Atividade sobre Mecânica Quântica

FIS110 Fundamentos de Óptica e Quântica Lista de exercícios 31 Prof Felipe Escórcio Radiação de corpo negro e a catástrofe do ultravioleta 1 Um físico do século XIX está analisando a radiação emitida por um corpo negro e com base na teoria clássica da radiação utiliza a Lei de RayleighJeans a Explique por que segundo essa fórmula a energia total tende ao infinito para comprimentos de onda pequenos região ultravioleta levando à chamada catástrofe do ultravioleta b Explique como a quantização da energia proposta por Planck resolve o problema da catástrofe do ultravioleta e como isso levou ao nascimento da mecânica quântica 2 Considere um corpo negro a uma temperatura de 6000 K Usando a Lei de Rayleigh Jeans calcule a radiância espectral para λ200 nm Ao final use a Lei de Planck para calcular Sλ no mesmo comprimento de onda 3 Um corpo negro a uma temperatura de 3000 K emite radiação eletromagnética de acordo com a lei de Planck a Determine o comprimento de onda para o qual a emissão é máxima b Determine a frequência correspondente ao comprimento de onda de máxima emissão c Calcule a energia de um fóton emitido na frequência obtida em b 4 Um astrônomo observa uma estrela e detecta que o comprimento de onda no qual a emissão é máxima ocorre em 450 nm nanômetros Determine a temperatura superficial da estrela Determine a cor aproximada da estrela com base no comprimento de onda máximo observado 5 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 384 que se inicia na página 214 Exercícios 42 43 44 45 Efeito fotoelétrico e Efeito Compton 1 Uma superfície metálica tem uma função trabalho de 25 eV Um feixe de luz com comprimento de onda de 300 nm incide sobre essa superfície a Determine a energia dos fótons incidentes b Verifique se haverá emissão de elétrons da superfície c Caso haja emissão calcule a energia cinética máxima dos elétrons ejetados 2 Uma placa de sódio tem uma função trabalho de 23 eV Um feixe de luz com frequência de 801014 Hz incide sobre essa superfície a Determine a energia dos fótons incidentes b Verifique se haverá emissão de elétrons da superfície c Caso haja emissão calcule a energia cinética máxima dos elétrons ejetados d Determine a velocidade máxima dos elétrons emitidos 3 Um feixe de luz monocromática de comprimento de onda λ150 nm incide sobre uma placa metálica cuja função trabalho é W30 eV a Calcule a energia dos fótons incidentes b Determine se ocorre a emissão de elétrons c Se dobrarmos a intensidade da luz sem alterar seu comprimento de onda como isso afetaria o número de elétrons ejetados e sua energia cinética máxima Explique 4 Um feixe de raios X com comprimento de onda inicial λ00071nm incide sobre elétrons livres inicialmente em repouso Durante a interação os fótons sofrem espalhamento inelástico fenômeno conhecido como efeito Compton a Determine numericamente o comprimento de onda λ do fóton disperso para θ60º b Calcule a energia do fóton incidente e consequentemente determine a energia do fóton disperso para θ60º Em seguida