Lista - Fundamentos de Óptica e Quântica

FIS110 Fundamentos de Óptica e Quântica Lista de exercícios 21 Prof Felipe Escórcio Interferência por diferença de meio e por diferença de percurso 1 Uma luz monocromática de comprimento de onda λ500nm no vácuo é dividida em dois feixes que percorrem caminhos diferentes O primeiro feixe atravessa uma placa de vidro n 15 com espessura t enquanto o segundo feixe percorre a mesma distância física t no ar n10 Determine a espessura mínima da placa de vidro para que ocorra interferência construtiva quando os feixes são recombinados Ignore reflexões nas interfaces 2 Dois feixes coerentes de luz comprimento de onda λ600nm no vácuo atravessam duas lâminas paralelas de mesma espessura L mas com índices de refração distintos n114 e n216 Após atravessarem as lâminas os feixes são recombinados Determine a espessura mínima L das lâminas para que ocorra interferência destrutiva Ignore reflexões nas superfícies das lâminas 3 Duas fontes sonoras coerentes S1 e S2 estão separadas por 30m sobre o eixo x e emitem ondas sonoras em fase com uma frequência de 850Hz Um microfone é posicionado no mesmo eixo de forma que está a 80m de S1 e 50m de S2 Determine se a interferência registrada no microfone é construtiva ou destrutiva Considere a velocidade do som no ar como 340ms 4 Duas antenas emissoras A e B estão localizadas nos pontos rA000m e rB300m Elas emitem ondas eletromagnéticas coerentes de comprimento de onda λ500 nm Um observador está na posição rp120m a Determine se o ponto P está em uma posição de interferência construtiva ou destrutiva b Qual deve ser a diferença de percurso mais próxima do valor obtido em a para que a interferência seja completamente construtiva 5 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 351 que se inicia na página 103 Exercícios 9 10 12 13 Interferência por filmes finos 1 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 354 que se inicia na página 105 Exercícios 35 36 37 40 53 54 55 1 Uma luz monocromatica de comprimento de onda λ 500 nm no vacuo e dividida em dois feixes que percorrem caminhos diferentes O primeiro feixe atravessa uma placa de vidro n 1 5 com espessura t enquanto o segundo feixe percorre a mesma distˆancia fısica t no ar n 1 0 Determine a espessura mınima da placa de vidro para que ocorra interferˆencia construtiva quando os feixes sao recombinados Ignore reflexoes nas interfaces t nvidro nar Para interferˆencia construtiva a diferenca de caminho optico deve ser igual a um multiplo inteiro do comprimento de onda no vacuo t nvidro nar m λ Substituindo os valores t 1 5 1 0 m 500 nm t 0 5 m 500 nm t m 500 nm 0 5 t m 1000 nm A espessura mınima ocorre para m 1 t 1 1000 nm t 1000 nm 1 µm A espessura mınima da placa de vidro para que ocorra interferˆencia construtiva e t 1 µm 1 Dois feixes coerentes de luz comprimento de onda λ 600 nm no vácuo atravessam duas lâminas paralelas de mesma espessura L mas com índices de refração distintos n1 14 e n2 16 Após atravessarem as lâminas os feixes são recombinados Determine a espessura mínima L das lâminas para que ocorra interferência destrutiva Ignore reflexões nas superfícies das lâminas A diferença de caminho óptico é dada por Δ L n2 n1 Para interferência destrutiva a diferença de caminho óptico deve ser um múltiplo ímpar de meia onda L n2 n1 m 12 λ Substituindo os valores L 16 14 m 12 600 nm L 02 m 12 600 nm L m 12 600 nm 02 L m 12 3000 nm A espessura mínima ocorre para m 0 L 0 12 3000 nm L 1500 nm 15 μm A espessura mínima das lâminas para que ocorra interferência destrutiva é L 15 μm Duas fontes sonoras coerentes S1 e S2 estão separadas por 30 m sobre o eixo x e emitem ondas sonoras em fase com uma frequência de 850 Hz Um microfone é posicionado no