Mecanica Racional

Nome Matrícula PROVA 2 Mecânica Racional Prof Felipe Escórcio Data de entrega 1907 13h30 Considere uma barra homogênea de comprimento L e massa M que pode girar livremente em torno de um pino fixo em uma de suas extremidades A barra está inicialmente na horizontal e um bloco de massa m é colocado sobre ela a uma distância r do eixo de rotação O bloco pode deslizar sem atrito ao longo da barra A barra é liberada do repouso e o sistema começa a girar no plano vertical sob ação da gravidade 1 Equações do movimento e energia modelo ideal a Determine o momento de inércia do sistema barra bloco em função da posição r do bloco ao longo da barra b Admitindo que não há forças dissipativas escreva a expressão da energia mecânica total do sistema barra bloco em função da posição r do bloco e do ângulo θ que a barra faz com a horizontal Separe claramente os termos que representam a energia cinética rotacional da barra a energia cinética do bloco e as energias potenciais gravitacionais da barra e do bloco A energia mecânica total se conserva durante o movimento c Caso a energia se conserve derive uma equação que relacione a taxa de variação de θt com as posições θ e r Essa equação pode ser resolvida de forma analítica Se não que tipos de aproximações poderiam ser aplicados para estudar o comportamento do sistema d Considerando torques em torno do eixo de rotação qual seria o torque total externo atuando no sistema A partir dele obtenha uma equação diferencial para θt Compare essa abordagem com a obtida pela energia e avalie se os resultados são consistentes e Derive a equação diferencial que governa o movimento radial do bloco ao longo da barra 2 Análise em termos de forças e torque a Elabore diagramas de força para identificar e representar graficamente todas as forças que atuam separadamente sobre o bloco e sobre a barra homogênea Inicialmente considere o sistema ideal sem a presença de atrito Em seguida construa novos diagramas incorporando todas as forças de atrito que forem fisicamente relevantes para o sistema Em todos os casos indique claramente os pontos de aplicação as direções e a natureza das forças envolvidas b No sistema sem atrito escreva a equação do torque total em torno do pivô Como ela se relaciona com a variação do momento angular do sistema Que aspectos da física do sistema são revelados por essa relação c Mostre que o torque devido à força peso do bloco depende de sua posição ao longo da barra Qual o significado físico disso 3 Conservação dos momentos a O momento linear total do sistema é conservado Como o fato de a barra estar presa a um eixo influencia sua resposta b O momento angular total do sistema em relação ao pino é conservado Se não for sempre em quais condições a conservação é válida c Se possível reescreva as equações de movimento usando a conservação do momento angular Essa abordagem fornece alguma vantagem em termos analíticos ou conceituais 4 Interpretação via centro de massa a Determine a posição do centro de massa do sistema barra bloco em função de r b Como a migração do bloco ao longo da barra altera o momento de inércia total do sistema Há alguma analogia com sistemas com massa variável Como a variação simultânea do centro de massa e do momento de inércia se manifesta nas equações do movimento Instruções para a entrega A resolução deverá ser desenvolvida com lápis utilizando o número de folhas que for necessário para uma exposição completa É imprescindível que sejam demonstradas todas as etapas do desenvolvimento evidenciando claramente os pressupostos as relações físicas empregadas e as possíveis limitações em cada resolução adotada Caso seja identificada cópia a questão será anulada Alunos cujas respostas apresentem indícios de cópia especialmente em desenvolvimentos incompletos poderão ser convocados a explicar sua resolução pessoalmente Considere uma barra homogênea