Slide - Fluxo Elétrico Lei de Gauss - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Fluxo elétrico • Lei de Gauss 𝑑𝑠 𝑧 𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 𝑟 𝑅 Resumo do que foi estudado na aula passada... Campo Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga. O campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado tratando elementos de carga 𝑑𝑞 como cargas puntuais e somando, por integração, os campos elétricos 𝑑𝐸 produzidos por todos os elementos de carga. Campo Produzido por um Anel Carregado. O módulo do campo elétrico em um ponto 𝑃 do eixo que passa pelo centro de um anel uniformemente carregado é dado por em que 𝑞 é a carga total do anel, 𝑧 é a distância entre o ponto 𝑃 e o centro do anel e 𝑅 é o raio do anel. (22-16) 2 𝐸𝑧 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑧 𝑧2 + 𝑅2 3/2 , 3 Campo Produzido por um Disco Carregado. O módulo do campo elétrico em um ponto 𝑃 do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado por em que 𝜎 é a densidade superficial de carga, 𝑧 é a distância entre o ponto e o centro do disco e 𝑅 é o raio do disco. 𝐸𝑧 = 𝜎 2𝜖0 1 − 𝑧 𝑧2 + 𝑅2 , (22-26) Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝑑𝐸𝑧 𝑃 𝑧 𝑟 𝑅 𝑑𝑟 23-1 FLUXO ELÉTRICO Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas aparentemente complexos. Um dos instrumentos usados pela física para conseguir esse objetivo é a simetria. Neste capítulo, discutimos uma bela relação entre carga e campo elétrico que nos permite, em certas situações de alta simetria, calcular o campo elétrico produzido por objetos macroscópicos usando poucas equações algébricas. Essa relação é chamada de lei de Gauss e foi descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Vamos começar com alguns exemplos simples que dão uma ideia do espírito da lei de Gauss. A Fig. 23-1 mostra uma partícula de carga 𝑄(> 0) cercada por uma esfera imaginária cujo centro é a posição da partícula. Em todos os pontos da esfera (chamada de superfície gaussiana) os vetores do campo elétrico têm o mesmo módulo (dado por 𝐸 = 𝑘𝑄/𝑟2) e apontam radialmente para longe da partícula (porque a carga 𝑄 da partícula é positiva). As linhas de campo elétrico também apontam para longe da partícula e têm a mesma densidade (já que, como vimos no Capítulo 22, a densidade de linha de campo elétrico é proporcional ao módulo do campo elétrico). Dizemos que os vetores do campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam a superfície. A grandeza matemática correspondente ao número de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície é denominada fluxo elétrico. Fig. 23-1 𝑄 4 Capítulo 23 - Lei de Gauss 𝑟 𝐸 A Fig. 23-2 é igual à Fig. 23-1, exceto pelo fato de que a carga da partícula é 2𝑄. Como a carga envolvida é duas vezes maior, o módulo dos vetores do campo elétrico que atravessam a (mesma) superfície gaussiana é duas vezes maior 𝐸 = 𝑘2𝑄/𝑟2 que na Fig. 23-1, e a densidade das linhas de campo elétrico também é duas vezes maior. Foram observações como essa que levaram à lei de Gauss: Fig. 23-2 2𝑄 A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana (fechada) à carga total envolvida pela superfície. Fig. 23-3 Vamos examinar um terceiro exemplo, mostrado na Fig. 23-3, em que uma partícula está no centro da mesma superfície gaussiana esférica. Quais são o sinal e o valor absoluto da carga? Como os vetores do campo elétrico apontam para a partícula, sabemos que a carga da partícula é negativa. Além disso, como o comprimento dos vetores do campo elétrico é metade do comprimento dos vetores da Fig. 23-1, concluímos que o valor absoluto da carga é 0,5𝑄. (Usar a lei de Gauss é como saber qual é o presente examinando o papel em que o presente está embrulhado.) −0,5𝑄 5 𝑟 𝑟 𝐸 𝐸 Fluxo Elétrico