mesmo eixo de forma que está a 80 m de S1 e 50 m de S2 Determine se a interferência registrada no microfone é construtiva ou destrutiva Considere a velocidade do som no ar como 340 ms O comprimento de onda λ é calculado como λ vf Substituindo os valores λ 340 ms 850 Hz 04 m A diferença de caminho ΔL entre as duas fontes é dada por ΔL d1 d2 Substituindo os valores ΔL 80 m 50 m 30 m Para interferência construtiva a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro de λ ΔL m λ Para interferência destrutiva a diferença de caminho deve ser um múltiplo ímpar de 12 ΔL m 12 λ Substituindo λ 04 m em ambas as condições ΔL m 04 m interferência construtiva ΔL m 12 04 m interferência destrutiva Como ΔL 30 m dividimos ΔL por λ ΔLλ 30 m04 m 75 O resultado é um múltiplo ímpar de 12 indicando interferência destrutiva A interferência registrada no microfone é destrutiva Duas antenas emissoras A e B estão localizadas nos pontos rA 000 m e rB 300 m Elas emitem ondas eletromagnéticas coerentes de comprimento de onda λ 500 nm Um observador está na posição rP 120 m a Determine se o ponto P está em uma posição de interferência construtiva ou destrutiva b Qual deve ser a diferença de percurso mais próxima do valor obtido em a para que a interferência seja completamente construtiva Para resolver calculamos as distâncias de P até as antenas A e B dA 102 202 002 dA 12 22 5 m dB 132 202 002 dB 22 22 8 m A diferença de percurso Δd é Δd dB dA 8 5 Calculando os valores aproximados 8 283 e 5 224 Δd 283 224 059 m Convertendo o comprimento de onda para metros λ 500 nm 5 107 m Para determinar o tipo de interferência dividimos Δd por λ Δdλ 059 5 107 118 106 Como Δdλ não é um múltiplo inteiro de λ a interferência não é completamente construtiva Para que a interferência seja construtiva a diferença de percurso deve ser um múltiplo inteiro de λ Ajustando Δd para o múltiplo inteiro mais próximo Δd m λ Para o valor mais próximo m 1 Δd 1 λ 5 107 m A diferença de percurso para interferência completamente construtiva é Δd 5 107 m Exercicios Halliday Secao 351 9 Como a diferenca de fase inicial entre as ondas e π rad e queremos que as ondas estejam em fase depois de atravessar os dois materiais os materiais devem produzir uma diferenca de fase de n1π ja que uma diferenca de fase de π rad equivale a uma diferenca de fase de λ2 e uma diferenca de fase de 2π equivale a uma diferenca de fase zero O menor valor de L e obtido fazendo n 0 o que nos da Lmin λ 2n2 n1 620nm 21 65 1 45 1550nm 1 55µm Logo O segundo menor valor de L e obtido fazendo n 1 o que nos da L 3λ 2n2 n1 3Lmin 31 55µm 4 65µm 6 10 A lei de Snell descreve como a luz se comporta ao passar de um meio com um ındice de refracao n1 para outro com um ındice de refracao diferente n2 A lei e expressa como n1 sin θ1 n2 sin θ2 onde θ1 e θ2 sao os ˆangulos de incidˆencia e refracao respectivamente Uma propriedade interessante da lei de Snell e sua natureza transitiva Se a luz passa por varios meios com diferentes ındices de refracao o ˆangulo de saıda do ultimo meio sera igual ao ˆangulo de entrada no primeiro meio Isso ocorre porque a relacao entre o ındice de refracao e o seno do ˆangulo se mantem constante ao longo da trajetoria da luz n1 sin θ1 n2 sin θ2 n3 sin θ3 A velocidade da luz em um meio e dada por v cn onde c e a velocidade da luz no vacuo e n e o ındice de refracao do meio O tempo que a luz leva para percorrer uma distˆancia L em um meio e dado por t L v nL c No caso especıfico temos Indice de refracao do meio n 1 45 Distˆancia percorrida pela luz L 25 1019m Velocidade da luz no vacuo c 3 0 108ms Substituindo esses valores na equacao obtemos t 1 4525 1019m 3 0 108ms 1 4 1013s 0 14ps Portanto o tempo que a luz leva para percorrer a distˆancia L no