Trabalho Mecânica Analítica

Nome Matrícula Trabalho Máquina de Atwood com Diversas Considerações Considere a Máquina de Atwood ilustrada na figura abaixo Sua tarefa consiste em determinar a aceleração de cada bloco investigando detalhadamente as algumas situações 1 Modelo Ideal Assuma que não há atrito e as massas do fio e da roldana são desprezíveis Derive a expressão para a aceleração dos blocos considerando o sistema como ideal 2 Modelo com Atrito Viscoso Considere a presença de atrito viscoso atuando no sistema enquanto se mantêm as simplificações de fio e roldana de massa desprezível Apresente a derivação da aceleração levando em conta o efeito do atrito viscoso sobre a dinâmica do sistema 3 Outras Possibilidades e Casos Particulares Explore outras generalizações por exemplo a inclusão de massas finitas para o fio ou a roldana ou ainda a aplicação de diferentes regimes de atrito como atrito seco se pertinente ao estudo Analise casos particulares de interesse que possam evidenciar nuances do comportamento dinâmico do sistema Instruções para a entrega A resolução deverá ser desenvolvida utilizando o número de folhas que for necessário para uma exposição completa É imprescindível que sejam demonstradas todas as etapas não triviais das derivações evidenciando claramente os pressupostos as relações físicas empregadas e as possíveis limitações de cada modelo adotado Recomendase iniciar a análise pelo caso mais simples modelo ideal e gradativamente incorporar os efeitos adicionais como o atrito viscoso e outros efeitos Caso seja identificada cópia a questão será anulada Alunos cujas respostas apresentem indícios de cópia especialmente em desenvolvimentos incompletos poderão ser convocados a explicar sua resolução pessoalmente 1 Modelo Ideal Diagramas de corpo livre Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima Denotamse as acelerações dos blocos por 𝑎1 𝑎2 e 𝑎3 A aceleração do eixo da polia menor será ap Usase g para o módulo da gravidade Vínculos geométricos cordas inextensíveis Corda principal polia grande suas extremidades vão para 𝑚1 e para o eixo da polia menor Como o comprimento é constante os deslocamentos são opostos e de mesmo módulo Em termos de aceleração 𝑚1 𝑃 1 𝑇 𝑚3 𝑡 𝑃 3 𝑡 𝑚2 𝑃 2 𝑅 𝑇 𝑇 𝑇 𝑡 𝑡 𝑎1 𝑎𝑝 0 𝑎𝑝 𝑎1 Corda da polia menor liga 𝑚3 e 𝑚2 o comprimento total é a soma dos dois ramos verticais Se o eixo da polia se desloca para cima de 𝑢𝑝 e os blocos se deslocam para cima de 𝑢3 e 𝑢2 as variações dos ramos são 𝑢𝑝 𝑢3 e 𝑢𝑝 𝑢2 Somando e impondo inextensibilidade 𝑢𝑝 𝑢3 𝑢𝑝 𝑢2 0 2 𝑢𝑝 𝑢3 𝑢2 0 Derivando duas vezes no tempo 2 𝑎𝑝 𝑎3 𝑎2 0 Substituindo 𝑎𝑝 𝑎1 𝑎3 𝑎2 2 𝑎1 K Equações de Newton forças verticais sentido positivo para cima Para 𝑚1 puxado para cima pela tração T da corda principal 𝑇 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑎1 𝑇 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑎1 N1 Para 𝑚2 puxado para cima pela tração t da corda menor 𝑡 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑎2 𝑡 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑎2 N2 Para 𝑚3 𝑡 𝑚3 𝑔 𝑚3 𝑎3 𝑡 𝑚3 𝑔 𝑚3 𝑎3 N3 Relação entre as trações A polia menor é ideal e sem massa As duas trações t da corda menor puxam seu aro para baixo e a corda principal puxa seu eixo para cima com T Como a polia não tem massa a resultante deve ser nula logo 𝑇 2 𝑡 0 𝑇 2 𝑡 R Redução algébrica Das igualdades de tração em N2 e N3 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑎2 𝑚3 𝑔 𝑚3 𝑎3 𝑚2 𝑎2 𝑚3 𝑎3 𝑚3 𝑚2 𝑔 D1 De R com N1 e N2 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑎1 2 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑎2 𝑚1 𝑎1 2 𝑚2 𝑎2 2 𝑚2 𝑚1 𝑔 D2 Usase o vínculo cinemático K para eliminar 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 2 Substituise em D2 𝑚1 𝑎2 𝑎3 2 2 𝑚2 𝑎2 2 𝑚2 𝑚1 𝑔 Multiplicando por 2 para retirar o denominador 𝑚1 𝑎2 𝑚1 𝑎3 4 𝑚2 𝑎2 4 𝑚2 2 𝑚1 𝑔 Reagrupando os termos com 𝑎2 no mesmo lado 𝑚1 4 𝑚2 𝑎2 𝑚1 𝑎3 4 𝑚2 2 𝑚1 𝑔 Multiplicando por 1 𝑚1 4 𝑚2 𝑎2 𝑚1 𝑎3 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 E1 Agora o sistema linear em 𝑎2 e 𝑎3 é formado por E1 e D1 𝑚1 4 𝑚2 𝑎2 𝑚1 𝑎3 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑎2 𝑚3 𝑎3 𝑚3 𝑚2 𝑔 Resolvese por Regra de Cramer O determinante comum é Δ 𝑑𝑒𝑡 𝑚1 4 𝑚2 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑚1 4 𝑚2 𝑚3 𝑚2 𝑚1 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Definese