz hatk ii vecFxy U₀ π 2a² cosπ xy 2a² y hati x hatj então a 2 pontos Verifique se os campos de forças são conservativos ou não e encontre uma energia potencial caso afirmativo b 2 pontos Calcule o trabalho das forças entre o ponto vecrA 0 e o ponto vecrB ahati hatj através de um caminho determinado pelo arco de circunferência no sentido do ponteiro do relógio no plano xy dado por x a² y² a² 3 Exercício Extra a Seja o sistema de coordenas cilíndricas dado pela expressão vecrρφz ρcos φ hate1 sin φ hate2 z hate3 Então escreva a velocidade e aceleração nesse sistema de coordenadas b Uilizando um sisema de coodenadas polares no plano expresse a relação funcional entre θ e t para o pêndulo simples através de uma integral utilizando o método da energia Questão 1 Oscilador Harmônico Fortemente Amortecido com Força Externa Enunciado Considere o oscilador harmônico fortemente amortecido submetido a uma força externa Ft F₀ teαt α 0 F₀ 0 a Encontre a solução geral b Identifique as soluções estacionária e transiente Resolução a Solução Geral 1 Equação do Movimento do Oscilador A equação diferencial que rege o movimento é m ddotx γ dotx kx Ft Onde m massa do oscilador γ coeficiente de amortecimento k constante elástica do sistema Ft F₀ t eαt força externa aplicada 2 Transformando a Equação Dividindo todos os termos por m ddotx 2ζω₀ dotx ω₀² x F₀ m t eαt Onde ω₀ km frequência natural do sistema ζ γ 2 km fator de amortecimento 3 Solução por Partes A solução geral será da forma xt xht xpt xht solução da equação homogênea Ft 0 xpt solução particular para Ft F₀ t eαt 4 Solução Homogênea xht Para ddotx 2ζω₀ dotx ω₀² x 0 usamos o ansatz xht ert r² 2ζω₀ r ω₀² 0 As raízes da equação característica são r ζ ω₀ ω₀ ζ² 1 Para ζ 1 fortemente amortecido temos duas raízes reais r₁ ζ ω₀ ω₀ ζ² 1 r₂ ζ ω₀ ω₀ ζ² 1 Solução homogênea xht C₁ er₁ t C₂ er₂ t 5 Solução Particular xpt Para Ft F₀ t eαt usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo xpt A t² eαt Substituímos xpt dotxpt e ddotxpt na equação diferencial para determinar A b Soluções Estacionária e Transiente 1 Solução Transiente A solução transiente é a parte homogênea xht xht C₁ er₁ t C₂ er₂ t Esta solução decai exponencialmente com o tempo 2 Solução Estacionária A solução estacionária é a solução particular xpt obtida para a força externa xpt A t² eαt Representa o comportamento de longo prazo do sistema sob a ação da força externa Tutorial para Apresentação da Questão 1 no Quadro Tema Oscilador Harmônico Fortemente Amortecido com Força Externa Passo 1 Introdução ao Problema 1 Título no Quadro Oscilador Harmônico Amortecido Equação com Força Externa Ft F0 teαt 2 Explique os Termos Descreva a equação do movimento mddotx γdotx kx Ft Onde m massa γ amortecimento k constante elástica Ft força externa aplicada 3 Objetivo Encontrar a solução geral Identificar soluções estacionária e transiente Passo 2 Resolver a Equação Homogênea 1 Definir a Solução Solução homogênea para Ft 0 ddotx 2ζω0 dotx ω02 x 0 2 Calcule as Raízes Resolva a equação característica r2 2ζω0 r ω02 0 Mostre no quadro como obter r1 e r2 usando r ζω0 ω0 sqrtζ2 1 3 Conclusão Visual Escreva a solução homogênea no quadro xht C1 er1 t C2 er2 t Passo 3 Resolver a Solução Particular 1 Força Externa Substitua Ft F0 t eαt na equação original mddotx γdotx kx F0 t eαt 2 Método dos Coeficientes Assuma uma solução particular xpt At2 eαt 3 Mostrar Derivações no Quadro Derive dotxpt e ddotxpt Substitua esses termos na equação para encontrar A 4 Conclusão Apresente a solução particular xpt At2 eαt Passo 4 Soluções Estacionária e Transiente 1 Definição Solução geral xt xht xpt 2 Explique os Termos Solução transiente xht C1 er1 t C2 er2 t decai com o tempo Solução estacionária xpt depende da força externa Passo 5 Conclusão 1 Resuma o comportamento do sistema O transiente desaparece para t A solução estacionária permanece devido à força externa Visual para o Quadro 1 Divida o quadro em três partes Parte 1 Introdução e equação do movimento Parte 2 Solução homogênea com raízes e xht Parte 3 Solução particular e solução geral 2 Inclua setas e destaques para conectar xht e xpt com a solução geral