meio especificado e de 014 ps 7 12 Quando dois raios de luz percorrem caminhos opticos diferentes eles podem adquirir uma diferenca de fase A fase de uma onda luminosa esta relacionada a sua posicao em um ciclo de oscilacao Se dois raios estao em fase suas cristas e vales se alinham resultando em interferˆencia construtiva Se estiverem fora de fase com uma diferenca de fase de meio comprimento de onda as cristas de um raio correspondem aos vales do outro resultando em interferˆencia destrutiva No exercicio o raio 1 percorre uma distˆancia adicional d 4L em relacao ao raio 2 Para determinar os valores de L para os quais as ondas estao com fases opostas igualamos essa distˆancia adicional a um multiplo ımpar de meio comprimento de onda d 4L 2n 1λ 2 n 0 1 2 onde n e um numero inteiro nao negativo Para o menor valor de L quando n 0 temos L λ 8 420 0 nm 8 52 50 nm Para o segundo menor valor de L quando n 1 temos L 3λ 8 3420 0 nm 8 157 5 nm Portanto os dois menores valores de L para os quais as ondas estao com fases opostas sao 5250 nm e 1575 nm 8 13 No exercıcio o raio 1 percorre uma distˆancia adicional d 4L em relacao ao raio 2 Para determinar os valores de L para os quais as ondas estao com fases opostas igualamos essa distˆancia adicional a um multiplo ımpar de meio comprimento de onda d 4L 2n 1λ 2 n 0 1 2 onde n e um numero inteiro nao negativo Para o menor valor de L quando n 0 temos L λ 8 420 0 nm 8 52 50 nm Para o segundo menor valor de L quando n 1 temos L 3λ 8 3420 0 nm 8 157 5 nm Portanto os dois menores valores de L para os quais as ondas estao com fases opostas sao 5250 nm e 1575 nm 9 Secao 345 35 O raio 1 percorre um caminho optico maior do que o raio 2 A diferenca de caminho L e dada por L 2L2 2L1 onde L1 e a espessura do filme 1 e L2 e a espessura do filme 2 A diferenca de fase ϕ entre os dois raios e dada por ϕ 2π λ L onde λ e o comprimento de onda da luz Para que ocorra interferˆencia construtiva a diferenca de fase deve ser um multiplo inteiro de 2π ϕ 2mπ m 0 1 2 Combinando as equacoes anteriores temos 2π λ 2L2 2L1 2mπ Dividindo por 2π e resolvendo para L2 obtemos L2 mλ 2 L1 Substituindo os valores de L1 120 nm e λ 480 nm podemos calcular os valores de L2 para diferentes valores de m Por exemplo para m 0 temos L2 0 480 nm 2 120 nm 120 nm Este valor nao e fısico pois a espessura nao pode ser negativa Para m 1 temos L2 1 480 nm 2 120 nm 120 nm Este e o menor valor fısico possıvel para L2 Portanto a espessura do filme 2 para que ocorra interferˆencia construtiva e de 120 nm 10 36 A figura ilustra a situação com um filme fino de sabão cuja espessura é x 600 nm entre duas camadas de ar No caso temos que nsabão 140 100 nar Assim na reflexão que ocorre na interface 1 há mudança de fase enquanto que na interface 2 não há Além da diferença de caminho devemos somar π na defasagem entre as ondas ϕ 2πλsabão 2x π onde λsabão λn é o comprimento de onda da luz no sabão A diferença de caminho 2x o dobro da espessura da camada de sabão e o fator π que foi somado é devido ao fato de em uma das reflexões a fase ter invertido enquanto na outra não É importante lembrar que λsabão λn ϕ 4πnxλ π π 4nxλ 1 No item a queremos que a interferência seja construtiva de modo que a fase deve ser um múltiplo inteiro de 2π ϕ m 2π 2m 4nxλ 1 4nxλ 2m 1 Portanto λ 4nx2m 1 4 140 600 nm 2m 1 33602m 1 nm Como queremos saber quantos comprimentos de onda estarão na faixa entre 300 nm e 700 nm tomando λ 300 nm 300 33602m 1 2m 1 3360300 112 2m 122 m 61 Para λ 700 nm 2m 1 3360700 48 2m 58 m 29 Assim os valores possíveis de m para que o comprimento de onda esteja na faixa visível são m 3 4 5 6 Portanto para quatro comprimentos de onda a interferência será construtiva Já para interferência destrutiva