Δ0 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 para simplificar a escrita de modo que Δ Δ0 Numerador de 𝑎2 Δ𝑎2 𝑑𝑒𝑡 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑔 𝑚3 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 𝑚3 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑔 Multiplicando termo a termo Δ𝑎2 2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 𝑚1 𝑚3 𝑚1 𝑚2 𝑔 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 𝑔 Logo 𝑎2 Δ𝑎2 Δ 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Numerador de 𝑎3 Δ𝑎3 𝑑𝑒𝑡 𝑚1 4 𝑚2 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑚3 𝑚2 𝑔 𝑚1 4 𝑚2 𝑚3 𝑚2 𝑔 𝑚2 2 𝑚1 4 𝑚2 𝑔 Primeiro produto 𝑚1 4 𝑚2𝑚3 𝑚2 𝑚1 𝑚3 𝑚1 𝑚2 4 𝑚2 𝑚3 4 𝑚2 2 Segundo produto 𝑚22 𝑚1 4 𝑚2 2 𝑚1 𝑚2 4 𝑚2 2 Subtraindo Δ𝑎3 𝑚1 𝑚3 3 𝑚1 𝑚2 4 𝑚2 𝑚3 𝑔 Portanto 𝑎3 Δ𝑎3 Δ 𝑚1 𝑚3 3 𝑚1 𝑚2 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 3 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Com 𝑎2 e 𝑎3 encontrase 𝑎1 pelo vínculo K 𝑎1 𝑎2 𝑎3 2 1 2 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 3 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Somando numeradores passo a passo 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 3 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 2 𝑚1 𝑚2 2 𝑚1 𝑚3 8 𝑚2 𝑚3 Multiplicando por 1 2 𝑎1 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Trações nas cordas De N2 e N3 uma escolha direta é escrever t por 𝑚2 ou por 𝑚3 escolhese 𝑡 𝑚2 𝑔 𝑎2 Substituindo 𝑎2 𝑡 𝑚2 𝑔 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Δ0 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 𝑚2 Δ0 𝑔 Como Δ0 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 o numerador tornase 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 4 𝑚1 𝑚3 Logo 𝑡 4 𝑚1 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Da relação 𝑇 2 𝑡 𝑇 8 𝑚1 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Resultados finais sentido positivo para cima Com Δ0 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 𝑎1 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 𝑎2 𝑚1 𝑚2 3 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 𝑎3 3 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 4 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 𝑡 4 𝑚1 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 𝑇 8 𝑚1 𝑚2 𝑚3 Δ0 𝑔 Observações físicas O vínculo 𝑎3 𝑎2 2 𝑎1 mostra que o movimento do conjunto 𝑚2 𝑚3 compensa em dobro o movimento de 𝑚1 pois o eixo da polia menor é suportado pela corda principal As expressões determinam automaticamente o sentido real do movimento por exemplo se 𝑎2 0 então m2 acelera para baixo Há combinações de massas que tornam alguma aceleração nula por exemplo 𝑎1 0 quando 4 𝑚2 𝑚3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 isto é quando o subconjunto direito equilibra o esquerdo 2 Modelo com atrito viscoso Diagramas de corpo livre 𝑚1 𝑃 1 𝑇 𝐿 𝑚3 𝑡 𝐿 𝑃 3 𝑡 𝑅 𝑚2 𝑃 2 𝑅 𝑇 𝐿 𝑇 𝑅 𝑇 𝑅 𝑡 𝐿 𝑡 𝑅 Considerase a polia grande de raio R fixa ao teto e a polia menor de raio r presa pelo eixo ao ramo direito da corda principal À esquerda da polia grande está m1 A polia menor forma outra máquina de Atwood com 𝑚3 à esquerda e m2 à direita O atrito é exclusivamente viscoso nos mancais das roldanas com torques resistivos proporcionais às velocidades angulares 𝜏1 𝑐1 𝜔1 𝜏2 𝑐2 𝜔2 onde 𝑐1 e 𝑐2 são coeficientes constantes de atrito viscoso nos eixos da polia grande e da polia menor Convenções cinemáticas Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima As velocidades dos blocos são 𝑣1 𝑣2 𝑣3 e as acelerações são 𝑎1 𝑎2 𝑎3 A velocidade e a aceleração do eixo da polia menor são 𝑣𝑝 e 𝑎𝑝 Pelos vínculos geométricos da corda principal e da corda da polia menor sem alongamento e sem escorregamento 𝑣1 𝑣𝑝 0 𝑣2 𝑣3 2 𝑣𝑝 e derivando no tempo 𝑎1 𝑎𝑝 0 𝑎2 𝑎3 2 𝑎𝑝 As velocidades angulares relacionamse aos escoamentos lineares nos aros 𝜔1 𝑣𝑝 𝑅 𝑣1 𝑅 𝜔2 𝑣𝑝 𝑣2 𝑟 𝑣3 𝑣𝑝 𝑟 onde a igualdade 𝑣𝑝 𝑣2 𝑣3 𝑣𝑝 segue de 𝑣2 𝑣3 2 𝑣𝑝 Trações e equilíbrio das roldanas Denotamse 𝑇𝐿 e 𝑇𝑅 as trações nos ramos esquerdo e direito da corda principal e 𝑡𝐿 e 𝑡𝑅 as trações nos ramos esquerdo e direito da corda da polia menor Para a polia grande o equilíbrio de torques no eixo sem inércia rotacional mas com torque viscoso dá 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑅 𝜏1 𝑐1 𝜔1 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑐1 𝑅2 𝑣𝑝 𝑐1 𝑅2 𝑣1 Para a polia