Mecânica Quântica

FIS110 Fundamentos de Óptica e Quântica Lista de exercícios 32 Prof Felipe Escórcio Hipótese de de Broglie 1 Determine o comprimento de onda de um elétron com uma velocidade de 1106ms 2 Um elétron é acelerado por uma diferença de potencial de 100V Calcule o comprimento de onda de de Broglie associado a esse elétron 3 Uma pessoa de massa 70kg está caminhando com uma velocidade de 1ms Sabendo que a difração de um objeto em uma fenda simples ocorre quando o comprimento de onda de de Broglie associado a ele é comparável à largura da fenda calcule a largura da fenda necessária para observar a difração dessa pessoa 4 Uma bolinha de tênis de massa 60g se move com uma velocidade de 10ms Suponha que essa bolinha passe por uma fenda de largura 1cm Calcule o comprimento de onda de de Broglie associado à bolinha e discuta se a difração seria observada 5 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 385 que se inicia na página 214 Exercícios 46 47 48 49 51 53 54 Função de onda e probabilidades 1 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por onde A é uma constante de normalização e L é o comprimento do intervalo Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada 2 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por onde A é uma constante de normalização e α é um parâmetro positivo Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada 3 Considere uma partícula quântica descrita pela seguinte função de onda em uma dimensão onde A é uma constante de normalização a é um parâmetro real positivo e x é a posição da partícula a Determine o valor da constante A para que a função de onda ψx esteja normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a x ª 4 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por onde A é uma constante de normalização e α e β são parâmetros positivos a Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre xa e xa onde a0 5 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 392 que se inicia na página 246 Exercícios 13 14 15 Equação de Schrödinger 1 A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula de massa m sem potencial Vx0 é a Determine a solução geral da equação de Schrödinger para ψx e interprete fisicamente as soluções obtidas b Mostre que a função de onda pode ser escrita como uma combinação de ondas planas c Explique como essa solução se relaciona com o conceito de pacotes de onda e a dualidade ondapartícula 2 Considere uma partícula livre de massa m movendose em uma dimensão O potencial Vx é zero em todo o espaço Vx0 Encontre as soluções estacionárias da equação de Schrödinger para este sistema 3 Considere uma partícula de massa m confinada em um poço de potencial infinito unidimensional também conhecido como partícula em uma caixa O potencial é dado por a Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para essa partícula b Aplique as condições de contorno apropriadas para a função de onda ψx c Resolva a equação de Schrödinger para encontrar a solução geral da função de onda ψx f Normalize a função de onda ψx e escreva sua forma final 4 Considere uma partícula de massa m confinada em uma caixa unidimensional de largura L As paredes da caixa são impenetráveis ou seja o potencial Vx é zero dentro da caixa 0xL e infinito fora dela Encontre as soluções estacionárias da equação de Schrödinger para este sistema 5 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 386 que se inicia na página 215 Exercícios 60 61 62 63 64 65 TRABALHO PARA MARIA Função de onda e probabilidades 1 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por Ψ x 0 A00 x L 0casocontrário onde A é uma constante de normalização e L é o comprimento do intervalo Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada Para que a função de onda esteja normalizada a integral do módulo quadrado de Ψ x 0 sobre todo o espaço deve ser igual a 1 Ψ x 0 2dx1 Substituindo Ψ x 0 0 L A 2dx1 Como A é uma constante real e positiva para simplificar assumimos A0 A 2 0 L d xA 2 L1 Resolvendo para A A 1 L Resposta Final A constante de normalização é A 1 L 1 Normalização A condição de normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar do espaço seja 100 ou 1 em termos de probabilidade o Como Ψ x 0 é nãonula apenas no intervalo 0L a integral se reduz a esse intervalo o A integral de uma constante A ao quadrado sobre L resulta em A 2 L 2 Interpretação Física o A densidade de probabilidade Ψ x 0 2A 21 L é uniforme dentro da caixa o Isso significa que a partícula tem igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto entre 0 e L no instante t0 Para confirmar vamos substituir A 1 L na integral de normalização 0 L 1 L 2 dx 1 L L1 A condição de normalização é satisfeita 2 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por Ψ x 0A0e α x 2 onde A é uma constante de normalização e α é um parâmetro positivo Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada Para que a função de onda esteja normalizada a integral do módulo quadrado de Ψ x 0 sobre todo o espaço deve ser igual a 1 Ψ x 0 2dx1 Substituindo Ψ x 0 A0e α x 2 2dx A0 2 e 2α x 2 dx1 Cálculo da Integral Gaussiana A integral de uma função gaussiana do tipo e a x 2 é conhecida e ax 2 dx π a No nosso caso a2α então e 2α x 2 dx π 2α Determinação de A0 Substituindo o resultado da integral na condição de normalização A0 2 π 2α 1 Assumindo que A0 é real e positivo para simplificar A0 2 π 2α1 A0 2 2α π Portanto a constante de normalização é A0 2α π 14 Resposta Final A constante de