devemos ter ϕ 2m 1π Assim 2m 1 4nxλ 1 m 2nxλ 1680 nmλ Para λ 300 nm m 1680 300 5 6 Ja para λ 700 nm m 1680 700 2 4 Assim nessa faixa os valores de m para que a interferˆencia seja destrutiva sao m 3 4 5 Portanto sao trˆes comprimentos de onda Construtiva 4 Destrutiva 3 12 37 Como nar nSiO ha inversao de fase na reflexao 1 Por outro lado como nSiO ndiamante na reflexao 2 nao ha inversao de fase Como em uma das interfaces ha mudanca de fase e na outra nao devemos adicionar um fator de defasagem ϕ 4πz λSiO 2π π onde z e a espessura da camada de monoxido de silıcio Nao podemos esquecer que λSiO λ n ϕ 4πnz λ 2π π 4πnz λ π Assim ϕ π 4πnz λπ 1 ϕ π 1 4nz λ ϕ π 1 x x 4nz λ x1 4nz λ 1 Para que a interferˆencia seja construtiva ϕ m 2π Assim x 1 λ 4nz λ 4nz 2m 1 O menor valor de z ocorre para m 1 z λ 4n 560 nm 4 2 00 70 nm 13 40 A figura ilustra a situacao com um filme fino de sabao entre duas camadas de ar Tanto na reflexao na interface 1 como na interface 2 ocorre inversao de fase na onda de modo que nao precisamos considerar isso para a defasagem ϕ 2π λsabao 2x Como λsabao λ n Temos que ϕ 4πnx λ Para interferˆencia destrutiva temos ϕ 2m 1π x 2m 1 4πnx λ 2m 1π Assim para que a interferˆencia seja destrutiva temos que λ 600 nm x 2m 1λ 4n 600 nm 2 5 2m 1 120 nm Ja para que a interferˆencia seja construtiva com λ 700 nm ϕ m 2π x m 4πnx λ m 2π x mλ 4n 700 nm 2 5 m 280 nm Igualando as expressoes 280m 1202m 1 7m 32m 1 Temos que achar os menores m e m inteiros que satisfacam essa expressao Note que m 3 e 2m 1 7 resolve nosso problema m 3 m 3 Nos dois casos x 3 280 nm 7 120 nm 840 14 53 Como nsabão nar ocorre mudança de fase na reflexão na interface 1 mas não na interface 2 Assim devemos adicionar um fator de defasagem π ϕ 2πλsabão 2z π Por outro lado sabemos que λsabão λn ϕ 4πnzλ De modo geral para que haja interferência podemos escrever ϕ mπ Se m for par a interferência será construtiva se for ímpar será destrutiva Portanto mπ 4πnzλ π m 4nzλ 1 z m 1λ4n Para a interferência construtiva temos que λ 600 nm λ4n 1128 nm Já para a interferência destrutiva λ 450 nm λ4n 846 nm Portanto z m 1 1128 nm m 1 846 nm onde m é par e m é ímpar Desta forma temos que m 1m 1 1128846 43 Assim é natural tomarmos m 1 4 e m 1 3 m 5 e m 4 A espessura será x 4 1 1128 nm 5 1 846 nm 3386 54 Como noleo nar e nvidro noleo ocorre inversao de fase nas duas reflexoes de modo que podemos desconsiderar isso ϕ 2π λoleo 2x Por outro lado sabemos que λoleo λ n ϕ π 4nx λ Para que a interferˆencia seja destrutiva ϕ 2m 1π Assim 2m 1 4nx λ x 2m 1 λ 4n Para λ1 500 nm temos que x 2m1 1 λ1 4n Ja para λ2 700 nm x 2m2 1 λ2 4n Igualando as duas espessuras 2m1 1 λ1 4n 2m2 1 λ2 4n Como nao existe interferˆencia destrutiva entre esses comprimentos de onda temos que m2 m1 1 ja que eles devem ser consecutivos 2m1 1 500 2m1 2 1 700 Logo 10m1 5 14m1 7 4m1 12 m1 3 Assim x 7 500 4 1 30 nm 673 nm 16 55 Como noleo nar e nagua noleo ocorre inversao de fase nas duas reflexoes de modo que podemos desconsiderar isso ϕ 2π λoleo 2x Por outro lado sabemos que λoleo λ n ϕ π 4nx λ Para que a interferˆencia seja construtiva ϕ m 2π Assim 2m 4nx λ λ 2nx m 2 1 20 460 nm m 1104 nm m Para m 1 λ 1104 nm Para m 2 λ 552 nm Para m 3 λ 368 nm Como a faixa visıvel vai de 400 nm ate 700 nm o unico comprimento consid erado e λ 552 nm Agora no item b o processo e diferente Como queremos saber os compri mentos de onda em que a transmissao e maxima devemos procurar onde que a reflexao e mınima Como vimos a defasagem da reflexao e ϕ π 4nx λ Como queremos que ela seja mınima ϕ 2m 1π 2m 1 4nx λ λ 4nx 2m 1 2208 2m 1 nm Para m 0 λ 2208 nm 17 Para m 1 λ 2208 3 nm 736 nm Para m 2 λ 2208 5 nm 441 6 nm Para m 3 λ 2208 7 nm 315 4 nm Na faixa visıvel temos apenas λ 441 6 nm 18