menor equilíbrio translacional do conjunto aroeixo sem massa a resultante vertical deve ser nula 𝑇𝑅 𝑡𝐿 𝑡𝑅 0 𝑇𝑅 𝑡𝐿 𝑡𝑅 equilíbrio de torques no eixo com torque viscoso 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑟 𝜏2 𝑐2 𝜔2 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑐2 𝑟2 𝑣𝑝 𝑣2 Equações de Newton para os blocos Tomando para cima como positivo escrevemse 𝑇𝐿 𝑚1𝑔 𝑚1𝑎1 𝑡𝑅 𝑚2𝑔 𝑚2𝑎2 𝑡𝐿 𝑚3𝑔 𝑚3𝑎3 Sistema dinâmico em 𝑣1 𝑣2 Eliminando 𝑇𝐿 𝑇𝑅 𝑡𝐿 𝑡𝑅 e 𝑎𝑝 pelas relações acima e usando 𝑣𝑝 𝑣1 e 𝑣3 2 𝑣𝑝 𝑣2 2 𝑣1 𝑣2 obtémse um sistema linear com coeficientes constantes para as acelerações 𝑎 𝑎1 𝑎2𝑇 em função das velocidades 𝑣 𝑣1 𝑣2𝑇 𝑣 𝑎 𝑀 𝑣 𝑏 com Σ 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 𝑀 1 Σ 𝑐2 𝑚3 𝑚2 𝑟2 𝑐1 𝑚2 𝑚3 𝑅2 𝑐2 𝑚3 𝑚2 𝑟2 𝑐2 𝑚1 2 𝑚3 𝑟2 2 𝑐1 𝑚3 𝑅2 𝑐2 𝑚1 2 𝑚3 𝑟2 𝑏 𝑔 Σ 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 𝑚1𝑚2 3 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Escrevendo explicitamente as componentes 𝑎1 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 𝑐2𝑚3 𝑚2 𝑟2 Σ 𝑣2 𝑐2𝑚3 𝑚2 𝑟2 Σ 𝑣1 𝑐1𝑚2 𝑚3 𝑅2 Σ 𝑣1 𝑎2 𝑚1𝑚2 3 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 𝑐2𝑚1 2 𝑚3 𝑟2 Σ 𝑣2 𝑐2𝑚1 2 𝑚3 𝑟2 2 𝑐1𝑚3 𝑅2 𝑣1 Σ Como 𝑎3 interessa diretamente usase o mesmo procedimento para obter 𝑎3 3 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 𝑐2𝑚1 2 𝑚2 𝑟2 Σ 𝑣2 𝑐2𝑚1 2 𝑚2 𝑟2 2 𝑐1𝑚2 𝑅2 𝑣1 Σ Verificação do limite ideal Se 𝑐1 0 e 𝑐2 0 os termos proporcionais a 𝑣1 e 𝑣2 desaparecem e recuperam se exatamente as acelerações do modelo ideal já obtidas 𝑎1 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 𝑎2 𝑚1𝑚2 3 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 𝑎3 3 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 Σ 𝑔 Velocidades terminais regime permanente Em regime permanente as acelerações são nulas Resolvese 𝑀 𝑣 𝑏 0 O resultado é particularmente simples e exato 𝑣1 𝑅2 𝑐1 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑔 𝑣2 𝑔 𝑐1 𝑐2 𝑅2𝑐2 𝑚1 𝑅2𝑐2 𝑚2 𝑚3 𝑐1𝑟2 𝑚2 𝑐1𝑟2 𝑚3 𝑣3 2 𝑣1 𝑣2 𝑔 𝑐1 𝑐2 𝑅2𝑐2 𝑚1 𝑅2𝑐2 𝑚2 𝑚3 𝑐1𝑟2 𝑚2 𝑐1𝑟2 𝑚3 Com 𝑐1 0 e 𝑐2 0 as soluções de 𝑣 𝑀 𝑣 𝑏 são da forma 𝑣 𝑡 𝑣 𝑒𝑀𝑡 𝑣 0 𝑣 isto é as velocidades tendem exponencialmente a 𝑣 Essa expressão também permite calcular posições por integração no tempo Trações nas cordas As trações seguem diretamente das segundas leis para cada bloco e da relação na polia menor 𝑇𝐿 𝑚1 𝑔 𝑎1 𝑡𝑅 𝑚2 𝑔 𝑎2 𝑡𝐿 𝑚3 𝑔 𝑎3 𝑇𝑅 𝑡𝐿 𝑡𝑅 Como verificação as diferenças impostas pelos torques viscosos são satisfeitas identicamente 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑐1 𝑅2 𝑣𝑝 𝑐1 𝑅2 𝑣1 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑐2 𝑟2 𝑣𝑝 𝑣2 𝑐2 𝑟2 𝑣1 𝑣2 𝑣1 Em regime permanente 𝑎𝑖 0 e portanto 𝑇𝐿 𝑚1𝑔 𝑡𝑅 𝑚2𝑔 𝑡𝐿 𝑚3𝑔 e 𝑇𝑅 𝑚2 𝑚3𝑔 a diferença 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑐1 𝑅2 𝑣1 reduzse a 𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3 compatível com as expressões acima de 𝑣1 Interpretação O termo 𝑏 é o empuxo gravitacional efetivo do conjunto ideal A matriz M concentra os efeitos dissipativos 𝑐1 atua apenas através da polia grande gerando a diferença 𝑇𝑅 𝑇𝐿 e influenciando todos os blocos via 𝑣1 𝑐2 atua no desbalanceamento 𝑡𝑅 𝑡𝐿 na polia menor afetando diretamente 𝑚2 e 𝑚3 e por meio do vínculo também 𝑚1 No limite 𝑐1 e 𝑐2 as velocidades terminais tendem a zero no limite 𝑐1 0 e 𝑐2 0 recuperase o movimento uniformemente acelerado do modelo ideal Essas expressões são exatas e fechadas Para qualquer conjunto numérico de 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑅 𝑟 𝑐1 𝑐2 𝑔 substituições diretas fornecem 𝑎 instantânea pela fórmula de 𝑀 𝑣 𝑏 e as velocidades terminais pelas fórmulas acima 3 Outras Possibilidades e Casos Particulares Para a situação 3 escolhese estudar duas generalizações que capturam nuances importantes do sistema roldanas com inércia de rotação finita mantendo as cordas inextensíveis e sem massa e sem atrito de deslizamento na interface cordaroldana e admitindo que a roldana menor é móvel e pode ter massa translacional 𝑀𝑝 além do seu momento de inércia inclusão de atrito seco nos mancais das roldanas modelado como torques de Coulomb com módulo constante que se opõem ao sentido de rotação A figura e a topologia do sistema são as mesmas já fixadas máquina de Atwood principal à esquerda com o bloco 𝑚1 no ramo direito pendurase o eixo de uma segunda máquina de Atwood roldana menor com os blocos 𝑚3 à esquerda e 𝑚2 à direita Convenções cinemáticas