Slide - Campos Magnéticos e a Definição de B Partícula Carregada em Movimento Circular - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Campos Magnéticos e a Definição de B • Partícula Carregada em Movimento Circular O instrumento usado para medir correntes elétricas é chamado de amperímetro. Para medir a corrente em um fio, em geral precisamos desligar ou cortar o fio e introduzir o amperímetro no circuito para que a corrente passe pelo aparelho. (Na Fig. 27-14, o amperímetro 𝐴 está sendo usado para medir a corrente 𝑖.) É essencial que a resistência 𝑅𝐴 do amperímetro seja muito menor que todas as outras resistências do circuito; se não for assim, a simples presença do medidor mudará o valor da corrente que se pretende medir. Fig. 27-14 𝜖 O instrumento usado para medir diferenças de potencial é chamado de voltímetro. Para medir a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito, ligamos os terminais do voltímetro a esses pontos sem desligar nem cortar nenhum fio do circuito. Na Fig. 27-14, o voltímetro 𝑉 está sendo usado para medir a diferença de potencial entre os terminais de 𝑅1. É essencial que a resistência 𝑅𝑉 do voltímetro seja muito maior que a resistência dos elementos do circuito que estão ligados entre os mesmos pontos do circuito que o voltímetro. Se não for assim, a simples presença do medidor mudará o valor da diferença de potencial que se pretende medir. Existem medidores que, dependendo da posição de uma chave, podem ser usados como um amperímetro ou como um voltímetro e também, em geral, como um ohmímetro, um aparelho que mede a resistência elétrica do elemento ligado entre seus terminais. Esses instrumentos multifuncionais são chamados de multímetros. 2 𝑅1 𝑅2 Resumo do que foi estudado na aula passada... 3 Resumo do que foi estudado na aula passada... Circuitos RC. Quando uma força eletromotriz 𝜖 é aplicada a uma resistência 𝑅 e uma capacitância 𝐶 em série, como na Fig. 27-15 com a chave na posição 𝑎, a carga do capacitor aumenta com o tempo de acordo com a equação (27-33) 𝑞 = 𝑞(𝑡) = 𝐶𝜖 1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 . em que 𝐶𝜖 = 𝑞0 é a carga de equilíbrio (carga final) e 𝑅𝐶 = 𝜏 é a constante de tempo capacitiva do circuito. Durante a carga do capacitor, a corrente é dada por 𝑖(𝑡) = 𝑑𝑞 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜖 𝑅 𝑒−𝑡/𝑅𝐶. (27-34) Quando um capacitor se descarrega através de uma resistência 𝑅, a carga do capacitor diminui com o tempo de acordo com a equação (27-39) 𝑞 = 𝑞(𝑡) = 𝑞0𝑒−𝑡/𝑅𝐶. (27-40) 𝑖 𝑡 = 𝑑𝑞 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑞0 𝑅𝐶 𝑒−𝑡/𝑅𝐶. Durante a descarga do capacitor, a corrente é dada por 𝜖 Fig. 27-15 𝑎 𝑏 𝐶 𝑅 𝑆 28-1 CAMPOS MAGNÉTICOS E A DEFINIÇÃO DE B O estudo dos campos magnéticos é tarefa da física; as aplicações dos campos magnéticos ficam por conta da engenharia. Tanto a física como a engenharia começam com a mesma pergunta: “O que produz um campo magnético?” O que Produz um Campo Magnético? Já que o campo elétrico 𝐸 é produzido por cargas elétricas, seria natural que o campo magnético 𝐵 fosse produzido por cargas magnéticas. Entretanto, embora a existência de cargas magnéticas (conhecidas como monopolos magnéticos) seja prevista em algumas teorias, essas cargas até hoje não foram observadas. Como são produzidos, então, os campos magnéticos? Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas. Fig. 28-1 A primeira forma consiste em usar partículas eletricamente carregadas em movimento, como os elétrons responsáveis pela corrente elétrica em um fio, para fabricar um eletroímã. A corrente produz um campo magnético que pode ser usado, por exemplo, para fazer girar o disco rígido de um computador ou para transportar sucata de um lugar para outro (Fig. 28-1). O campo magnético produzido por correntes elétricas será discutido no Capítulo 29. Capítulo 28 – Campos Magnéticos 4 A outra forma de produzir um campo magnético 𝐵 se baseia no fato de que muitas partículas elementares, entre elas o elétron, possuem um 𝐵 intrínseco. O 𝐵 é uma propriedade básica das partículas elementares, como a massa e a carga elétrica. Como será discutido no Capítulo 32, em alguns materiais os campos magnéticos dos elétrons se somam para produzir um 𝐵 no espaço que cerca o material. É por isso que um ímã permanente, do tipo usado na porta das geladeiras, possui um 𝐵 permanente. Na maioria dos materiais, porém, os 𝐵 dos elétrons se cancelam e o 𝐵 resultante em torno do material é nulo. Essa é a razão pela qual não possuímos um 𝐵 permanente em torno do nosso corpo. A Definição do Vetor Campo Magnético Determinamos o campo elétrico 𝐸 em um ponto 𝑃 colocando uma partícula de prova com uma carga 𝑞0 nesse ponto e medindo a força elétrica Ԧ𝐹𝐸 que age sobre a partícula. Em seguida, definimos o campo 𝐸 usando a relação (28-1) 𝐸 = Ԧ𝐹𝐸 𝑞0 . Se dispuséssemos de um monopolo magnético, poderíamos definir o vetor campo magnético 𝐵 de forma análoga. Entretanto, como os monopolos magnéticos até hoje não foram encontrados, devemos definir de outro modo, ou seja, em termos da força magnética exercida sobre uma partícula de prova carregada eletricamente e em movimento. 5 Ԧ𝐹𝐸 Partícula Carregada em Movimento. Em princípio, fazemos isso medindo a força Ԧ𝐹𝐵 que age sobre a partícula quando ela passa, com várias velocidades e direções, pelo ponto no qual 𝐵 está sendo medido. Depois de executar muitos experimentos desse tipo, constatamos que, quando a velocidade Ԧ𝑣 da partícula tem certa direção, a força Ԧ𝐹𝐵 é zero. Para todas as outras direções de Ԧ𝑣, o módulo de Ԧ𝐹𝐵 é proporcional a 𝑣 sen 𝜙, em que 𝜙 é o ângulo entre a direção em que a força é zero e a direção de Ԧ𝑣. Além disso, a direção de Ԧ𝐹𝐵 é sempre perpendicular à direção de Ԧ𝑣. (Esses resultados sugerem que um produto vetorial está envolvido.) O Campo. Podemos em seguida definir um campo magnético 𝐵 como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual a força Ԧ𝐹𝐵 é zero. Depois de medir Ԧ𝐹𝐵 para Ԧ𝑣 perpendicular a 𝐵, definimos o módulo de 𝐵 em termos do módulo da força: (28-2) 𝐵 = 𝐹𝐵 𝑞 𝑣 . Podemos expressar esses resultados usando a seguinte equação vetorial: (28-3) Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵. 𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sen 𝜙 , em que 𝜙 é o ângulo entre as direções da velocidade Ԧ𝑣 e do campo magnético 𝐵. Na situação representada na figura ao lado, o vetor Ԧ𝐹𝐵 está “saindo do slide”, em uma direção que é ortogonal ao plano formado pelos vetores Ԧ𝑣 e 𝐵. 6 𝐵 𝑂 𝑞 Ԧ𝑣 𝜙 𝑥 𝑦 𝑧 Determinação da Força Magnética Orientação. A Eq. (28-2) Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵 também fornece a orientação de Ԧ𝐹𝐵. O produto vetorial Ԧ𝑣 × 𝐵 da Eq. (28-2) é um vetor perpendicular aos vetores Ԧ𝑣 e 𝐵. De acordo com a regra da mão direita (Figs. 28-2a a 28-2c), o polegar da mão direita aponta na direção de Ԧ𝑣 × 𝐵 quando os outros dedos apontam de Ԧ𝑣 para 𝐵. De acordo com a Eq. (28- 2), se a carga 𝑞 é positiva, a força Ԧ𝐹𝐵 tem o mesmo sinal que Ԧ𝑣 × 𝐵; assim, para 𝑞 positiva, Ԧ𝐹𝐵 aponta no mesmo sentido que o polegar (Fig. 28-2d). Se 𝑞 é negativa, a força Ԧ𝐹𝐵 e o produto vetorial Ԧ𝑣 × 𝐵 têm sinais contrários e, portanto, Ԧ𝑣 × 𝐵 e Ԧ𝐹𝐵 apontam em sentidos opostos. Assim, para 𝑞 negativa, Ԧ𝐹𝐵 aponta no sentido oposto ao do polegar (Fig. 28-2e). Fig. 28-2a Fig. 28-2b Fig. 28-2c Fig. 28-2d Fig. 28-2e Seja qual for o sinal da carga, a força Ԧ𝐹𝐵 que age sobre uma partícula carregada que se move com velocidade Ԧ𝑣 na presença de um campo magnético 𝐵 é sempre perpendicular a Ԧ𝑣 e a 𝐵. 7 Unidade. De acordo com as Eqs. (28-2) Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵 e (28-3) 𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sen 𝜙 , a unidade de 𝐵 no SI é o newton por coulomb-metro por segundo. Por conveniência, essa unidade é chamada de tesla (𝑇): (28-4) 1 tesla = 1 𝑇 = 1 𝑁 𝐶(𝑚/𝑠) = 1 𝑁 (𝐶/𝑠)𝑚 = 1 𝑁 𝐴. 𝑚 . A Tabela 28-1 mostra a ordem de grandeza de alguns campos magnéticos. 8 Linhas de Campo Magnético O campo magnético, como o campo elétrico, pode ser representado por linhas de campo. As regras são as mesmas: (1) a direção da tangente a uma linha de campo em qualquer ponto fornece a direção de 𝐵 nesse ponto; (2) o espaçamento das linhas de campo representa o módulo de 𝐵 — quanto mais intenso o campo, mais próximas estão as linhas de campo, e vice-versa. A Fig. 28-4a mostra as linhas de campo magnético nas proximidades de um ímã em forma de barra. Todas as linhas passam pelo interior do ímã e formam curvas fechadas (mesmo as que não parecem formar curvas fechadas na figura). O campo magnético criado pelo ímã é mais intenso perto das extremidades dele, o que se reflete em um menor espaçamento das linhas de campo. Fig. 28-4a Dois Polos. As linhas de campo entram no ímã por uma das extremidades e saem pela outra. A extremidade pela qual as linhas saem é chamada de polo norte do ímã; a outra extremidade, pela qual as linhas entram, recebe o nome de polo sul. Como um ímã tem dois polos, dizemos que ele se comporta como um dipolo magnético. 9 𝐵 Os ímãs que usamos para prender bilhetes nas geladeiras são ímãs em forma de barra. A Fig. 28-5 mostra outros dois tipos comuns de ímãs: o ímã em forma de ferradura e o ímã em forma de C (no segundo tipo, o campo magnético entre os polos é aproximadamente uniforme). Seja qual for a forma dos ímãs, quando colocamos dois ímãs próximos um do outro sempre observamos o seguinte: Polos magnéticos de tipos diferentes se atraem e polos do mesmo tipo se repelem. 