Slide - Ddp Entre Dois Pontos Circuitos Com Mais de Uma Malha Regra dos Nós Resistências em Paralelo - Física 2 2021-1

O que estudaremos na aula de hoje? • Diferença de Potencial entre Dois Pontos • Circuitos com Mais de Uma Malha • Regra dos Nós • Resistências em Paralelo Resumo do que foi estudado na aula passada... Força Eletromotriz. Uma fonte de tensão realiza um trabalho sobre cargas elétricas para manter uma diferença de potencial entre os terminais. Se 𝑑𝑊 é o trabalho realizado pela fonte para transportar uma carga positiva 𝑑𝑞 do terminal negativo para o terminal positivo, a força eletromotriz (trabalho por unidade de carga) da fonte é dada por 𝜖 = 𝑑𝑊 𝑑𝑞 definição de 𝜖 . (27-1) A unidade de força eletromotriz e de diferença de potencial no SI é o volt. Uma fonte de tensão ideal não possui resistência interna; a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz 𝑉 = 𝜖 . Uma fonte de tensão real possui resistência interna 𝑟; a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real é igual à força eletromotriz apenas quando a corrente que a atravessa é zero 𝑉 = 𝜖 − 𝑟𝑖 . 2 Análise de Circuitos. A variação de potencial quando atravessamos uma resistência 𝑅 no sentido da corrente convencional é −𝑅𝑖; a variação de potencial quando atravessamos a resistência 𝑅 no sentido oposto ao da corrente convencional é +𝑅𝑖 (regra das resistências). A variação de potencial quando atravessamos uma fonte de tensão ideal do terminal negativo para o terminal positivo é +𝜖; a variação de potencial quando atravessamos a fonte no sentido oposto é −𝜖 (regra das fontes). 𝑑𝑞 𝜖 𝑑𝑊 𝜖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑎 𝑎′ 𝑅 𝐸 3 A lei de conservação da energia leva à regra das malhas. Regra das Malhas. A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é zero. Resumo do que foi estudado na aula passada... Circuitos com uma Malha. A corrente em um circuito com uma malha que contém uma única resistência 𝑅 e uma fonte real de tensão de força eletromotriz 𝜖 e resistência 𝑟 é dada por 𝑖 = 𝜖 𝑟 + 𝑅 . (27-4) 𝜖 𝜖 𝜖 Fonte real 𝑉𝑎 𝑉𝑎 𝑅 𝑅 𝑎 𝑎 𝑏 𝑉𝑏 𝜖 𝑎 𝑅 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Resistências em Série. Quando duas ou mais resistências estão ligadas em série, todas são percorridas pela mesma corrente. A resistência equivalente a 𝑛 resistências ligadas em série pode ser escrita como (27-7) 𝑅𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 𝑅𝑗 (𝑛 resistências em série). 4 Resumo do que foi estudado na aula passada... 𝜖 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 𝜖 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Diferença de Potencial entre Dois Pontos Muitas vezes estamos interessados em determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito. Assim, por exemplo, na Fig. 27-6, qual é a diferença de potencial 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 entre os pontos 𝑎 e 𝑏? Para obter a resposta, vamos começar no ponto 𝑎 (cujo potencial é 𝑉𝑎) e nos deslocar, passando pela fonte, até o ponto 𝑏 (cujo potencial é 𝑉𝑏), anotando as diferenças de potencial encontradas no percurso. Quando passamos pela fonte, o potencial aumenta de 𝜖. Quando passamos pela resistência interna 𝑟 da fonte, estamos nos movendo no sentido da corrente 𝑖 e, portanto, o potencial diminui de 𝑟𝑖. A essa altura, estamos no ponto 𝑏 e temos Fig. 27-6 𝑉𝑎 + 𝜖 − 𝑟𝑖 = 𝑉𝑏 (27-8) 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝜖 − 𝑟𝑖. 