e notação Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima As acelerações escalares dos blocos são 𝑎1 para 𝑚1 𝑎2 para 𝑚2 e 𝑎3 para 𝑚3 O eixo centro da roldana menor tem aceleração 𝑎𝑝 As velocidades angulares das roldanas grande e menor são 𝜔1 e 𝜔2 com acelerações angulares 𝛼1 e 𝛼2 Os raios são R roldana grande e r roldana menor A gravidade tem módulo g Os momentos de inércia em torno dos respectivos eixos são 𝐼1 roldana grande e 𝐼2 roldana menor A roldana menor tem massa translacional 𝑀𝑝 As trações nos ramos da corda principal são 𝑇𝐿 ramo que vai a 𝑚1 e 𝑇𝑅 ramo que sustenta o eixo da roldana menor Na corda da roldana menor usamse 𝑡𝐿 ramo que vai a 𝑚3 e 𝑡𝑅 ramo que vai a 𝑚2 Vínculos cinemáticos sem deslizamento nas cordas Como não há escorregamento entre corda e aro a velocidade tangencial do aro coincide com a velocidade da corda naquele ponto ele vale para a aceleração tangencial Da corda principal 𝑎1 𝑅 𝛼1 𝑎𝑝 𝑎1 Na corda da roldana menor centro móvel 𝑣3 𝑣𝑝 𝑟 𝜔2 𝑣2 𝑣𝑝 𝑟 𝜔2 logo derivando no tempo 𝑎3 𝑎𝑝 𝑟 𝛼2 𝑎2 𝑎𝑝 𝑟 𝛼2 e 𝑎2 𝑎3 2 𝑎𝑝 2 𝑎1 Equações de Newton sem atrito primeira generalização Com sentido positivo para cima em todas as equações escalares bloco 𝑚1 𝑇𝐿 𝑚1𝑔 𝑚1𝑎1 bloco 𝑚2 𝑡𝑅 𝑚2𝑔 𝑚2𝑎2 bloco 𝑚3 𝑡𝐿 𝑚3𝑔 𝑚3𝑎3 translação do conjunto roldana menor 𝑇𝑅 𝑡𝐿 𝑡𝑅 𝑀𝑝 𝑎𝑝 rotação da roldana grande 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑅 𝐼1 𝛼1 rotação da roldana menor 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑟 𝐼2 𝛼2 Solucionando o sistema linear formado pelas duas leis de Newton para os três blocos pela translação do centro da roldana menor pelos dois balanços de momento e pelos vínculos cinemáticos obtémse exatamente denominador comum positivo Δ 𝐼1𝐼2 𝐼1𝑟2𝑚2 𝑚3 𝐼2𝑅2𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑀𝑝 𝑀𝑝𝑅2𝑟2𝑚2 𝑚3 𝑅2𝑟2𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4 𝑚2𝑚3 acelerações dos blocos 𝑎1 𝑅2𝑔𝐼2𝑚1 𝐼2𝑚2 𝐼2𝑚3 𝑟2𝑚1𝑚2 𝑟2𝑚1𝑚3 4𝑟2𝑚2𝑚3 Δ 𝑎2 𝑔𝐼1𝑚2𝑟2 𝐼1𝑚3𝑟2 𝐼2𝑅2𝑚1 𝐼2𝑅2𝑚2 𝐼2𝑅2𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚3𝑟2 𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 3𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 4𝑅2𝑚2𝑚3𝑟2 Δ 𝑎3 𝑔𝐼1𝑚2𝑟2 𝐼1𝑚3𝑟2 𝐼2𝑅2𝑚1 𝐼2𝑅2𝑚2 𝐼2𝑅2𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚3𝑟2 3𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 4𝑅2𝑚2𝑚3𝑟2 Δ acelerações angulares 𝛼1 𝑅𝑔𝐼2𝑚1 𝐼2𝑚2 𝐼2𝑚3 𝑚1𝑚2𝑟2 𝑚1𝑚3𝑟2 4𝑚2𝑚3𝑟2 Δ 𝛼2 𝑟𝑔 𝑚2 𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 2𝑅2𝑚1 Δ trações 𝑡𝐿 𝑔 𝑚3 𝐼2 2𝑚2𝑟2 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 2𝑅2𝑚1 Δ 𝑡𝑅 𝑔 𝑚2 𝐼2 2𝑚3𝑟2 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 2𝑅2𝑚1 Δ 𝑇𝐿 𝑔𝐼1𝐼2𝑚1 𝐼1𝑚1𝑚2𝑟2 𝐼1𝑚1𝑚3𝑟2 𝐼2𝑀𝑝𝑅2𝑚1 2𝐼2𝑅2𝑚1𝑚2 2𝐼2𝑅2𝑚1𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 8𝑅2𝑚1𝑚2𝑚3𝑟2 Δ 𝑇𝑅 𝑔𝐼1𝐼2𝑚2 𝑚3 4𝐼1𝑚2𝑚3𝑟2 𝐼2𝑀𝑝𝑅2𝑚1 2𝐼2𝑅2𝑚1𝑚2 2𝐼2𝑅2𝑚1𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 8𝑅2𝑚1𝑚2𝑚3𝑟2 Δ Observações de consistência Se 𝐼1 0 𝐼2 0 e 𝑀𝑝 0 então Δ 𝑅2𝑟2 𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚3 4𝑚2𝑚3 e as expressões de 𝑎1 𝑎2 𝑎3 reduzem exatamente às do modelo ideal já obtido Caso 𝑚2 𝑚3 temse 𝛼2 0 e portanto 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑝 𝑎1 As acelerações ficam 𝑎1 𝑅2𝑔𝑚1 2𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 2𝑅2𝑚3 𝑎2 𝑎3 𝑅2𝑔𝑚1 2𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 2𝑅2𝑚3 Limite 𝐼1 roldana grande com inércia dominante 𝑎1 0 e o centro da roldana menor fica quase parado 𝑎𝑝 0 a submáquina passa a se comportar como uma Atwood pura com roldana de inércia 𝐼2 𝑎2 𝑔 𝑚2𝑟2 𝑔 𝑚3𝑟2 𝐼2 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟2 𝑎3 𝑔 𝑚2𝑟2 𝑔 𝑚3𝑟2 𝐼2 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟2 Limite 𝐼2 roldana menor praticamente não gira 𝛼2 0 e 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑝 𝑎1 restando a máquina principal com massa efetiva à direita igual a 𝑚2 𝑚3 𝑀𝑝 𝑎1 𝑅2𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑎2 𝑎3 𝑅2𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 𝑚2 𝑚3 Acréscimo de atrito seco nos mancais segunda generalização Introduzemse torques de Coulomb 𝜏𝑐1 na roldana grande e 𝜏𝑐2 na roldana menor com módulos constantes e sentidos que se opõem às rotações Com as mesmas convenções de sinais acima escrevemse os balanços de momento como 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑅 𝜎1 𝜏𝑐1 𝐼1 𝛼1 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑟 