Velocidade da Luz e Equacoes de Maxwell - Calculo e Explicacao

Velocidade da luz e as equações de Maxwell Para determinarmos a velocidade de uma onda eletromagnética é necessário relembrarmos os conceitos associados as equações de Maxwell Equações de Maxwell na forma diferencial â pε0 Lei de Gauss B 0 Lei de Gauss para o magnetismo x â Bt Lei de Faraday x B μ0 J μ0 ε0 Et Lei de AmpéreMaxwell Equações de Maxwell na forma integral E d A Qint ε0 Lei de Gauss B d A 0 Lei de Gauss para o magnetismo E d l dΦB dt Lei de Faraday B d l μ0 ε0 dΦE dt μ0 i Lei de AmpéreMaxwell Vamos utilizar as equações de Maxwell na forma diferencial para determinar a velocidade da luz Partindo da lei de Faraday e utilizando as equações para E e B teremos x E B t x Em senKx ωty 1t Bm senKx ωtz Lembrando que x F î ĵ k x y z Fx Fy Fz Portanto Em x senKx ωt y Bm 1t senKx ωt z Em î ĵ k x y z 0 senkx ωt 0 Bm cos Kx ωt ω z Em cos Kx ωt K y Bm cos Kx ωt ω z EmBm ωK v Por conta da equação wk v velocidade de fase Sabemos também que a velocidade da luz é constante no vácuo sendo c 299 792458 ms 3 108 ms Logo EmBm ωK c Ao utilizarmos agora a Lei de AmpéreMaxwell conseguiremos escrever a velocidade da luz em termos das constantes μ e ε que são estabelecidas pelo meio que a luz se propaga Utilizando o mesmo processo anterior considerando a Lei de AmpéreMaxwell teremos x B μ0 J μ0 ε0 Et x Bm senKx ωt y μ0 ε0 t Em sen Kx ωt y Bm cos Kx ωt y K μ0 ε0 Em cos Kx ωt ω y K w 1 μ0 ε0 Em Bm c 1 μ0 ε0 c2 c 1μ0 ε0 Nesse aspecto tornase possível concluirmos que a velocidade C da luz depende das constantes μ0 e ε0 do vácuo Percebese que caso a luz tivesse se propagando em outro meio as equações de Maxwell sofreriam modificações o que implicaria na mudança do valor da velocidade da luz por conta de outros valores para μ e ε associados ao meio as modificações em questão são completamente equivalentes com a forma original das equações Exemplo 1 Uma onda eletromagnética no vácuo é descrita pelas equações Ext E0 sen Kxwt ĵ Bxt B0 sen Kx wt k E0 120 Vm K 2π radm ω 6π 108 rads a Determine o comprimento de onda λ a frequên cia f e o período T da onda λ 2πK 2π rad 2π radm 1m f ω2π rad 6π x 108 rads 2π rad 3 x 108 1s 3 x 108 Hz T 1f 13 x 108 1s 333 x 109 s b Determine a amplitude do campo magnético EB c B Ec 120 Vm 3 x 108 ms 4 x 107 Vs m2 Vetor de Poynting e intensidade Ao considerarmos uma onda eletromagnética podemos considerar o transporte de energia com a qual uma onda eletromagnética pode transportar A taxa por unidade de área que a onda eletromagnética transporta energia é descrita por um vetor S denominado vetor de Poynting defini do pela equação S 1μ0 E x B Observe por meio do produto vetorial que a direção do vetor de Poynting S em um ponto qualquer do espaço indica a direção de propagação da onda e a direção de transporte de energia no ponto Como E e B são mutuamente perpendiculares em uma onda ele tromagnética o módulo do E x B é EB Assim o modulo de S em um instante t é S S 1μ0 EB 1μ0c E2 em que S E e B são valores instantâneos Podemos considerar ainda uma equação de transporte de energia em função do tempo ao considerarmos E Em sen Kxwt S 1μ0c Em2 sen2 Kx wt 1μ0 1μ0ε0 Em2 sen2 Kx wt ε0 μ0 ε0 Em2 sen2 Kx wt μ0ε0 S ε0μ0ε0 μ0 ε0 Em2 sen2 Kx wt S ε0 c Em2 sen2 Kx wt S ε0 c Em2 sen2 Kx wt A intensidade da onda será dado pela média dos valores do transpor te de energia portanto I S ε0 c Em2 sen2 Kx wt onde sen2θ 12 I 12 ε0 c Em2 que determina a intensidade da energia transporta da em um intervalo qualquer Exemplo 1 Uma onda eletromagnética no vácuo é descrita pelas equações Ext E0 sen Kx wt k Bxt B0 sen Kx wt ĵ E0 300 Vm K 2π radm ω 6π 108 rads a Qual a direção de propagação da onda E x B k x ĵ î b Qual o vetor de Poynting em um instan te t qualquer Sxt 1μ0 E x B 1μ0 E0 B0 sen2 Kx wt î 1μ0 E02 c sen2 Kx wt î c Qual a intensidade média da onda I 12 ε0 c E02 12 89 x 1012 Fm 3 x 108 ms 300 Vm2 1195 FV2m2s 1195 Wm2