utilizando a conservação da energia estime a energia cinética adquirida pelo elétron durante o processo c Discuta as implicações do efeito Compton para a compreensão do fenômeno dualidade partículaonda da luz evidenciando como os resultados experimentais reforçaram a necessidade de uma abordagem quântica para a radiação eletromagnética 5 Um fóton de raios X com frequência inicial f41013 Hz incide sobre um elétron livre em repouso Durante a interação o fóton é espalhado a um ângulo de θ45º a Qual o comprimento de onda do fóton espalhado b Qual a variação de energia ΔE do fóton 6 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 382 que se inicia na página 213 Exercícios 16 17 18 22 26 7 HALLIDAY Fundamentos de Física 4 10ª Edição Abra o livro e resolva os problemas do Módulo 383 que se inicia na página 213 Exercícios 27 28 29 30 31 32 34 RESOLUÇÕES HALLIDAY MÓDULO 384 42 43 Para resolver esse problema temos que lembrar da lei de Wien λmax T 2898 μm K Essa lei relaciona a temperatura T do corpo negro com o comprimento de onda λmax correspondente ao máximo da radiância espectral Para o item a com T 10 107 K temos que λmax 2898 μm K 10 107 K 2898 107 μm 2898 1010 m Olhando no espectro da Figura 331 vemos que esse comprimento corresponde a faixa dos raios X Já no item c temos T 10 105 K λmax 2898 μm K 10 105 K 2898 108 m Isso corresponde a faixa do ultravioleta 44 A expressão clássica para a radiância espectral é IC 2πckT λ4 Já a expressão de Planck IP 2πc2h λ5 1 ehc λkT 1 Com isso a razão pedida é IC IP 2πckT λ4 2πc2h λ5 1 ehc λkT 1 Portanto IC IP λkT hc ehc λkT 1 Temos que T 2000 K de modo que kT 138 1023 2000 276 1020 J Além disso hc 662 1034 3 108 198 1025 J m Desta forma IC IP 276 1020 198 1025 λ m e1981025 m 2761020 λ 1 Ou ainda IC IP 139 105 λ m e972106 m λ 1 No item a temos λ 400 nm 4 10⁷ m IC IP 139 10⁵ 4 10⁷ e07210⁵ 410⁷ 1 Fazendo a conta IC IP 365 10⁶ Repare que é um valor bem alto Isso ocorre pois a fórmula clássica é falha para frequências altas comprimentos de onda baixos a partir da faixa do ultravioleta Já no item b temos λ 200 μm 2 10⁴ m IC IP 139 10⁵ 2 10⁴ e07210⁵ 210⁴ 1 Com isso IC IP 1019 45 O item a é bem simples basta usar a lei de Wien λmax T 2898 μm K Como T 37 273 310 K temos que λmax 2898 μm K 310 K 935 μm Para encontrar a potência da radiação emitida primeiro encontramos a intensidade I S Δλ A expressão para S é S 2πc²h λ⁵ 1 ehcλkT 1 Com isso I 2πc²h λ⁵ 1 ehcλkT 1 Δλ Usando Δλ 1 nm λ 935 10⁶ m T 310 K I 2 314 9 10¹⁶ 662 10³⁴ 935 10⁶⁵ 1 e66210³⁴ 310⁸ 93510⁶ 13810²³ 310 1 1 10⁹ Fazendo todas as continhas com uma calculadora I 368 10² Wm² Para achar a potência basta multiplicar pela área P I A 368 10² 400 10⁴ Assim P 1472 10⁶ W Ou ainda P 147 10⁵ W Para achar a taxa de emissão de fótons usamos P fracEDelta t fracnhfDelta t o fracnDelta t fracPhf A taxa de emissão de fótons é igual a potência dividida pela energia de um fóton hf Nesse caso hf frachclambda frac662 cdot 1034 cdot 3 cdot 108935 cdot 106 206 cdot 1020 J Assim fracnDelta t frac147 cdot 105206 cdot 1020 714 cdot 1014 s1 