𝜎2 𝜏𝑐2 𝐼2 𝛼2 onde 𝜎1 sgn𝜔1 e 𝜎2 sgn𝜔2 Para partidas do repouso tomase 𝜎1 sgn𝛼1 e 𝜎2 sgn𝛼2 pois o torque de Coulomb opõe o primeiro sentido de movimento Repetindo a eliminação algébrica obtêmse novamente o mesmo denominador Δ e os numeradores das acelerações passam a ter termos adicionais proporcionais a 𝜏𝑐1 e 𝜏𝑐2 todos exatos 𝑎1 1 Δ 𝑅2𝑔𝐼2𝑚1 𝐼2𝑚2 𝐼2𝑚3 𝑟2𝑚1𝑚2 𝑟2𝑚1𝑚3 4𝑟2𝑚2𝑚3 𝐼2𝑅 𝜎1 𝜏𝑐1 𝑅2𝑟 𝜎2 𝑚2 𝑚3 𝜏𝑐2 𝑅𝑟2 𝜎1 𝑚2 𝑚3 𝜏𝑐1 𝑎2 1 Δ 𝑔𝐼1𝑚2𝑟2 𝐼1𝑚3𝑟2 𝐼2𝑅2𝑚1 𝐼2𝑅2𝑚2 𝐼2𝑅2𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚3𝑟2 𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 3𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 4𝑅2𝑚2𝑚3𝑟2 𝐼1𝑟 𝜎2 𝜏𝑐2 𝐼2𝑅 𝜎1 𝜏𝑐1 𝑀𝑝𝑅2𝑟 𝜎2 𝜏𝑐2 𝑅2𝑟 𝜎2 𝑚1 2𝑚3 𝜏𝑐2 2𝑅𝑟2 𝜎1 𝑚3 𝜏𝑐1 𝑎3 1 Δ 𝑔𝐼1𝑚2𝑟2 𝐼1𝑚3𝑟2 𝐼2𝑅2𝑚1 𝐼2𝑅2𝑚2 𝐼2𝑅2𝑚3 𝑀𝑝𝑅2𝑚2𝑟2 𝑀𝑝𝑅2𝑚3𝑟2 3𝑅2𝑚1𝑚2𝑟2 𝑅2𝑚1𝑚3𝑟2 4𝑅2𝑚2𝑚3𝑟2 𝐼1𝑟 𝜎2 𝜏𝑐2 𝐼2𝑅 𝜎1 𝜏𝑐1 𝑀𝑝𝑅2𝑟 𝜎2 𝜏𝑐2 𝑅2𝑟 𝜎2 𝑚1 2𝑚2 𝜏𝑐2 2𝑅𝑟2 𝜎1 𝑚2 𝜏𝑐1 Condições de repouso com atrito seco aderência nos mancais Se o sistema está parado 𝑎1 𝑎2 𝑎3 0 as tensões nos ramos são 𝑇𝐿 𝑚1𝑔 𝑡𝑅 𝑚2𝑔 𝑡𝐿 𝑚3𝑔 e pela translação do centro da roldana menor 𝑇𝑅 𝑚2 𝑚3𝑔 O equilíbrio rotacional sem giro é possível se e somente se os torques solicitantes não excedem as capacidades de atrito seco 𝑇𝑅 𝑇𝐿 𝑅 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑔 𝑅 𝜏𝑐1 𝑡𝑅 𝑡𝐿 𝑟 𝑚3 𝑚2 𝑔 𝑟 𝜏𝑐2 Se qualquer uma das desigualdades for violada o movimento se inicia no sentido que torna negativa a diferença correspondente no membro esquerdo e então nas expressões de 𝑎1 𝑎2 𝑎3 acima escolhemse 𝜎1 e 𝜎2 coerentes com esse sentido Casos particulares ilustrativos submáquina simétrica 𝑚2 𝑚3 com atrito seco apenas na roldana grande 𝜏𝑐2 0 como 𝛼2 0 temse uma máquina de Atwood efetiva entre 𝑚1 e a massa à direita 2𝑚3 𝑀𝑝 mas com dois efeitos adicionais no denominador Δ a inércia 𝐼1 e o termo de Coulomb que aparece no numerador via 𝜎1 𝜏𝑐1 O movimento só ocorre se 2𝑚3 𝑚1𝑔𝑅 𝜏𝑐1 roldana grande que trava 𝐼1 sem atrito seco explícito 𝑎1 0 e o eixo da roldana menor fica praticamente parado resta uma Atwood simples para 𝑚2 e 𝑚3 com inércia 𝐼2 exatamente 𝑎2 𝑔 𝑚2𝑟2 𝑔 𝑚3𝑟2 𝐼2 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟2 𝑎3 𝑔 𝑚2𝑟2 𝑔 𝑚3𝑟2 𝐼2 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟2 roldana menor rígida 𝐼2 sem atrito seco 𝛼2 0𝑒𝑎2 𝑎3 o sistema tornase uma Atwood principal entre 𝑚1 e 𝑚2 𝑚3 𝑀𝑝 𝑎1 𝑅2𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑎2 𝑎3 𝑅2𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝐼1 𝑀𝑝𝑅2 𝑅2𝑚1 𝑚2 𝑚3 Interpretação física sintética O denominador Δ soma de forma aditiva todas as inércias efetivas vistas pela roldana grande 𝐼1 e 𝐼2 as massas linhas acopladas pelos raios R e r a massa translacional 𝑀𝑝 do eixo móvel e os acoplamentos 𝑅2𝑟2 que já apareciam no modelo ideal Os numeradores exibem os desequilíbrios gravitacionais ponderados pelas alavancas R e r e quando presentes os torques de Coulomb que reduzem os módulos das acelerações segundo os sinais 𝜎1 e 𝜎2 1 Modelo Ideal Diagramas de corpo livre Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima Denotamse as acelerações dos blocos por a1a2 e a3 A aceleração do eixo da polia menor será ap Usase g para o módulo da gravidade Vínculos geométricos cordas inextensíveis Corda principal polia grande suas extremidades vão para m1 e para o eixo da polia menor Como o comprimento é constante os m1 P1 T m3 t P3 t m2 P2 R T T T t t deslocamentos são opostos e de mesmo módulo Em termos de aceleração a1ap0a pa1 Corda da polia menor liga m3 e m2 o comprimento total é a soma dos dois ramos verticais Se o eixo da polia se desloca para cima de up e os blocos se deslocam para cima de u3 e u2 as variações dos ramos são upu3 e upu2 Somando e impondo inextensibilidade upu3u pu202upu3u20 Derivando duas vezes no tempo 2apa3a20 Substituindo a pa1 a3a22a1K Equações de Newton forças verticais sentido positivo para cima Para m1 puxado para cima pela tração T da corda principal Tm1gm1a1Tm1gm1a1N 1 Para m2 puxado para cima pela tração t da corda menor tm2gm2a2tm2gm2a2N 2 Para m3 tm3gm3a3tm3gm3a3N 3 Relação entre as trações A polia menor é ideal e sem massa As duas trações t da corda menor puxam seu aro para baixo e a corda principal puxa seu eixo para cima com T Como a polia não tem massa a resultante deve ser nula logo T2t0T2t R Redução algébrica Das igualdades de tração em N2 e N3 m2gm2a2m3gm3a3m2a2m3a3m3m2 gD 1 De R com N1 e N2 m1gm1a12m2 gm2a2 