𝜖 = 12 𝑉 𝑟 = 2,0 Ω 𝑅 = 4,0 Ω Para calcular o valor dessa expressão, precisamos conhecer a corrente 𝑖. Observe que o circuito da Fig. 27-6 é o mesmo da Fig. 27-4a, para o qual, de acordo com a Eq. (27-4), 𝑖 = 𝜖 𝑟 + 𝑅 . (27-9) Substituindo 𝑖 pelo seu valor, dado pela Eq. (27-9), na Eq. (27-8), obtemos 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝜖 − 𝑟 𝜖 𝑟 + 𝑅 = 𝜖(𝑟 + 𝑅) − 𝜖𝑟 𝑟 + 𝑅 = 𝜖 𝑅 𝑟 + 𝑅 . (27-10) Substituindo os valores numéricos que aparecem na Fig. 27-6, ficamos com 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 12 𝑉 4,0 Ω 2,0 Ω + 4,0Ω = 8,0 𝑉. (27-11) 5 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 Para determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito, começamos em um dos pontos e percorremos o circuito até o outro ponto, somando algebricamente as variações de potencial que encontramos no percurso. Diferença de Potencial entre os Terminais de uma Fonte Real Na Fig. 27-6, os pontos 𝑎 e 𝑏 estão situados nos terminais da fonte; assim, a diferença de potencial 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 é a diferença de potencial entre os terminais da fonte. De acordo com a Eq. (27-8), temos 𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝜖 − 𝑟𝑖. (27-13) A Fig. 27-7a mostra o mesmo circuito da Fig. 27-6, exceto pelo fato de que o ponto 𝑎 está ligado diretamente à terra, o que é indicado pelo símbolo . Aterrar um circuito pode significar ligar o circuito à superfície da Terra (na verdade, ao solo úmido, que é um bom condutor de eletricidade). Neste diagrama, porém, o símbolo de terra significa apenas que o potencial é definido como zero no ponto em que se encontra o símbolo. Assim, na Fig. 27-7a, o potencial do ponto 𝑎 é definido como 𝑉𝑎 = 0. Nesse caso, conforme a Eq. (27-11) 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 8,0 𝑉 , o potencial no ponto 𝑏 é 𝑉𝑏 = 8,0 𝑉. Fig. 27-7a 6 Aterramento de um Circuito Fig. 27-6 𝜖 = 12 𝑉 𝑟 = 2,0 Ω 𝑅 = 4,0 Ω 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 𝑅 = 4,0 Ω 𝑟 = 2,0 Ω 𝜖 = 12 𝑉 Fig. 27-7b A Fig. 27-7b mostra o mesmo circuito, exceto pelo fato de que agora é o ponto 𝑏 que está ligado à terra. Assim, o potencial do ponto 𝑏 é definido como 𝑉𝑏 = 0; nesse caso, de acordo com a Eq. (27-11) 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 8,0 𝑉 , o potencial no ponto 𝑎 é 𝑉𝑎 = −8,0 𝑉. Potência, Potencial e Força Eletromotriz Quando uma bateria ou outro tipo de fonte de tensão realiza trabalho sobre portadores de carga para estabelecer uma corrente 𝑖, o dispositivo transfere energia de sua fonte interna de energia (energia química, no caso de uma bateria) para os portadores de carga. Como toda fonte real possui uma resistência interna 𝑟, a fonte também dissipa uma parte da energia na forma de calor (Seção 26-5). Vamos ver agora como essas transferências estão relacionadas. A potência 𝑃, fornecida pela fonte real aos portadores de carga, é dada pela Eq. (26-26): 𝑃 = 𝑉𝑖, (27-14) em que 𝑉 é a diferença de potencial entre os terminais da fonte. Podemos substituir a Eq. (27-13) [𝑉 = 𝜖 − 𝑟𝑖] na Eq. (27-14) para obter 𝑃 = 𝜖 − 𝑟𝑖 𝑖 = 𝜖𝑖 − 𝑟𝑖2. (27-15) Examinando a Eq. (27-15), reconhecemos o termo 𝑟𝑖2 como a potência 𝑃𝑟 dissipada no interior da fonte real [Eq. (26-27)] como 𝑃𝑟 = 𝑟𝑖2 (potência dissipada na resistência interna da fonte). (27-16) 7 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 𝑅 = 4,0 Ω 𝑟 = 2,0 Ω 𝜖 = 12 𝑉 27-2 CIRCUITOS COM MAIS DE UMA MALHA Nesse caso, o termo 𝜖𝑖 da Eq. (27-15) é a potência fornecida pela fonte, ou seja, 𝑃fonte = 𝜖𝑖 (potência fornecida pela fonte). (27-17) Quando uma bateria está sendo recarregada, com uma corrente passando no “sentido inverso”, a transferência de energia é dos portadores de carga para a bateria; parte da energia é usada para aumentar a energia química da bateria