Superfície Plana, Campo Uniforme. Começamos com uma superfície plana, de área total 𝐴, em uma região onde existe um campo elétrico uniforme 𝐸 = 𝐸𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐸𝑦 Ƹ𝑗 = 𝐸 cos 𝜃 Ƹ𝑖 + 𝐸 sen 𝜃 Ƹ𝑗. A Fig. 23-4a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno quadrado de área Δ𝐴 (em que Δ significa “pequeno”). Na verdade, apenas a componente 𝑥 (de módulo 𝐸𝑥 = 𝐸 cos 𝜃 na Fig. 23-4b) atravessa a superfície. A componente 𝑦 é paralela à superfície e não aparece na lei de Gauss. A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela área envolvida: Fig. 23-4 (a) (b) (c) ΔΦ = 𝐸𝑥Δ𝐴 = 𝐸 cos 𝜃 Δ𝐴 = 𝐸 ⋅ Δ Ԧ𝐴, em que o vetor área Δ Ԧ𝐴 é perpendicular quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado (Fig. 23-4c). 6 𝐸𝑥 𝐸𝑦 Δ Ԧ𝐴 𝐸 𝐸 𝜃 Para determinar o fluxo total Φ que atravessa a superfície da Fig. 23-4, somamos o fluxo ΔΦ que atravessa todos os pequenos quadrados da superfície: Φ = ෍ ΔΦ = ෍ 𝐸 ⋅ Δ Ԧ𝐴 . Entretanto, como não queremos ter o trabalho de somar centenas (ou mais) de valores do fluxo, transformamos a soma em uma integral reduzindo os pequenos quadrados de área Δ𝐴 em elementos de área 𝑑𝐴. Nesse caso, o fluxo total passa a ser dado por Φ = න 𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 . (23-1) (23-2) 7 Fig. 23-4 (a) (b) (c) 𝐸𝑥 𝐸𝑦 Δ Ԧ𝐴 𝐸 𝐸 𝜃 8 Produto Escalar. Podemos calcular o produto escalar que aparece no integrando da Eq. (23-2) Φ = ׬𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 escrevendo os dois vetores na notação dos vetores unitários. Na Fig. 23-4, 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑑𝐴 Ƹ𝑖 e 𝐸 poderia ser, por exemplo, 4 Ƹ𝑖 + 4 Ƹ𝑗 𝑁/𝐶. Também podemos calcular o produto escalar na notação módulo-ângulo, na qual o resultado seria 𝐸 cos 𝜃 𝑑𝐴. Se o campo elétrico é uniforme e a superfície é plana, o produto 𝐸 cos 𝜃 é uniforme e pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração. A integral restante, ׬𝐴 𝑑𝐴, é apenas uma receita para somar todos os quadrados elementares para obter a área total, mas já sabemos que a área total é 𝐴. Assim, o fluxo total nessa situação simples é Φ = න 𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = න 𝐴 𝐸 cos 𝜃 𝑑𝐴 = 𝐸 cos 𝜃 න 𝐴 𝑑𝐴 = 𝐸 cos 𝜃 𝐴 campo uniforme, superfície plana . (23-3) Fig. 23-4 (a) (b) (c) 𝐸𝑥 𝐸𝑦 Δ Ԧ𝐴 𝐸 𝐸 𝜃 Superfície Fechada. Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de Gauss, precisamos de uma superfície fechada. Vamos usar a superfície fechada da Fig. 23-5, que está submetida a um campo elétrico 𝐸 = 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) não uniforme. Como antes, vamos começar pelo fluxo através de pequenos quadrados. Agora, porém, estamos interessados, não só em saber se as componentes do campo elétrico atravessam a superfície, mas também se elas atravessam a superfície de dentro para fora (como na Fig. 23-1), ou de fora para dentro (como na Fig. 23-3). 𝐸 tangente: fluxo nulo Sinal do Fluxo. Para levar em conta o sentido com o qual o campo elétrico atravessa a superfície, usamos, como antes, um vetor área, Δ Ԧ𝐴, mas agora escolhemos como positivo o sentido para fora (da superfície fechada). Assim, se o vetor campo elétrico aponta para fora, o campo elétrico e o vetor área apontam no mesmo sentido, o ângulo entre os vetores é 𝜃 = 0 e cos 𝜃 = 1. Isso significa que o produto escalar 𝐸 ⋅ Δ Ԧ𝐴(= 𝐸𝐴 cos 0 = 𝐸𝐴) é positivo e, portanto, o fluxo é positivo. Se o vetor campo aponta para dentro, o campo elétrico e o vetor área apontam em sentidos opostos, o ângulo entre os vetores é 𝜃 = 180° e cos 𝜃 = −1. Nesse caso, o produto escalar 𝐸 ⋅ Δ Ԧ𝐴(= 𝐸𝐴 cos 180° = −𝐸𝐴) é negativo e o fluxo é negativo. Se o vetor campo elétrico é paralelo à superfície, o campo elétrico é perpendicular ao vetor área, o ângulo entre os vetores