m1a12m2a22m2m1gD2 Usase o vínculo cinemático K para eliminar a1 a1a2a3 2 Substituise em D2 m1 a2a3 2 2m2a22m2m1g Multiplicando por 2 para retirar o denominador m1a2m1a34m2a24m22m1 g Reagrupando os termos com a2 no mesmo lado m14m2a2m1a34 m22m1g Multiplicando por 1 m14 m2a2m1a32m14m2 gE1 Agora o sistema linear em a2 e a3 é formado por E1 e D1 m14 m2a2m1a32m14m2 g m2a2m3a3m3m2g Resolvese por Regra de Cramer O determinante comum é Δdet m14m2 m1 m2 m3m14 m2m3m2m1m1m2m1m34 m2m3 Definese Δ0m1m2m1m34m2m3 para simplificar a escrita de modo que ΔΔ0 Numerador de a2 Δa2det 2m14m2g m1 m3m2g m32m14 m2 gm3m1m3m2 g Multiplicando termo a termo Δa22m1m34m2m3m1m3m1m2gm1m23m1m34m2m3g Logo a2 Δa2 Δ m1m23m1m34m2m3 Δ0 gm1m23m1m34 m2m3 Δ0 g Numerador de a3 Δa3det m14m2 2m14 m2 g m2 m3m2 g m14m2m3m2gm22m14m2g Primeiro produto m14 m2 m3m2m1m3m1m24m2m34m2 2 Segundo produto m22m14m22m1m24m2 2 Subtraindo Δa3m1m33m1m24 m2m3g Portanto a3 Δa3 Δ m1m33m1m24m2m3 Δ0 g3m1m2m1m34m2m3 Δ0 g Com a2 e a3 encontrase a1 pelo vínculo K a1a2a3 2 1 2 m1m23m1m34 m2m33m1m2m1m34 m2m3 Δ0 g Somando numeradores passo a passo m1m23m1m34 m2m33m1m2m1m34 m2m32m1m22m1m38m2m3 Multiplicando por 1 2 a1m1m2m1m34 m2m3 Δ0 g Trações nas cordas De N2 e N3 uma escolha direta é escrever t por m2 ou por m3 escolhese tm2ga2 Substituindo a2 tm2gm1m23m1m34 m2m3 Δ0 g Δ0m1m23m1m34m2m3m2 Δ0 g Como Δ0m1m2m1m34m2m3 o numerador tornase m1m2m1m34m2m3m1m23m1m34m2m34m1m3 Logo t4m1m2m3 Δ0 g Da relação T2t T8m1m2m3 Δ0 g Resultados finais sentido positivo para cima Com Δ0m1m2m1m34m2m3 a1m1m2m1m34 m2m3 Δ0 g a2m1m23m1m34 m2m3 Δ0 g a33m1m2m1m34m2m3 Δ0 g t4m1m2m3 Δ0 g T8m1m2m3 Δ0 g Observações físicas O vínculo a3a22a1 mostra que o movimento do conjunto m2m3 compensa em dobro o movimento de m1 pois o eixo da polia menor é suportado pela corda principal As expressões determinam automaticamente o sentido real do movimento por exemplo se a20 então m2 acelera para baixo Há combinações de massas que tornam alguma aceleração nula por exemplo a10 quando 4 m2m3m1 m2m3 isto é quando o subconjunto direito equilibra o esquerdo 2 Modelo com atrito viscoso Diagramas de corpo livre m1 P1 T L m3 t L P3 t R m2 P2 R T L T R T R t L t R Considerase a polia grande de raio R fixa ao teto e a polia menor de raio r presa pelo eixo ao ramo direito da corda principal À esquerda da polia grande está m1 A polia menor forma outra máquina de Atwood com m3 à esquerda e m2 à direita O atrito é exclusivamente viscoso nos mancais das roldanas com torques resistivos proporcionais às velocidades angulares τ1c1ω1τ 2c2ω2 onde c1 e c2 são coeficientes constantes de atrito viscoso nos eixos da polia grande e da polia menor Convenções cinemáticas Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima As velocidades dos blocos são v1v2v3 e as acelerações são a1a2a3 A velocidade e a aceleração do eixo da polia menor são v p e a p Pelos vínculos geométricos da corda principal e da corda da polia menor sem alongamento e sem escorregamento v1v p0 v2v32v p e derivando no tempo a1ap0 a2a32a p As velocidades angulares relacionamse aos escoamentos lineares nos aros ω1v p R v1 R ω2v pv2 r v3v p r onde a igualdade v pv2v3v p segue de v2v32v p T L T R t L t R Trações e equilíbrio das roldanas Denotamse T L e T R as trações nos ramos esquerdo e direito da corda principal e t L e t R as trações nos ramos esquerdo e direito da corda da polia menor Para a polia grande o equilíbrio de torques no eixo sem inércia rotacional mas com torque viscoso dá T RT L Rτ1c1ω1T RT L c1 R 2 v pc1 R 2 v1 Para a polia menor equilíbrio translacional do conjunto aroeixo sem massa a resultante vertical deve ser nula T Rt Lt R0 T Rt Lt R equilíbrio de torques no eixo com torque viscoso t Rt Lrτ2c2ω2t Rt Lc2 r 2 v pv2 Equações de Newton para os blocos Tomando para cima como positivo escrevemse T Lm1gm1a1t Rm2gm2a2t Lm3gm3a3 Sistema dinâmico em v1v2 Eliminando T LT Rt Lt R e a p pelas relações acima e usando v pv1 e v32v pv22v1v2 obtémse um sistema linear com coeficientes constantes para as acelerações aa1a2 T em função das velocidades vv1v2 T vaM vb com Σm1m2m1m34m2m3 M 1 Σ c2 m3m2 r 2 c1 m2m3 R 2 c2m3m2 r 2 c2m12m3 r 2 2c1m3 R 2 c2 m12m3 r 2 b g Σ m1m2m1m34m2m3m1m23m1m34m2m3 Escrevendo explicitamente as componentes a1m1m2m1m34 m2m3 Σ g c2m3m2 r 2Σ v2 c2m3m2 r 2Σ v1 c1m2m3 R 2Σ v1 a2m1m23m1m34 m2m3 Σ gc2 m12m3 r 2Σ v2 c2 m12m3 r 