normalização é A0 2α π 14 1 Normalização o A condição de normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1 100 o Para uma função de onda gaussiana a integral do módulo quadrado pode ser resolvida usando a fórmula padrão de integrais gaussianas 2 Integral Gaussiana o A integral e ax 2 dx π a é fundamental em física quântica e matemática o No caso a2α pois a função no integrando é e 2α x 2 3 Interpretação Física o A função de onda Ψ x 0 A0e α x 2 descreve um pacote de onda gaussiano comum em problemas de mecânica quântica o O parâmetro α controla a largura do pacote de onda valores maiores de α correspondem a pacotes mais localizados Verificação Para confirmar vamos substituir A0 2α π 14 na integral de normalização 2α π 14 e α x 2 2 dx 2α π 12 e 2α x 2 dx 2α π 12 π 2α 1 A condição de normalização é satisfeita 3 Considere uma partícula quântica descrita pela seguinte função de onda em uma dimensão ψxAe x 2 2a 2 onde A é uma constante de normalização a é um parâmetro real positivo e x é a posição da partícula a Determine o valor da constante A para que a função de onda ψx esteja normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a x a Para que a função de onda esteja normalizada a integral do módulo quadrado de ψ x sobre todo o espaço deve ser igual a 1 ψ x 2dx1 Substituindo ψ x A e x 2 2a 2 2dx A 2 e x 2 a 2 dx1 Cálculo da Integral Gaussiana A integral de uma função gaussiana e b x 2 é conhecida e b x 2 dx π b No nosso caso b 1 a 2 então e x 2 a 2 dxπ a 2aπ Determinação de A Substituindo o resultado da integral na condição de normalização A 2 aπ1 Assumindo que A é real e positivo para simplificar A 2 1 a π A 1 a π 12 1 a 2π 14 Portanto a constante de normalização é A 1 a 2π 14 b Probabilidade de Encontrar a Partícula no Intervalo a xa A probabilidade P de encontrar a partícula no intervalo aa é dada por P a a ψ x 2dx A 2 a a e x 2 a 2 dx Substituindo A 2 1 a π P 1 a π a a e x 2 a 2 dx Cálculo da Integral Para resolver a integral fazemos a substituição ux a logo dxadu Os limites de integração tornamse u1 e u1 P 1 a π 1 1 e u 2 adu 1 π 1 1 e u 2 du A integral 1 1 e u 2 du não tem uma forma fechada simples mas pode ser expressa em termos da função erro erf definida como erf z 2 π 0 z e t 2 dt Portanto 1 1 e u 2 duπ erf 1 Substituindo de volta P 1 π π erf 1erf 1 O valor de erf 1 é aproximadamente 08427 Resposta Final A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo aa é Perf 18427 Resumo dos Resultados Item Resposta a Constante de normalização A 1 a 2π 14 b Probabilidade no intervalo aa erf 1 8427 Observações Adicionais 1 Função Erro erf o A função erro é uma função especial amplamente utilizada em probabilidade e física o Para z1 erf 1 08427 o que significa que há aproximadamente 8427 de probabilidade de encontrar a partícula dentro de um desvio padrão a da origem 2 Interpretação Física o A função de onda ψ x A e x 2 2a 2 descreve um pacote de onda gaussiano que é altamente localizado em torno de x0 o O parâmetro a controla a largura do pacote de onda quanto maior a mais dispersa é a função de onda 3 Normalização o A normalização garante que a probabilidade total seja 100 e o cálculo de A assegura isso para a função gaussiana dada 4 Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t0 é dada por Ψ x 0A e α x 2 e β x 2 onde A é uma constante de normalização e α e β são parâmetros positivos a Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada b Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre x a e x a onde a 0 Para que a função de onda esteja normalizada a integral do módulo quadrado de Ψ x 0 sobre todo o espaço deve ser igual a 1 Ψ x 0 2dx1 Substituindo Ψ x 0 A 2 e α x 2 e β x 2 2dx1 Expandindo o quadrado e α x 2 e β x 2 2e 2α x 2 2e αβ x 2 e 2β x 2 Portanto a integral se torna A 2 e 2α x2dx2 eαβ x 2dx e 2β x2dx1 Cálculo das Integrais Gaussianas Cada integral é do tipo e k x 2 dx π k Aplicando isso a cada termo 1 e 2α x 2 dx π 2α 2 e αβ x2dx π α β 3 e 2 βx 2 dx π 2β Substituindo na equação de normalização A 2 π 2α 2 π αβ π 2β1 Fatorando π A 2 π 1 2α 2 α β 1 2 β1 Assumindo que A é real e positivo Aπ 1 2α 2 αβ 1 2 β 12 Resposta Final A constante de normalização é Aπ 1 2α 2 αβ 1 2 β 12 b Probabilidade de Encontrar a Partícula no Intervalo aa A probabilidade P é dada por P a a Ψ x 0 2dx A 2 a a e α x 2 e βx 2 2dx Expandindo o integrando P A 2 a a e 2α x2dx2 a a eαβ x 2dx a a e 2β x2dx Cálculo das Integrais Cada integral pode ser expressa em termos da função erro erf a a e k x 2 dx π k erf ak Portanto 1 a a e 2α x 2 dx π 2α erf a2α 2 a a e αβ x2dx π α β erf aα β 3 a a e 2 βx 2 dx π 2 β erf a2β Substituindo na expressão para P P A 2 π 2α erf a2α2 π αβ erf aαβ π 2β erf a2β Substituindo A 2 do item a P π 2α erf a2α 2 π α β erf aαβ π 2 β erf a2 β π 1 2α 2 α β 1 2β Resposta Final A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo aa é P 1 2α erf a2α 2 αβ erf aαβ 1 2β erf a2β 1 2α 2 α β 1 2 β Resumo dos Resultados Item Resposta a Constante de normalização A Aπ 1 2α 2 αβ 1 2 β 12 b Probabilidade no intervalo aa P 1 2α erf a2α 1 2α Observações 1 Normalização o A constante A depende dos parâmetros α e β refletindo a contribuição de cada gaussiana na função de onda o Se αβ a expressão para A se simplifica significativamente 2 Probabilidade o O resultado para P é uma média ponderada das probabilidades individuais associadas a cada gaussiana o Para a P1 já que erf 1 como esperado 3 Função Erro o Valores numéricos podem ser obtidos usando tabelas ou softwares para erf z