Nos demais itens vamos repetir as contas acima para lambda 500 nm 5 cdot 107 m I frac2 cdot 314 cdot 9 cdot 1016 cdot 662 cdot 10345 cdot 1075 cdot frac1frac662 cdot 1034 cdot 3 cdot 1085 cdot 107 cdot 138 cdot 1023 cdot 310 1 cdot 1 cdot 109 Assim I 569 cdot 1034 Wm2 Logo P IA 569 cdot 1034 cdot 400 cdot 104 Portanto P 233 cdot 1037 W MÓDULO 382 16 17 Kmax hf Phi Como hf 580 eV Kmax 580 eV 450 eV 130 eV Convertendo para J Kmax 130 cdot 16 cdot 1019J 208 cdot 1019 J Lembrando que Kmax fracmv22 Rightarrow v sqrtfrac2Kmaxm Portanto v sqrtfrac2 cdot 208 cdot 101991 cdot 1031 Usei que a massa do elétron é m 91 cdot 1031 kg Fazendo as contas v 676 cdot 105 ms 18 22 26 MÓDULO 383 27 Esse é um problema clássico sobre espalhamento Compton O deslocamento do comprimento de onda espalhado é Delta lambda frachmc 1 cos phi Sabemos que frachmc 243 pm Para phi 30circ 1 cos phi 1 cos 30circ 1 fracsqrt32 Assim Delta lambda 243 pm cdot left 1 fracsqrt32 right 0326 pm Desta forma o comprimento do fóton espalhado será lambda lambda Delta lambda 240 pm 0326 pm Portanto lambda 273 pm 28 Já que temos o momento o comprimento de onda é λ hp Para fazer as contas vamos converter p para o SI p 0511 106 16 1019 J 3 108 ms Portanto p 273 1022 kg ms Assim λ 663 1034 Js 273 1022 kg ms Logo λ 243 1012 m 243 pm 29 A energia de um fóton do feixe é E hf Assim E 414 1015 eV s 857 1018 Hz Logo E 355 104 eV O momento de um fóton é dado por p Ec 355 keV c 355 keVc 30 Geralmente quando usamos a fórmula do deslocamento Compton o fóton colide com um elétron livre mas nós podemos generalizar para qualquer partícula Δλ hmc 1 cos ϕ onde m é a massa da partícula alvo Note que se m for muito grande Δλ 0 e não há deslocamento Compton Not também que o deslocamento é máximo para ϕ 180 1 cos ϕ 1 1 2 Assim Δλmax 2hmc A massa do próton é m 167 1027 kg Δλmax 2 663 1034 Js 167 1027 kg 3 108 ms Assim Δλmax 264 1015 m 31 E h f h c λ Já a do fóton espalhado é E h f h c λ A energia perdida no espalhamento é ΔE E E h c 1 λ 1 λ h c λ λ λ λ h c λ Δλ λ Assim ΔE E Δλ λ Δλ λ Δλ I Vamos isolar Δλ Δλ I λ I Δλ 1 I Δλ I λ Portanto Δλ I λ 1 I Nesse caso I 075 perda de 75 da energia Δλ 075 1 075 λ 3 λ Portanto Δλ λ 3 O aumento percentual é de 300 32 Sabemos que o deslocamento Compton é dado por Δλ ħ mc 1 cos ϕ Nesse caso ϕ 180 de modo que 1 cos ϕ 2 Δλ 2 ħ mc Como ħ mc 243 pm temos que Δλ 2 243 pm 486 pm 000486 nm O comprimento de onda do fóton incidente era λ 00100 nm de modo que o comprimento de de onda do fóton espalhado é λ λ Δλ 00100 nm 000486 nm 00148 nm A energia do fóton incidente era Einc h c λ e a do espalhado é Eesp h c λ Portanto a variação da energia do fóton é ΔEfoton Eesp Einc ħ c 1 λ 1 λ Logo ΔEfoton 1240 eV nm 100148 nm 100100 nm 406104 eV Portanto ΔEfoton 406 keV A energia cinética perdida pelo fóton é a energia ganha pelo elétron Como o elétron inicialmente estava em repouso sua energia cinética após a colisão será Ke 406 keV Além disso como o fóton é espalhado no sentido oposto da direção incidente ϕ 180 pela conservação do momento linear o elétron