Cálculo de Exercícios sobre Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas Lista de exercícios I Docente Mylena Cruzinha mylenasilvaufopedubr Conteúdo Sinais e Sistemas Capítulos 1 do livro Sinais e Sistemas Alan V Oppenheim 1 A figura abaixo representa o sinal 𝑥𝑡 a Escreva a equaça o equivalente do sinal comprimido no tempo por um fator 3 em seguida desenhe o sinal equivalente b Escreva a equaça o equivalente do sinal expandido no tempo por um fator 2 em seguida desenhe o sinal equivalente 2 Descreva o sinal da figura apresentada na questa o anterior por meio de uma u nica expressa o capaz de representa lo durante todo o intervalo apresentado 3 Com base nas relaço es de energia e pote ncia determine os de 𝑃 e 𝐸 para cada um dos seguintes sinais a 𝑥1𝑡 𝑒2𝑡𝑢𝑡 b 𝑥2𝑡 𝑒𝑗2𝑡𝜋 4 c 𝑥3𝑡 cos𝑡 d 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 e 𝑥2𝑛 𝑒𝑗 𝜋 2𝑛𝜋 8 f 𝑥3𝑛 cos 𝜋 4 𝑛 4 Dada a equaça o 𝑑𝑦 𝑑𝑡 3𝑦𝑡 𝑥𝑡 Demonstre matematicamente que o sistema e linear 5 Admitindose que o sinal 𝑥𝑡 seja expresso como a soma de dois componentes 𝑥𝑝𝑡 e 𝑥𝑖𝑡 da seguinte forma 𝑥𝑡 𝑥𝑝𝑡 𝑥𝑖𝑡 Defina 𝑥𝑝𝑡 para que seja par e 𝑥𝑖𝑡 para que seja í mpar 6 O sinal de tempo discreto 𝑥𝑛 e definido por 𝑥𝑛 1 𝑛 1 1 𝑛 1 0 𝑛 0 𝑒 𝑛 1 Encontre o sinal composto 𝑦𝑛 definido em termos de 𝑥𝑛 por 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 7 Dada o circuito RLC abaixo Determine a relaça o de entradasaí da se a saí da for a tensa o 𝑣𝑐𝑡 do capacitor 8 Determine se cada um dos sinais abaixo e ou na o perio dico caso positivo indique o seu perí odo fundamental a 𝑥1𝑡 𝑗𝑒𝑗10𝑡 b 𝑥2𝑡 𝑒1𝑗𝑡 c 𝑥3𝑛 𝑒𝑗7𝜋𝑛 d 𝑥4𝑛 3𝑒𝑗3𝜋𝑛1 25 e 𝑥5𝑛 3𝑒𝑗3 5𝜋1 2 9 Considerando um sistema de tempo contí nuo com entrada definida como 𝑥𝑡 e saí da 𝑦𝑡 cuja relaça o e dada como 𝑦𝑡 𝑥sin𝑡 Esse sistema pode ser considerado causal ou dina mico com memo ria Justifique 10 Admitindose o mesmo sinal da questa o anterior podese dizer que o sistema e linear ou na o linear Justifique Questão 9 Seja o sistema definido por yt xsint A saída em cada instante depende do valor da entrada no instante sint e não diretamente em t Tomando t 0 temos y0 xsin0 x0 o que sugere comportamento imediato Para t π2 obtémse yπ2 xsinπ2 x1 A saída no instante π2 depende de um valor futuro da entrada o que viola a definição de causalidade Para t π2 resulta yπ2 xsinπ2 x1 que é um valor passado da entrada Como a saída pode depender de instantes menores iguais ou maiores que o tempo atual t o sistema é não causal Além disso como a saída depende de instantes diferentes de t o sistema armazena influência do passado e do futuro portanto possui memória sendo dinâmico Questão 3 letra f Seja x₃n cos π4n O módulo ao quadrado do sinal é x₃n² cos² π4n um sinal periódico com período N 8 A energia é infinita pois a soma Σn cos² π4n não converge Portanto E A potência média é dada por P 1N Σk0N1 cos²π4k 18 1 12 0 12 1 12 0 12 48 12 Questão 3 letra e Seja x₂n ejπ2n π8 O módulo do sinal é constante e unitário portanto x₂n² 1 para todo n ℤ A energia será E Σn 1 A potência é P limN 12N1 ΣnNN 1 limN 2N12N1 1 Questão 3 letra c Seja x3t cost Como o sinal não é absolutamente integrável a energia será E cos2t dt A potência é P limT 12T TT cos2t dt Usando a identidade trigonométrica cos2t 1cos2t2 segue que TT cos2t dt TT 1 cos2t2 dt 12 TT 1 dt 12 TT cos2t dt A integral do cosseno é nula nesse intervalo simétrico então TT cos2t dt 12 2T T Portanto a potência será P limT 12T T 12 Questão 3 letra d Seja xn 12n un Como o sinal é nulo para n 0 temos xn2 14n para n 0 A energia será E n0 14n 11 14 134 43 Como a energia é finita o sinal é de energia e a potência é nula P 0 Questão 3 letra b Seja x2t ej2t π4 O módulo do sinal é unitário então x2t2 1 A energia será E x2t2 dt 1 dt A potência é P limT 12T TT x2t2 dt limT 12T TT 1 dt limT 12T 2T 1 Questão 8 letra e Seja x5n 3ej53π32n O termo 3 é constante e não influencia a periodicidade Definindo ω 153π 32 3π5 310 temos ω2π 12π3π5 310 310 320π Como 310 Q e 320π Q