2 2c1m3 R 2 v1 Σ Como a3 interessa diretamente usase o mesmo procedimento para obter a33m1m2m1m34m2m3 Σ g c2m12m2 r 2 Σ v2 c2m12m2 r 2 2c1m2 R 2 v1 Σ Verificação do limite ideal Se c10 e c20 os termos proporcionais a v1 e v2 desaparecem e recuperam se exatamente as acelerações do modelo ideal já obtidas a1m1m2m1m34 m2m3 Σ g a2m1m23m1m34 m2m3 Σ g a33m1m2m1m34m2m3 Σ g Velocidades terminais regime permanente Em regime permanente as acelerações são nulas Resolvese M vb0 O resultado é particularmente simples e exato v1 R 2 c1 m1m2m3 g v2 g c1c2 R 2c2m1R 2c2 m2m3c1r 2m2c1r 2m3 v32v1v2 g c1c2 R 2c2m1R 2c2m2m3c1r 2m2c1r 2m3 Com c10 e c20 as soluções de vM vb são da forma v t ve Mt v 0 v isto é as velocidades tendem exponencialmente a v Essa expressão também permite calcular posições por integração no tempo Trações nas cordas As trações seguem diretamente das segundas leis para cada bloco e da relação na polia menor T Lm1ga1 t Rm2ga2 t Lm3ga3 T Rt Lt R Como verificação as diferenças impostas pelos torques viscosos são satisfeitas identicamente T RT L c1 R 2 v pc1 R 2 v1 t Rt Lc2 r 2 v pv2c2 r 2 v1v2v1 Em regime permanente ai0 e portanto T Lm1g t Rm2g t Lm3g e T Rm2m3g a diferença T RT L c1 R 2 v1 reduzse a g m1m2m3 compatível com as expressões acima de v1 Interpretação O termo b é o empuxo gravitacional efetivo do conjunto ideal A matriz M concentra os efeitos dissipativos c1 atua apenas através da polia grande gerando a diferença T RT L e influenciando todos os blocos via v1 c2 atua no desbalanceamento t Rt L na polia menor afetando diretamente m2 e m3 e por meio do vínculo também m1 No limite c1 e c2 as velocidades terminais tendem a zero no limite c10 e c20 recuperase o movimento uniformemente acelerado do modelo ideal Essas expressões são exatas e fechadas Para qualquer conjunto numérico de m1m2m3 Rrc1c2 g substituições diretas fornecem a instantânea pela fórmula de M vb e as velocidades terminais pelas fórmulas acima 3 Outras Possibilidades e Casos Particulares Para a situação 3 escolhese estudar duas generalizações que capturam nuances importantes do sistema roldanas com inércia de rotação finita mantendo as cordas inextensíveis e sem massa e sem atrito de deslizamento na interface cordaroldana e admitindo que a roldana menor é móvel e pode ter massa translacional M p além do seu momento de inércia inclusão de atrito seco nos mancais das roldanas modelado como torques de Coulomb com módulo constante que se opõem ao sentido de rotação A figura e a topologia do sistema são as mesmas já fixadas máquina de Atwood principal à esquerda com o bloco m1 no ramo direito pendurase o eixo de uma segunda máquina de Atwood roldana menor com os blocos m3 à esquerda e m2 à direita Convenções cinemáticas e notação Adotase o eixo vertical com sentido positivo para cima As acelerações escalares dos blocos são a1 para m1 a2 para m2 e a3 para m3 O eixo centro da roldana menor tem aceleração a p As velocidades angulares das roldanas grande e menor são ω1 e ω2 com acelerações angulares α 1 e α 2 Os raios são R roldana grande e r roldana menor A gravidade tem módulo g Os momentos de inércia em torno dos respectivos eixos são I 1 roldana grande e I 2 roldana menor A roldana menor tem massa translacional M p As trações nos ramos da corda principal são T L ramo que vai a m1 e T R ramo que sustenta o eixo da roldana menor Na corda da roldana menor usamse t L ramo que vai a m3 e t R ramo que vai a m2 Vínculos cinemáticos sem deslizamento nas cordas Como não há escorregamento entre corda e aro a velocidade tangencial do aro coincide com a velocidade da corda naquele ponto ele vale para a aceleração tangencial Da corda principal a1Rα1apa1 Na corda da roldana menor centro móvel v3v pr ω2v2v pr ω2 logo derivando no tempo a3apr α2a2apr α 2 e a2a32a p2a1 Equações de Newton sem atrito primeira generalização Com sentido positivo para cima em todas as equações escalares bloco m1 T Lm1gm1a1 bloco m2 t Rm2gm2a2 bloco m3 t Lm3gm3a3 translação do conjunto roldana menor T Rt Lt RM pap rotação da roldana grande T RT L RI 1α 1 rotação da roldana menor t Rt LrI 2α 2 Solucionando o sistema linear formado pelas duas leis de Newton para os três blocos pela translação do centro da roldana menor pelos dois balanços de momento e pelos vínculos cinemáticos obtémse exatamente denominador comum positivo Δ I 1I 2 I1r 2m2m3I 2R 