passa a se mover na direção positiva do eixo x após a colisão Tudo se passa como se fosse uma colisão unidimensional entre duas bolinhas Portanto o ângulo que a direção de movimento do elétron faz com o eixo x é 0 34 A questão quer saber qual é a a energia cinética do elétron após o espalhamento Compton de um fóton Por conservação de energia Einc Eesp Ee Ee Einc Eesp Sabemos que Einc hcλ e Eesp hcλ hcλ Δλ Assim Ee hc 1λ 1λ Δλ onde Δλ 243 pm 1 cos ϕ Nesse caso ϕ 90 de modo que 1 cos ϕ 1 Δλ 243 pm Assim Ee 1240 eV nm 1243 pm 1300 pm 243 pm Podemos escrever hc 1240 keV pm de modo que Ee 1240 keV 1243 1543 Portanto Ee 185 keV FIS110 Fundamentos de Optica e Quˆantica Lista de Exercıcios 31 Solucoes Prof Felipe Escorcio Radiacao de corpo negro e a catastrofe do ultra violeta 1 a A Lei de RayleighJeans para a radiˆancia espectral de um corpo negro e dada por Sλ 2πckBT λ4 Para comprimentos de onda pequenos λ 0 o termo λ4 no denominador faz com que Sλ Isso implica que um corpo negro emitiria energia infinita na regiao do ultra violeta o que e fisicamente impossıvel e ficou conhecido como a catastrofe do ultravioleta b Max Planck resolveu o problema ao propor que a energia e quantizada E nhν n 0 1 2 Isso levou a Lei de Planck Sλ 2πhc2 λ5 1 ehcλkBT 1 Para λ 0 o termo exponencial domina fazendo Sλ 0 resolvendo a catastrofe Esta quantizacao marcou o inıcio da mecˆanica quˆantica 1 2 a Sλ 2πckBT λ4 Substituindo os valores c 3 108 ms kB 138 1023 JK Sλ 2π3 108138 10236000 200 1094 156 1013 16 1033 975 1019 W m3 b Sλ 2πhc2 λ5 1 ehcλkBT 1 Calculando o expoente hc λkBT 6626 10343 108 200 109138 10236000 12 e12 1 16 105 Calculando Sλ Sλ 2π6626 10349 1016 200 1095 1 16 105 375 1016 32 1040 625 106 73 1018 W m3 3 a λmax b T 2898 103 3000 966 nm b ν c λmax 3 108 966 109 31 1014 Hz 2 c E hν 6626 10³⁴31 10¹⁴ 205 10¹⁹ J 4 a T b λmax 2898 10³ 450 10⁹ 6440 K b Como λmax 450 nm está na faixa do azulvioleta a estrela tem coloração azulada Efeito fotoelétrico e Efeito Compton 1 a E hc λ 6626 10³⁴3 10⁸ 300 10⁹ 6626 10¹⁹ J 414 eV b E φ 414 eV 25 eV Sim haverá emissão c Kmax E φ 414 25 164 eV 2 a E hν 6626 10³⁴80 10¹⁴ 530 10¹⁹ J 331 eV b 331 eV 23 eV Sim c Kmax 331 23 101 eV 162 10¹⁹ J d Kmax 12 mev² v 2Kmax me 2162 10¹⁹ 911 10³¹ 596 10⁵ ms 29 3 a E hc λ 6626 10³⁴3 10⁸ 150 10⁹ 1325 10¹⁸ J 828 eV b 828 eV 30 eV Sim c Número de elétrons Aumenta proporcional à intensidade Energia cinética máxima Permanece a mesma depende apenas da energia do fóton e função trabalho 4 a Δλ λ λ₀ h mec 1 cos θ 243 10¹²1 cos 60 1215 10¹² m λ λ₀ Δλ 71 10¹¹ 1215 10¹² 72215 10¹¹ m 0072215 nm b E₀ hc λ₀ 6626 10³⁴3 10⁸ 71 10¹¹ 280 10¹⁵ J 175 keV E hc λ 6626 10³⁴3 10⁸ 72215 10¹¹ 275 10¹⁵ J 172 keV Ke E₀ E 03 keV c O efeito Compton demonstra que a luz comportase como partícula fóton que pode transferir momento e energia a elétrons confirmando a dualidade ondapartícula e a necessidade da descrição quântica da radiação 5 a λ₀ c f 3 10⁸ 4 10¹³ 75 10⁶ m Δλ h mec 1 cos 45 243 10¹² 1 0707 712 10¹³ m λ λ₀ Δλ 75 10⁶ 712 10¹³ 75 10⁶ m b ΔE hc 1 λ₀ 1 λ hc Δλ λ₀² 19 10²⁶ J