10 Fig. 28-5a Fig. 28-5b 𝐵 𝐵 Atração Repulsão 11 28-4 UMA PARTÍCULA CARREGADA EM MOVIMENTO CIRCULAR Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência com o módulo da velocidade constante, podemos ter certeza de que a força que age sobre a partícula tem módulo constante e aponta para o centro da circunferência, mantendo-se perpendicular à velocidade da partícula. Pense em uma pedra amarrada a uma corda que gira em círculos em uma superfície horizontal sem atrito, ou em um satélite que gira em torno da Terra em uma órbita circular. No primeiro caso, a tração da corda é responsável pela força e pela aceleração centrípeta; no segundo, a força e a aceleração são causadas pela atração gravitacional. A Fig. 28-10 mostra outro exemplo: um feixe de elétrons é lançado em uma câmara por um canhão de elétrons G. Os elétrons se movem no plano do slide com velocidade Ԧ𝑣, em uma região na qual existe um campo magnético 𝐵 que aponta para fora do slide. Em consequência, uma força magnética Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵 age continuamente sobre os elétrons. Uma vez que Ԧ𝑣 e 𝐵 são perpendiculares, a força faz com que os elétrons descrevam uma trajetória circular. A trajetória é visível na fotografia porque alguns dos elétrons colidem com átomos do gás presente na câmara, fazendo-os emitir luz. Fig. 28-10 𝑟 Estamos interessados em determinar os parâmetros que caracterizam o movimento circular desses elétrons ou de qualquer outra partícula de carga 𝑞 e massa 𝑚 que se mova com velocidade Ԧ𝑣 perpendicularmente a um campo magnético uniforme 𝐵. De acordo com a Eq. (28-3) 𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sen 𝜙 , o módulo da força Ԧ𝐹𝐵 que age sobre a partícula é 𝑞 𝑣𝐵 sen 90° = 𝑞 𝑣𝐵. De acordo com a segunda lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚𝑎𝑐 aplicada ao movimento circular, (28-14) 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚𝑎𝑐 (28-15) 𝑚 𝑣2 𝑟 = 𝑞 𝑣𝐵. 12 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 𝑣2 𝑟 . 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝐹𝐵 𝐵 = 𝐵෠𝑘 𝑂 𝑞 Ԧ𝑣 = 𝑣 Ƹ𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 Ԧ𝐹𝐵 𝑟 Explicitando na Eq. (28-15) 𝑟, vemos que o raio da trajetória circular é dado por (28-16) 𝑟 = 𝑚𝑣 𝑞 𝐵 (raio). O período 𝑇 (o tempo necessário para completar uma revolução) é igual ao comprimento da circunferência dividido pela velocidade: 𝑇 = 2𝜋𝑟 𝑣 = 2𝜋 𝑣 𝑚𝑣 𝑞 𝐵 = 2𝜋𝑚 𝑞 𝐵 (período). (28-17) Note que, no caso do elétron representado na figura ao lado, 𝑞 = −𝑒 e isso implica que a força magnética sobre ele é dada por Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵 = −𝑒𝑣 Ƹ𝑗 × 𝐵෠𝑘 = 𝑒𝑣𝐵(− Ƹ𝑖). 𝑓 = 1 𝑇 = 𝑞 𝐵 2𝜋𝑚 (frequência). (28-18) A frequência angular 𝜔 do movimento é, portanto, 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 𝑞 𝐵 𝑚 (frequência angular). (28-19) As grandezas 𝑇, 𝑓 e 𝜔 não dependem da velocidade 𝑣 da partícula (contanto que a velocidade seja muito menor que a velocidade da luz no vácuo, que é igual a 3,0 × 108 𝑚/𝑠). Partículas velozes se movem em circunferências grandes e partículas lentas se movem em circunferências pequenas, mas todas as partículas com a mesma razão entre carga e massa 𝑞 /𝑚 levam o mesmo tempo 𝑇 (o período) para completar uma revolução. 