e parte é dissipada na resistência interna 𝑟 da bateria. A taxa de variação da energia química é dada pela Eq. (27-17), a taxa de dissipação é dada pela Eq. (27-16) 𝑃𝑟 = 𝑟𝑖2 e a taxa com a qual os portadores de carga fornecem energia é dada pela Eq. (27-14) 𝑃 = 𝑉𝑖 . A Fig. 27-9 mostra um circuito com mais de uma malha. Para simplificar a análise, vamos supor que as fontes são ideais. Existem dois nós no circuito, nos pontos 𝑏 e 𝑑, e três ramos ligando os nós: o ramo da esquerda (𝑏𝑎𝑑), o ramo da direita (𝑏𝑐𝑑) e o ramo central (𝑏𝑑). Quais são as correntes nos três ramos? Vamos rotular arbitrariamente as correntes, usando um índice diferente para cada ramo. A corrente 𝑖1 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo 𝑏𝑎𝑑, 𝑖2 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo 𝑏𝑐𝑑, e 𝑖3 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo 𝑏𝑑. Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente. 8 Fig. 27-9 𝜖1 𝜖2 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑖2 𝑖3 𝑖1 𝑅2 𝑅3 𝑅1 Considere o nó 𝑑. As cargas entram no nó pelas correntes 𝑖1 e 𝑖3 e deixam o nó pela corrente 𝑖2. Como a carga total não pode mudar, a corrente total que chega tem que ser igual à corrente total que sai: REGRA DOS NÓS: a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. 𝑖1 + 𝑖3 = 𝑖2. (27-18) A Eq. (27-18) sugere o seguinte princípio geral: Essa regra também é conhecida como lei dos nós de Kirchhoff (ou lei das correntes de Kirchhoff). Trata-se simplesmente de outra forma de enunciar a lei de conservação da carga: a carga não pode ser criada nem destruída em um nó. Nossas ferramentas básicas para resolver circuitos complexos são, portanto, a regra das malhas (baseada na lei de conservação da energia) e a regra dos nós (baseada na lei da conservação da carga). A Eq. (27-18) envolve três incógnitas. Para resolver o circuito (ou seja, para determinar os valores das três correntes), precisamos de mais duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis. Podemos obtê- las aplicando duas vezes a regra das malhas. No circuito da Fig. 27-9, temos três malhas: a malha da esquerda (𝑏𝑎𝑑𝑏), a malha da direita (𝑏𝑐𝑑𝑏) e a malha externa (𝑏𝑎𝑑𝑐𝑏). A escolha das duas malhas é arbitrária; vamos optar pelas malhas da esquerda e da direita. 9 Fig. 27-9 𝜖1 𝜖2 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑖2 𝑖3 𝑖1 𝑅2 𝑅3 𝑅1 Percorrendo a malha da esquerda (𝑏𝑎𝑑𝑏) no sentido anti-horário a partir do ponto 𝑏, obtemos 𝑉𝑏 + 𝜖1 − 𝑖1𝑅1 + 𝑖3𝑅3 = 𝑉𝑏 (27-19) 𝜖1 − 𝑖1𝑅1 + 𝑖3𝑅3 = 0. Percorrendo a malha da direita (𝑏𝑑𝑐𝑏) no sentido anti-horário a partir do ponto 𝑏, obtemos 𝑉𝑏 − 𝑖3𝑅3 − 𝑖2𝑅2 − 𝜖2 = 𝑉𝑏 (27-20) −𝑖3𝑅3 − 𝑖2𝑅2 − 𝜖2 = 0. Agora dispomos de três equações [Eqs. (27-18), (27-19) e (27-20)] tendo como incógnitas as três correntes; esse sistema de equações pode ser resolvido por várias técnicas. Resistências em Paralelo A Fig. 27-10a mostra três resistências ligadas em paralelo a uma fonte ideal de força eletromotriz 𝜖. O termo “em paralelo” significa que as três resistências estão ligadas entre si nas duas extremidades. Assim, todas estão sujeitas à mesma diferença de potencial aplicada pela fonte. No caso geral, quando uma diferença de potencial 𝑉 é aplicada a resistências ligadas em paralelo, todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial 𝑉. 10 Fig. 27-9 𝜖1 𝜖2 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑖2 𝑖3 𝑖1 𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝜖 Fig. 27-10a 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖2 + 𝑖3 𝑖1 𝑖2 + 𝑖3 𝑖2 𝑖3 𝑖 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Na Fig. 27-10b, as três