é 𝜃 = 90° e cos 𝜃 = 0. Nesse caso, o produto escalar 𝐸 ⋅ Δ Ԧ𝐴(= 𝐸𝐴 cos 90° = 0) é nulo e o fluxo é zero. A Fig. 23-5 mostra exemplos das três situações. Fig. 23-5 9 ➢ Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície, o fluxo é positivo; se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície, o fluxo é negativo; se o campo elétrico é paralelo à superfície, o fluxo é zero. Fluxo Total. Em princípio, para determinar o fluxo total através da superfície da Fig. 23-5, poderíamos calcular o fluxo através de pequenos quadrados e somar os resultados (levando em conta os sinais algébricos). Entretanto, não há necessidade de executar esse trabalho exaustivo. Em vez disso, podemos reduzir o tamanho dos pequenos quadrados até se tornarem áreas infinitesimais 𝑑 Ԧ𝐴 e calcular o resultado por integração: Φ = ර 𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 . (23-4) • O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada, já que estamos calculando o fluxo total através da superfície. • A unidade de fluxo do SI é o newton-metro quadrado por coulomb (𝑁. 𝑚2/𝐶). 10 A conclusão é a seguinte: 𝐸 tangente: fluxo nulo Fig. 23-5 11 23-2 LEI DE GAUSS A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total 𝑞𝑒𝑛𝑣 envolvida pela superfície. Em notação matemática, 𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 (lei de Gauss). (23-6) Usando a Eq. (23-4), a definição de fluxo, podemos escrever a lei de Gauss na forma 𝜖0 ර 𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣. (23-7) Nas Eqs. (23-6) e (23-7), a carga total 𝑞𝑒𝑛𝑣 é a soma algébrica das cargas positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana, e pode ser positiva, negativa ou nula. A carga do lado de fora da superfície gaussiana, mesmo que seja muito grande ou esteja muito próxima, não é incluída no termo 𝑞𝑒𝑛𝑣 da lei de Gauss. A localização das cargas no interior da superfície gaussiana é irrelevante. 𝑞𝑒𝑛𝑣 =? 𝑞𝑒𝑛𝑣 =? A grandeza 𝐸 do lado esquerdo da Eq. (23-7) 𝜖0ׯ𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 , por outro lado, é o campo elétrico produzido por todas as cargas, tanto as que estão do lado de dentro da superfície gaussiana como as que estão do lado de fora. Isso pode parecer incoerente, mas é preciso ter em mente o seguinte fato: a contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície gaussiana para o fluxo através da superfície é sempre nula, já que o número de linhas de campo que entram na superfície devido a essa carga é igual ao número de linhas que saem. Vamos aplicar essas ideias à Fig. 23-8, que mostra duas cargas puntuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que descrevem os campos elétricos criados pelas cargas no espaço em torno das cargas. A figura mostra também quatro superfícies gaussianas vistas de perfil. Vamos discuti-las uma a uma. Fig. 23-8 12 Superfície 𝑆1. O campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície. Isso significa que o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e, de acordo com a lei de Gauss, a carga envolvida pela superfície também é positiva. (Em outras palavras, se Φ é positivo na Eq. (23-6) 𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 , 𝑞𝑒𝑛𝑣 deve ser positiva.) Superfície 𝑆2. O campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície. Isso significa que o fluxo do campo elétrico é negativo e, de acordo com a lei de Gauss 𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 , a carga envolvida também é negativa. Superfície 𝑆3. De acordo com a lei de Gauss 𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 , como a superfície não envolve nenhuma carga, o fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo. Isso é razoável, já que todas as linhas de campo que entram na superfície pela parte