de comprimento L e massa M que pode girar livremente em torno de um pino fixo em uma de suas extremidades A barra está inicialmente na horizontal e um bloco de massa m é colocado sobre ela a uma distância r do eixo de rotação O bloco pode deslizar sem atrito ao longo da barra A barra é liberada do repouso e o sistema começa a girar no plano vertical sob ação da gravidade 1 Equações do movimento e energia modelo ideal a Determine o momento de inércia do sistema barra bloco em função da posição r do bloco ao longo da barra Considere primeiro a barra homogênea de comprimento L e massa M presa por um pino em uma de suas extremidades de modo que ela possa girar livremente no plano vertical sob ação da gravidade Para calcular o momento de inércia dessa barra em relação ao pino imagine um elemento de massa dm situado a uma distância x do ponto de rotação A densidade linear de massa da barra é λ ML e o elemento de comprimento dx possui massa dm λ dx ML dx Cada elemento contribui para o momento de inércia com dI x2 dm x2 ML dx Integrando essa expressão ao longo de toda a extensão da barra de x 0 até x L obtémse Ibarra 0L x2 ML dx ML L33 13 M L2 Em seguida considere o bloco de massa m colocado sobre a barra a uma distância r do eixo de rotação Como o bloco pode deslizar sem atrito seu momento de inércia em relação ao mesmo eixo é simplesmente Ibloco m r2 Somando as contribuições da barra e do bloco o momento de inércia total do sistema em função de r é Itotalr Ibarra Ibloco 13 M L2 m r2 b Admitindo que não há forças dissipativas escreva a expressão da energia mecânica total do sistema barra bloco em função da posição r do bloco e do ângulo θ que a barra faz com a horizontal Separe claramente os termos que representam a energia cinética rotacional da barra a energia cinética do bloco e as energias potenciais gravitacionais da barra e do bloco A energia mecânica total se conserva durante o movimento Considere que o sistema gira com velocidade angular θ A energia cinética rotacional da barra com momento de inércia Ibarra 13 M L2 é Trot 12 Ibarra θ2 12 13 M L2 θ2 16 M L2 θ2 O bloco de massa m situado a uma distância r do eixo descreve movimento circular de velocidade v r θ motivo pelo qual sua energia cinética é Tbloco 12 m r θ2 12 m r2 θ2 Para as energias potenciais gravitacionais adote referência zero quando o sistema estiver horizontal θ 0 A altura do centro de massa da barra em relação a essa referência é L2 sin θ de modo que Ubarra M g L2 sin θ 12 M g L sin θ De forma análoga a altura do bloco é r sin θ resultando em Ubloco m g r sin θ m g r sin θ Somando todas as parcelas a energia mecânica total do sistema como função de r θ e θ é Etotalr θ θ Trot Tbloco Ubarra Ubloco 16 M L2 θ2 12 m r2 θ2 12 M g L sin θ m g r sin θ c Caso a energia se conserve derive uma equação que relacione a taxa de variação de θt com as posições θ e r Essa equação pode ser resolvida de forma analítica Se não que tipos de aproximações poderiam ser aplicados para estudar o comportamento do sistema Considere que no caso usual a posição do bloco em relação ao eixo permanece fixa em r de modo que a energia mecânica total E 12 13 M L2 m r2 θ2 12 M g L m g r sin θ permanece constante durante o movimento Isolando o termo cinético obtémse 12 13 M L2 m r2 θ2 E 12 M g L m g r sin θ Multiplicando ambos os lados por 2 e resolvendo para θ chegase a θ dθdt 2 E 12 M g L m g r sin θ 13 M L2 m r2 Essa relação mostra como a velocidade angular varia conforme o ângulo θ A respeito da solução analítica o integral t t0 θ0θ dθ 2 13 M L2 m r2 E 12 M g L m g r sin θ não pode ser expresso em funções elementares já que envolve a inversa de A B sin θ característica de integrais elípticas Para estudar o comportamento do sistema podemse aplicar aproximações como sinθ θ em pequenas oscilações levando a um movimento aproximadamente harmônico simples com frequência ω 12 M g L m g r 