2m1m2m3M pM p R 2r 2m2m3R 2r 2 m1m2m1m34 m2m3 acelerações dos blocos a1 R 2gI 2m1I 2m2I 2m3r 2m1m2r 2m1m34r 2m2m3 Δ a2 gI 1m2r 2I 1m3r 2I 2 R 2m1I 2R 2m2I 2R 2m3M p R 2m2r 2M pR 2m3r 2R 2m1m2r 23 R 2m1m3r 24 R 2m2m3r 2 Δ a3 gI 1m2r 2I 1m3r 2I 2R 2m1I 2R 2m2I2 R 2m3M p R 2m2r 2M p R 2m3r 23 R 2m1m2r 2R 2m1m3r 24 R 2m2m3r 2 Δ acelerações angulares α 1 Rg I2m1I 2m2I 2m3m1m2r 2m1m3r 24 m2m3r 2 Δ α 2 rgm2m3I 1M pR 22R 2m1 Δ trações t L gm3 I 22m2r 2I 1M p R 22 R 2m1 Δ t R gm2 I22m3r 2 I1M p R 22R 2m1 Δ T L g I1 I2m1I 1m1m2r 2I 1m1m3r 2I 2M p R 2m12 I 2R 2m1m22I 2R 2m1m3M p R 2m1m2r 2M pR 2m1m3r 28 R 2m1m2m3r 2 Δ T R gI 1I 2 m2m34 I 1m2m3r 2I 2M p R 2m12 I2 R 2m1m22I 2R 2m1m3M pR 2m1m2r 2M pR 2m1m3r 28 R 2m1m2m3r 2 Δ Observações de consistência Se I 10 I20 e M p0 então Δ R 2r 2m1m2m1m34 m2m3 e as expressões de a1a2a3 reduzem exatamente às do modelo ideal já obtido Caso m2m3 temse α 20 e portanto a2a3apa1 As acelerações ficam a1 R 2g m12m3 I 1M pR 2R 2m12R 2m3 a2a3 R 2g m12m3 I 1 M pR 2R 2m12R 2m3 Limite I 1 roldana grande com inércia dominante a10 e o centro da roldana menor fica quase parado a p0 a submáquina passa a se comportar como uma Atwood pura com roldana de inércia I 2 a2gm2r 2g m3r 2 I 2m2r 2m3r 2 a3gm2r 2gm3r 2 I 2m2r 2m3r 2 Limite I 2 roldana menor praticamente não gira α 20 e a2a3apa1 restando a máquina principal com massa efetiva à direita igual a m2m3 M p a1 R 2g m1m2m3 I 1M pR 2R 2 m1m2m3 a2a3 R 2g m1m2m3 I 1 M pR 2R 2 m1m2m3 Acréscimo de atrito seco nos mancais segunda generalização Introduzemse torques de Coulomb τ c1 na roldana grande e τ c2 na roldana menor com módulos constantes e sentidos que se opõem às rotações Com as mesmas convenções de sinais acima escrevemse os balanços de momento como T RT L Rσ1τc 1I 1 α1 t Rt Lrσ 2τ c2I 2 α2 onde σ 1sgnω1 e σ 2sgnω2 Para partidas do repouso tomase σ 1sgnα1 e σ 2sgnα2 pois o torque de Coulomb opõe o primeiro sentido de movimento Repetindo a eliminação algébrica obtêmse novamente o mesmo denominador Δ e os numeradores das acelerações passam a ter termos adicionais proporcionais a τ c1 e τ c2 todos exatos a1 1 Δ R 2gI 2m1I 2m2I 2m3r 2m1m2r 2m1m34r 2m2m3I2 Rσ1τc 1R 2r σ 2m2m3τ c2Rr 2σ1 m2m3τc 1 a2 1 Δ gI 1m2r 2I 1m3r 2I 2R 2m1I 2R 2m2I 2R 2m3M pR 2m2r 2M p R 2m3r 2R 2m1m2r 23R 2m1m3r 24 R 2m2m3r 2I 1r σ 2τ c2I 2Rσ1τc 1M pR 2r σ2τc 2R 2r σ2m12m3τc 22Rr 2σ1m3τ c1 a3 1 Δ gI 1m2r 2I1m3r 2I 2R 2m1I 2R 2m2I 2R 2m3 M p R 2m2r 2M p R 2m3r 23 R 2m1m2r 2R 2m1m3r 24 R 2m2m3r 2I 1r σ2τc 2I 2R σ1τc 1M pR 2r σ2τc 2R 2r σ2 m12m2τc 22Rr 2σ1m2τc1 Condições de repouso com atrito seco aderência nos mancais Se o sistema está parado a1a2a30 as tensões nos ramos são T Lm1gt Rm2gt Lm3 g e pela translação do centro da roldana menor T Rm2m3g O equilíbrio rotacional sem giro é possível se e somente se os torques solicitantes não excedem as capacidades de atrito seco T RT L Rm1m2m3 gRτc1 t Rt L rm3m2 grτc 2 Se qualquer uma das desigualdades for violada o movimento se inicia no sentido que torna negativa a diferença correspondente no membro esquerdo e então nas expressões de a1a2a3 acima escolhemse σ 1 e σ 2 coerentes com esse sentido Casos particulares ilustrativos submáquina simétrica m2m3 com atrito seco apenas na roldana grande τ c20 como α 20 temse uma máquina de Atwood efetiva entre m1e a massa à direita 2m3M p mas com dois efeitos adicionais no denominador Δ a inércia I 1 e o termo de Coulomb que aparece no numerador via σ 1τ c1 O movimento só ocorre se 2m3m1 gRτc1 roldana grande que trava I 1 sem atrito seco explícito a10 e o eixo da roldana menor fica praticamente parado resta uma Atwood simples para m2 e m3 com inércia I 2 exatamente a2gm2r 2g m3r 2 I 2m2r 2m3r 2 a3gm2r 2gm3r 2 I 2m2r 2m3r 2 roldana menor rígida I 2 sem atrito seco α 20e a2a3 o sistema tornase uma Atwood principal entre m1 e m2m3 M p a1 R 2g m1m2m3 I 1M pR 2R 2 m1m2m3 a2a3 R 2g m1m2m3 I 1 M pR 2R 2 m1m2m3 Interpretação física sintética O denominador Δ soma de forma aditiva todas as inércias efetivas vistas pela roldana grande I 1 e I 2 as massas linhas acopladas pelos raios R e r a massa translacional M p do eixo móvel e os acoplamentos R 2r 2 que já apareciam no modelo ideal Os numeradores exibem os desequilíbrios gravitacionais ponderados pelas alavancas R e r e quando presentes os torques de Coulomb que reduzem os módulos das acelerações segundo os sinais σ 1 e σ 2