de cima saem pela parte de baixo. Superfície 𝑆4. A carga total envolvida pela superfície é nula, já que as cargas envolvidas pela superfície têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos. Assim, de acordo com a lei de Gauss 𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 , o fluxo do campo elétrico através dessa superfície deve ser zero. Isso é razoável, já que o número de linhas de campo que entram na superfície pela parte de baixo é igual ao número de linhas de campo que saem pela parte de cima. 13 Fig. 23-8 Lei de Gauss e Lei de Coulomb A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico produzido por uma partícula carregada. Nesse caso, o campo tem simetria esférica (depende apenas da distância 𝑟 entre o ponto considerado e a partícula). Para tirar proveito dessa simetria, envolvemos a partícula em uma esfera gaussiana com centro na partícula, como mostra a Fig. 23-9 para uma partícula com uma carga positiva 𝑞. Como todos os pontos da superfície da esfera estão à mesma distância 𝑟 da partícula, o módulo do campo elétrico tem o mesmo valor 𝐸(𝑟) em todos os pontos da superfície da esfera, o que facilita bastante o cálculo da integral. O método a ser usado é o mesmo visto anteriormente. Escolhemos um elemento de área na superfície da esfera e desenhamos um vetor área 𝑑 Ԧ𝐴 = Ƹ𝑟𝑑𝐴 perpendicular ao elemento, apontando para fora da esfera. A simetria da situação mostra que o campo elétrico 𝐸 = 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 também é perpendicular à superfície da esfera e aponta para fora da esfera, o que significa que o ângulo entre 𝐸 e 𝑑 Ԧ𝐴 é 𝜃 = 0. Assim, a lei de Gauss nos dá 𝜖0 ර 𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝜖0 ර 𝐴 𝐸(𝑟) Ƹ𝑟 ⋅ Ƹ𝑟𝑑𝐴 = 𝜖0 ර 𝐴 𝐸(𝑟)𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣, (23-8) em que 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑞. Como o módulo 𝐸(𝑟) do campo elétrico é igual em todos os elementos de área, ele pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração, o que nos permite escrever 𝜖0𝐸 𝑟 ර 𝐴 𝑑𝐴 = 𝑞. (23-9) 14 = 1 Fig. 23-9 𝑑 Ԧ𝐴 Ƹ𝑟 Ƹ𝑟 Ƹ𝑟 A integral restante é apenas uma receita para somar todas as áreas elementares, mas já sabemos que a área total da superfície gaussiana é ׯ𝐴 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟2. Substituindo a integral pelo seu valor na Eq. (23-9), obtemos 𝜖0𝐸 𝑟 4𝜋𝑟2 = 𝑞 (23-10) 𝐸 𝑟 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 . Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 1 e 6. Exercícios Complementares: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 e 14. 15 Fig. 23-9 𝑑 Ԧ𝐴 Ƹ𝑟 Ƹ𝑟 Ƹ𝑟 16 ·1 A superfície quadrada da Fig. 23-30 tem 3,2 𝑚𝑚 de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 1800 𝑁/𝐶 e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35° com a normal, como mostra a figura. Tome essa normal como apontando “para fora”, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície. Dicas: Φ = ׬𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴, onde 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝐸 𝑑𝐴 cos 𝜙 e ׬𝐴 𝑑𝐴 = 𝐴. Note que 𝜙 é o menor ângulo entre 𝐸 e 𝑑 Ԧ𝐴. Resposta: Φ = −1,5 × 10−2 𝑁. 𝑚2/𝐶. Fig. 23-30 ·6 Em todos os pontos da superfície do cubo da Fig. 23-31, o campo elétrico é paralelo ao eixo 𝑧. O cubo tem 3,0 𝑚 de aresta. Na face superior do cubo, 𝐸𝑠 = −34 ෠𝑘 𝑁/𝐶; na face inferior, 𝐸𝑖 = 20 ෠𝑘 𝑁/𝐶. Determine a carga que existe no interior do cubo. Dicas: 𝜖0ׯ𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣, em que 𝜖0 = 8,85 × 10−12 𝐶2/𝑁. 𝑚2. Na tampa superior, 𝑑 Ԧ𝐴𝑠 = ෠𝑘𝑑𝐴 e na tampa inferior 𝑑 Ԧ𝐴𝑖 = −෠𝑘 𝑑𝐴. Resposta: 𝑞𝑒𝑛𝑣 = −4,3 × 10−9 𝐶. Fig. 23-31 𝐸𝑖 𝐸𝑠 𝑧 𝑦 𝑥 Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://www.youphysics.education/flux/gauss-sphere/ 17