13 M L2 m r2 ou ainda recorrer a métodos numéricos por exemplo à integração direta de θ em pequenos passos de tempo Outra alternativa é usar séries de potência para aproximar a função de energia em torno de θ 0 e obter correções perturbativas ao comportamento harmônico d Considerando torques em torno do eixo de rotação qual seria o torque total externo atuando no sistema A partir dele obtenha uma equação diferencial para θt Compare essa abordagem com a obtida pela energia e avalie se os resultados são consistentes A força peso age sobre cada elemento do sistema produzindo um momento torque em relação ao pino de rotação A barra homogênea tem seu peso concentrado em seu centro de massa situado a L2 do eixo O torque devido ao peso da barra é τbarra M g L2 sin θ 12 M g L sin θ O sinal negativo indica que esse torque tende a reduzir θ quando θ 0 O bloco de massa m posicionado a uma distância r do eixo sofre peso m g cujo braço de alavanca é r O torque do bloco é τbloco m g r sin θ m g r sin θ Somandose os torques externos atuantes obtémse τext τbarra τbloco 12 M g L m g r sin θ Segundo a segunda lei de Newton para rotação esse torque resultante é igual ao momento de inércia total vezes a aceleração angular θ Como já foi calculado Itotal 13 M L2 m r2 temse a equação diferencial Itotal θ τext o que leva a 13 M L2 m r2 θ 12 M g L m g r sin θ 0 Essa expressão é idêntica àquela obtida pela conservação de energia caso se derive respectiva equação de movimento a partir de E 1213 M L2 m r2 θ2 12 M g L m g r sin θ e se diferencie em relação a t Logo as duas abordagens são consistentes A energia potencial gravitacional pode ser reescrita de forma que ao diferenciála em relação a θ apareça exatamente o mesmo termo que surge no torque Em vez de usar Uθ 12 M g L m g r sin θ podemos acrescentar uma constante e escrever Uθ 12 M g L m g r cos θ Como constantes não alteram as equações de movimento essa forma é inteiramente equivalente A energia mecânica total tornase E 1213 M L2 m r2 θ2 12 M g L m g r cos θ Impondo conservação de energia temse dEdt 13 M L2 m r2 θ θ 12 M g L m g r sin θ θ 0 Dividindo por θ que é diferente de zero durante o movimento obtémse 13 M L2 m r2 θ 12 M g L m g r sin θ 0 Essa equação coincide exatamente com a equação de movimento derivada por torques 13 M L2 m r2 θ 12 M g L m g r sin θ 0 mostrando que ambas as abordagens são consistentes e Derive a equação diferencial que governa o movimento radial do bloco ao longo da barra Situação ideal Barra Bloco r L2 𝑅 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 Situação com atrito 𝐹 𝑎𝑡 𝐹 𝑎𝑡 e sua derivada tornase ddt I θ I θ 12 M g L m g r sin θ Essa equação coincide exatamente com a obtida pela abordagem de energia pois aí também encontramos I θ 12 M g L m g r sin θ 0 c Mostre que o torque devido à força peso do bloco depende de sua posição ao longo da barra Qual o significado físico disso O torque gerado pelo peso do bloco em relação ao pivô é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r do pivô até o bloco e a força peso P m g y Como r tem módulo r e forma ângulo θ com a horizontal o módulo do torque vale τbloco r m g sin θ m g r sin θ Escolhendo o sentido positivo de θ para cima esse torque fica negativado quando θ 0 ou seja τbloco m g r sin θ Fica evidente a dependência linear em r quanto maior a distância do bloco ao eixo maior é o braço de alavanca sobre o pivô Em termos físicos isso significa que um bloco mais afastado exerce maior influência sobre a rotação da barra pois a mesma força peso aplica um momento mais intenso quando o braço de alavanca cresce b O momento angular total do sistema em relação ao pino é conservado Se não for sempre em quais condições a conservação é válida O sistema sofre forças externas de reação no pivô tanto na direção vertical quanto na horizontal de modo que o impulso resultante dessas reações não é nulo Por isso o