13 A frequência 𝑓 (número de revoluções por segundo) é dada por 𝐵 = 𝐵෠𝑘 𝑂 𝑞 Ԧ𝑣 = 𝑣 Ƹ𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 Ԧ𝐹𝐵 𝑟 Fig. 28-11a Ԧ𝑣 𝑣|| 𝑣⊥ 𝜙 𝜙 𝐵 𝑞 Trajetórias Helicoidais Se a velocidade Ԧ𝑣 de uma partícula carregada tem uma componente paralela ao campo magnético (uniforme), a partícula descreve uma trajetória helicoidal cujo eixo é a direção do campo 𝐵. A Fig. 28-11a, por exemplo, mostra o vetor velocidade Ԧ𝑣 de uma dessas partículas separado em duas componentes, uma paralela (𝑣|| ෡||) a 𝐵 e outra perpendicular (𝑣⊥ ෡⊥) a 𝐵: (28-20) Ԧ𝑣 = 𝑣|| ෡|| + 𝑣⊥ ෡⊥. 𝑣|| = 𝑣 cos 𝜙 . 𝑣⊥ = 𝑣 sen 𝜙 . É a componente paralela (𝑣||) que determina o passo 𝑝 da hélice, ou seja, a distância entre espiras sucessivas (Fig. 28-11b). O raio 𝑟 da hélice e a grandeza que toma o lugar de 𝑣 na Eq. (28-16) são determinados pela componente perpendicular 𝑣⊥ ou seja, 𝑟 = 𝑚𝑣⊥ 𝑞 𝐵 . Fig. 28-11b 14 𝑝 𝑣⊥ 𝜙 Ԧ𝑣 𝑣|| 𝐵 𝑞 𝑟 Fig. 28-11c A Fig. 28-11c mostra uma partícula carregada que se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme. O espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo magnético é mais intenso nessas regiões. Se o campo magnético em uma das extremidades for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o centro da região. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que ela está aprisionada em uma garrafa magnética. 15 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 3 e 18. Exercícios Complementares: 2, 4, 6, 17, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 29, 31, 33 e 34. 16 17 ·18 Na Fig. 28-36, uma partícula descreve uma trajetória circular em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 𝐵 = 4,00 𝑚𝑇. A partícula é um próton ou um elétron (a identidade da partícula faz parte do problema) e está sujeita a uma força magnética de módulo 3,20 × 10−15 𝑁. Determine (a) a velocidade escalar da partícula, (b) o raio da trajetória e (c) o período do movimento. Dicas: a partícula é um elétron (por que? Para responder, pense sobre a expressão Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵). Em (a), use 𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sen 𝜙, com 𝑞 = −𝑒 = 𝑒 = 1,6 × 10−19 𝐶. Em (b), use 𝑟 = 𝑚𝑣 𝑞 𝐵, com 𝑚 = 9,11 × 10−31 𝑘𝑔. Em (c), use 𝑇 = 2𝜋𝑚 𝑞 𝐵. Respostas: (a) 𝑣 = 5,0 × 106 𝑚/𝑠. (b) 𝑟 = 7,1 × 10−3 𝑚. (c) 𝑇 = 8,9 × 10−9 𝑠. Fig. 28-36 ·3 Um elétron com uma velocidade Ԧ𝑣 = 2,0 × 106 𝑚/𝑠 Ƹ𝑖 + 3,0 × 106 𝑚/𝑠 Ƹ𝑗 está se movendo em uma região em que existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,030 𝑇 Ƹ𝑖 − (0,15 𝑇) Ƹ𝑗. (a) Determine a força que age sobre o elétron. (b) Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade. Dicas: faça um desenho que represente a situação física descrita no enunciado do problema. (a) Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵, onde 𝑞 = −1,6 × 10−19 𝐶. (a) Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵, onde 𝑞 = 1,6 × 10−19 𝐶. Respostas: (a) Ԧ𝐹 = 6,2 × 10−14 𝑁 ෠𝑘. (b) Ԧ𝐹 = − 6,2 × 10−14 𝑁 ෠𝑘. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.sciencephoto.com/media/423696/view/magnetic-field • https://www.coladaweb.com/fisica/fisica-geral/magnetismo • https://www.sofisica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/CampoMagnetico/imasemagnetos.php 18