então ω2π Q e o sinal não é periódico Portanto x5n é não periódico Questão 1 O sinal original xt é dado por xt 2 15 t 0 2et2 0 t 3 0 caso contrário a Aplicando a compressão temporal por um fator 3 temos x1t x3t então x1t 2 05 t 0 2e3t2 0 t 1 0 caso contrário b Aplicando a expansão temporal por um fator 2 temos x2t xt2 então x2t 2 3 t 0 2et4 0 t 6 0 caso contrário Questão 3 letra a Seja x1t e2tut O módulo ao quadrado do sinal é dado por x1t2 e4tut A energia será E x1t2 dt 0 e4t dt 14 e4t0 14 A potência é dada por P limT 12T TT x1t2 dt limT 12T 0T e4t dt Calculando a integral 0T e4t dt 14 e4t0T 14 1 e4T Substituindo P limT 12T 14 1 e4T limT 1 e4T8T 0 Questao 8 letra d Seja x4n 3ej 3π 5 n 1 2 O termo constante 3 e o fator ej 3π 10 nao afetam a periodicidade Escrevendo x4n 3ej 3πn 5 ej 3π 10 Como ej 3πn 5 e exponencial discreta com ω 3π 5 temos ω 2π 3π5 2π 3 10 Q O sinal e periodico e o menor N N tal que 3π 5 N 2πk N 10k 3 Tomando k 3 obtemos N 10 Logo o perıodo fundamental e 10 1 Questao 8 letra c Seja x3n ej7πn Para sinais discretos do tipo ejωn o sinal e periodico se ω 2π Q Neste caso 7π 2π 7 2 Q Buscando o menor inteiro N tal que ej7πnN ej7πn ej7πN 1 7πN 2πk N 2k 7 Para N Z tomamos k 7 N 2 Portanto o sinal e periodico com perıodo fundamental 2 1 Questao 10 Seja o sistema definido por yt xsint Para verificar a linearidade tomamos duas entradas x1t e x2t com saıdas y1t x1sint e y2t x2sint Para a entrada composta x1t x2t a saıda sera yt x1 x2sint x1sint x2sint y1t y2t Para a entrada ax1t com a R a saıda sera yt ax1sint ax1sint ay1t Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade sao satisfeitas o sistema e linear 1 Questao 2 Queremos expressar o sinal xt definido por xt 2 15 t 0 2et2 0 t 3 0 caso contrario em uma unica expressao envolvendo funcoes degrau unitario O termo constante pode ser escrito como 2ut15ut pois vale 2 apenas entre 15 t 0 O termo exponencial pode ser descrito como 2et2 ut ut 3 pois vale essa funcao entre 0 t 3 A expressao unica do sinal e xt 2 ut 15 ut 2et2 ut ut 3 1 Questao 8 letra b Seja x2t e1jt et ejt O termo et e uma exponencial real decrescente e nao e periodico Ainda que ejt seja periodico com perıodo 2π o produto entre uma funcao periodica e uma nao periodica resulta em um sinal nao periodico Portanto x2t e nao periodico 1 Questao 8 letra a Seja x1t jej10t Como j e uma constante complexa nao afeta a periodicidade O termo ejωt e periodico se ω for racional em relacao a 2π com perıodo dado por T 2π ω Neste caso ω 10 logo T 2π 10 π 5 Portanto o sinal e periodico com perıodo fundamental π 5 1 Questão 7 Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões na malha xt vLt vRt vCt Com L 1 R 3 C 12 e corrente yt temse vLt dytdt vRt 3yt Para o capacitor vCt 1C yt yt C dvCtdt 12 dvCtdt Portanto também dvCtdt 2yt yt 12 dvCtdt E dytdt 12 d2vCtdt2 Substituindo na equação da malha xt dytdt 3yt vCt 12 d2vCtdt2 32 dvCtdt vCt Questao 6 Seja o sinal xn 1 n 1 1 n 1 0 n 0 ou n 1 Queremos calcular yn xn xn Para n 2 x2 x2 0 logo y2 0 0 0 Para n 1 x1 1 x1 1 logo y1 1 1 0 Para n 0 x0 x0 0 logo y0 0 Para n 1 x1 1 x1 1 logo y1 1 1 0 Para n 2 x2 x2 0 logo y2 0 Portanto yn 0 n Z 1 Questao 5 Seja xt um sinal qualquer queremos escrevˆelo como a soma de uma parte par xpt e uma parte ımpar xit ou seja xt xpt xit A parte par e dada por xpt 1 2xt xt A parte ımpar sera xit 1 2xt xt Verificando a soma xpt xit 1 2xt xt 1 2xt xt xt Portanto xpt e par e xit e ımpar e a decomposicao esta correta 1 Questao 4 Dado o sistema descrito pela equacao dyt dt 3yt xt Sejam duas entradas x1t e x2t com respostas y1t e y2t respectivamente Supo nha que dy1t dt 3y1t x1t dy2t dt 3y2t x2t Multiplicando a primeira equacao por a e a segunda por b obtemse ady1t dt 3ay1t ax1t bdy2t dt 3by2t bx2t Somando as duas d dtay1t by2t 3ay1t by2t ax1t bx2t Se definirmos yt ay1t by2t e xt ax1t bx2t temos dyt dt 3yt xt Portanto o sistema satisfaz os princıpios da aditividade e homogeneidade sendo linear 1