resistências em paralelo foram substituídas por uma resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞. Resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por uma resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞 com a mesma diferença de potencial 𝑉 e a mesma corrente total 𝑖 que as resistências originais. Para determinar o valor da resistência 𝑅𝑒𝑞 da Fig. 27-10b, escrevemos as correntes nas resistências da Fig. 27-10a na forma 𝑖1 = 𝑉 𝑅1 , 𝑖2 = 𝑉 𝑅2 e 𝑖3 = 𝑉 𝑅3 , em que 𝑉 é a diferença de potencial entre 𝑎 e 𝑏. Aplicando a regra dos nós ao ponto 𝑎 da Fig. 27-10a e substituindo as correntes por seus valores, temos 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑉 𝑅1 + 𝑉 𝑅2 + 𝑉 𝑅3 = 𝑉 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + 1 𝑅3 . (27-21) 11 𝜖 Fig. 27-10b 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 𝑖 𝑅𝑒𝑞 𝜖 Fig. 27-10a 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖2 + 𝑖3 𝑖1 𝑖2 + 𝑖3 𝑖2 𝑖3 𝑖 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Quando substituímos as resistências em paralelo pela resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞 (Fig. 27-10b), ficamos com 𝑖 = 𝑉 𝑅𝑒𝑞 . (27-22) Comparando as Eqs. (27-21) 𝑖 = 𝑉 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + 1 𝑅3 e (27-22) 𝑖 = 𝑉 𝑅𝑒𝑞 , obtemos: 1 𝑅𝑒𝑞 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + 1 𝑅3 . (27-23) Generalizando esse resultado para o caso de 𝑛 resistências ligadas em paralelo, podemos escrever 1 𝑅𝑒𝑞 = ෍ 𝑗=1 𝑛 1 𝑅𝑗 𝑛 resistências em paralelo . (27-24) 12 𝜖 Fig. 27-10b 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖 𝑖 𝑅𝑒𝑞 𝜖 Fig. 27-10a 𝑎 𝑏 𝑖 𝑖2 + 𝑖3 𝑖1 𝑖2 + 𝑖3 𝑖2 𝑖3 𝑖 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Note que, se duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo, a resistência equivalente é menor do que a menor das resistências. A Tabela 27-1 mostra as relações de equivalência para resistores e capacitores em série e em paralelo. 13 Exercícios para fazer depois de assistir à aula: 20, 25 e 30. Exercícios Complementares: 22, 23, 26, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 40, 41, 44, 45 e 47. ·20 Quando duas resistências 1 e 2 são ligadas em série, a resistência equivalente é 16,0 Ω. Quando são ligadas em paralelo, a resistência equivalente é 3,0 Ω. Determine (a) a menor e (b) a maior das duas resistências. Dicas: faça um desenho da situação física descrita no enunciado do problema. 𝑅𝑒𝑞 = σ𝑗=1 2 𝑅𝑗 2 resistências em série e 1 𝑅𝑒𝑞 = σ𝑗=1 2 1 𝑅𝑗 2 resistências em paralelo . Respostas: (a) 𝑅1 = 4,0 Ω. (b) 𝑅2 = 12,0 Ω. 14 ·25 Nove fios de cobre de comprimento 𝐿 e diâmetro 𝑑 são ligados em paralelo para formar um cabo de resistência 𝑅. Qual deve ser o diâmetro 𝐷 de um fio de cobre de comprimento 𝐿 para que a resistência do fio seja a mesma do cabo? Dicas: faça um desenho da situação física descrita no enunciado do problema. A resistência de cada fio é 𝑅𝑗 = 𝜌𝐿 𝐴 , em que 𝐴 = 𝜋 𝑑 2 2 e 1 𝑅𝑒𝑞 = σ𝑗=1 9 1 𝑅𝑗 9 resistências em paralelo . Resposta: 𝐷 = 3𝑑. ··30 Na figura abaixo, as fontes ideais têm forças eletromotrizes 𝜖1 = 10,0 𝑉 e 𝜖2 = 0,500𝜖1, e todas as resistências são de 4,00 Ω. Determine a corrente (a) na resistência 2 e (b) na resistência 3. Dicas: aplique a regra das malhas e a regra dos nós no circuito e resolva as equações do sistema resultante. Respostas: (a) 𝑖2 = 0. (b) 𝑖3 = 1,25 A. Referências Bibliográficas • Fundamentos de Física – Eletromagnetismo, HALLIDAY & RESNICK, 10ª edição, Volume 3 (2016). • https://portaldaengenharia.com/instalacao-eletrica/o-que-e-corrente-eletrica/ • https://www.portaleletricista.com.br/circuitos-eletricos/ 15