momento linear total P total M v barra cm m v bloco não se conserva pois o pivô transmite forças ao longo de todo o movimento A presença do eixo fixa um ponto da barra ao espaço e impede que o centro de massa do sistema descreva movimento uniforme em vez disso a aceleração do centro de massa é determinada justamente pela soma dessas forças de reação no pivô dividida pela massa total Portanto a barreira imposta pelo pivô quebra a simetria de translação e impede a conservação do momento linear c Se possível reescreva as equações de movimento usando a conservação do momento angular Essa abordagem fornece alguma vantagem em termos analíticos ou conceituais A relação fundamental envolvendo o momento angular do sistema em torno do pivô baseiase em dLangdt τext onde Lang Itotal θ e τext 12 M g L m g r sin θ Substituindo Itotal 13 M L2 m r2 obtémse diretamente ddt 13 M L2 m r2 θ 12 M g L m g r sin θ Como Itotal é constante nem M nem L nem m nem r variam a derivada tornase 13 M L2 m r2 θ 12 M g L m g r sin θ 0 exatamente a mesma equação que já havíamos encontrado pelas considerações energéticas Não é possível invocar a conservação estrita de Lang pois o torque gravitacional em torno do pivô não se anula Ainda assim expressar a lei de NewtonEuler nessa forma traz clareza conceitual mostra que toda vez que τext 0 o momento angular varia segundo exatamente aquele torque Analiticamente o método de torques e o de energia convergem para a mesma equação mas o enfoque por momento angular destaca de forma direta o papel que a simetria rotacional ou sua quebra via τext exerce na dinâmica do sistema 4 Interpretação via centro de massa a Determine a posição do centro de massa do sistema barra bloco em função de r A posição do centro de massa do sistema formado pela barra e pelo bloco é obtida pela definição Xcm 1M m i mi xi onde cada xi é a coordenada do centro de massa de cada parte medida a partir do pivô A barra homogênea de massa M tem seu centro de massa a L2 do pivô e o bloco de massa m está a r do pivô Substituindo esses valores chegase a Xcmr ML2 m rM m 12 M L m rM m Essa expressão indica que ao deslocar o bloco ao longo da barra o ponto de equilíbrio efetivo do sistema se fosse suspenso por um fio fino no pivô muda continuamente Quando r aumenta a contribuição de m r cresce aproximando o centro de massa do bloco e afastandoo do pivô Isso reflete o peso relativo de cada componente na determinação do equilíbrio estático do conjunto b Como a migração do bloco ao longo da barra altera o momento de inércia total do sistema Há alguma analogia com sistemas com massa variável Como a variação simultânea do centro de massa e do momento de inércia se manifesta nas equações do movimento A migração do bloco ao longo da barra faz com que o momento de inércia do sistema dependa de r Em cada instante ele vale Ir 13 M L2 m r2 Se r varia com o tempo então I também varia de modo que dIdt 2 m r r Em sistemas de massa variável como um foguete que ejetace propulsor aparece um termo análogo correspondente a m Aqui em vez de trocar massa alterase o braço de alavanca da massa m mas o efeito é matematicamente parecido o sistema não tem mais I constante Quando se escreve a equação de NewtonEuler ddt I θ τext é preciso incluir a variação de I I θ dIdt θ 12 M g L m g r sin θ Substituindo dIdt 2 m r r obtémse 13 M L2 m r2 θ 2 m r r θ 12 M g L m g r sin θ 0 O segundo termo mostra o acoplamento entre o movimento radial r e o rotacional θ Fisicamente isso significa que ao moverse o bloco parte da energia cinética rotacional é transferida para energia de descolamento radial e viceversa de modo semelhante ao que ocorre quando um patinador estende os braços para alterar sua velocidade angular Essa variação simultânea do centro de massa e de I se manifesta nas equações como termos mistos que acoplam r e θ exigindo uma solução conjunta das equações radiais e angulares